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D1_8连续性间断点

2012-12-25 31页 pdf 976KB 16阅读

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D1_8连续性间断点 内容小结 1. 怎样利用极限存在准则证明极限; 2. 利用两个重要极限求极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 注: 代表相同的表达式 思考与练习 填空题 ;_____ sin lim.1   x x x ;____ 1 sinlim.2   x x x ;____ 1 sinlim.3 0   x x x ;____) 1 1(lim.4   n n n 0 1 0 1 e 第七节 目录 ...
D1_8连续性间断点
内容小结 1. 怎样利用极限存在准则证明极限; 2. 利用两个重要极限求极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 注: 代表相同的表达式 思考与练习 填空题 ;_____ sin lim.1   x x x ;____ 1 sinlim.2   x x x ;____ 1 sinlim.3 0   x x x ;____) 1 1(lim.4   n n n 0 1 0 1 e 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 练习 求 x x x x I 1 0 21 21 lim           解法一: I   22 1 0 21lim    x x x   )2(2 1 0 21lim     x x x 2 2   e e 4e 解法二: x x x x I 1 0 21 4 1lim          xx x x x x 21 4 4 21 0 21 4 1lim             xxe 21 4 lim 0  4e 1 第一章 ,0时x xxx sin,,3 2 都是无穷小, 第七节 引例 . x x x 3 lim 2 0 ,0 20 sin lim x x x , x x x 3 sin lim 0 , 3 1  但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小的比较 ,0lim C k  定义. ,0lim   若 则称  是比  高阶的无穷小, )( o ,lim   若 若 若 ,1lim    若  ~  ~ ,0lim C   或  ,设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称  是比  低阶的无穷小; 则称  是  的同阶无穷小; 则称  是关于  的 k 阶无穷小; 则称  是  的等价无穷小, 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 当 )(o ~ 0x 时 3x 26x xsin; x xtan; ~ x xarcsin ~ x 20 cos1 lim x x x   2 2 0 sin2 lim x x  又如 , 2 2 )(4 x 2 1  故 时 是关于 x 的二阶无穷小, xcos1 2 2 1 x~ 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 证明: 当 时, ~ 证: ~  nn ba )( ba  1( na ban 2 )1 nb 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ~ ~ 定理1. )( o 证: 1lim    ,0)1lim(    0lim     即 ,)( o 即 )( o 例如, ,0 时x ~ ,tan xx~ 故 ,0 时x )(tan xoxx  机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2 . 设 且 存在 , 则   lim 证:   lim           lim           lim     lim   lim      lim 例如, x x x 5sin 2tan lim 0 x x x 5 2 lim 0  5 2  机动 目录 上页 下页 返回 结束 此定理称为等价无穷小的替代定理 . sintan lim 30 x xx x   30 lim x xx x    原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xx xx xx cos 1 limlim 03 2 2 1 0    例1. 求 解: 原式 例2. 求 . 1cos 1)1( lim 3 1 2 0    x x x 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 解 内容小结 0 1. 无穷小的比较 设  ,  对同一自变量的变化过程为无穷小, 且  是  的高阶无穷小  是  的低阶无穷小  是  的同阶无穷小  是  的等价无穷小  是  的 k 阶无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 等价无穷小替换定理 ~ ~ ~ ~ ~ 思考与练习 Th 2 P59 题1 , 2 作业 P59 4 常用等价无穷小 : 第八节 目录 上页 下页 返回 结束 )1ln( x ~ 1xe ~ 例4 8 2 lim 23 2      x baxx I x 试确定 a , b . 解: 此题分母的极限为0, 当 2x 时 )(lim 23 2 baxx x   048  ba 84  ab 8412  a 2 )4()8( lim 23 2     x xax I x )42)2((lim 2 2   axax x 1a 4b 可见分子的极限一定为0,则有 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章 分析 函数的增量: 设变量 u从 ,终值变到初始值 21 uu 就称为变量 1uu 在 的增量,通常用符号 u 表示,       21 21 12 0 0 uu uu uuu -即 其值可正可负 一、 函数的连续性 x 0 x0 f (x0) y=f (x) xx 0 )( 0 xxf  )()( 0 xfxxfy  0lim 0   y x 12 uu - 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 .)( 0 连续在点xxf 设函数 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 xxx  0 则 ,0时x .0xx  )()( 00 xfxxfy  )()( 0xfxf  即 yxfxf  )()( 0 可见,当 )()(,0 0xfxfx  时 (1) 因此,(1)式等价于 )()( 0lim 0 xfxf xx   可见 , 函数 在点 0x 定义' : 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 .)( 0 连续在xxf (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(lim 0 0 xfxf xx   )()(lim 00 0 xfxxf x   0lim 0   y x )()()( 000   xfxfxf 左连续 右连续 ,0 ,0 当  xxx 0 时, 有  yxfxf )()( 0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 continue )()(lim,),( 00 0 xPxPx xx   若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . .],[ baC 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ,0)( 0 xQ 都有 )()(lim 0 0 xRxR xx   机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 证明函数 在 内连续 . 证: ),( x xxxy sin)sin(  )cos(sin2 22 xx xy   x 0x 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 21 1 10 1)( 2           x x x xa bx xf 处连续=取何值时在、当 1xba 解: bbxf x   2 1 lim)01(1)1( f 1)(lim)01( 1   axaf x 处连续在)时==当 1(1,2 xxfba 11  ab 例2:问函数 在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 )()(lim 0 0 xfxf xx   不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类: 第一类间断点: 及 均存在. 若 称 0x 若 称 0x 第二类间断点: 及 中至少一个不存在。 称 0x 若其中有一个为振荡 , 称 0x 若其中有一个为 , 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 x 为其无穷间断点 . 0x 为其振荡间断点 . 例如: xy tan 2  x y o x y x y 1 sin 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 lim 2 1    x x x 2  1f 则在 1x 处间断。 作新函数           12 1 x xxf xF             12 1 1 12 x x x x xF 在 1x 处连续。 xo y 1 1x 为其可去间断点 . 1 )1(1)(lim 1 fxf x   显然 1x 为其可去间断点 .       1, 1, )( 2 1 x xx xfy(4) xo y 2 1 1 (5)         0,1 0,0 0,1 )( xx x xx xfy x y o 1 1 ,1)0( f 1)0(  f 0x 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 例1. 讨论函数 解 2,1 x 为间断点  xf x 1 lim  2 1 lim 1     x x x 2  xf x 2 lim   例2 确定函数 间断点的类型. x x e xf   11 1 )( 解: 间断点 1,0  xx )(lim 0 xf x  , 0 x 为第二类中的 无穷间断点; ,1 时当 x   x x 1 , 0)(  xf ,1 时当 x   x x 1 , 1)(  xf 故 1x 为第一类中的跳跃间断点. ,1,0 处在 x .)( 连续xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一 个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P65 23(1)、(4); 3 P65 题5 提示: 第九节 目录 上页 下页 返回 结束
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