题1 求复数幂级数的收敛半径

题1 求复数幂级数的收敛半径 k!,(，4)z题1 求复数幂级数 的收敛半径。 ,2k,k1 k!,,,11z(，4),解 当 z，4,1 时，有 ，由于实数级数 收敛，所以,,,222kkk,1k,1kk1, k!,(，4)z 也收敛。 ,2k,k1 k!k!,,az(，4),当 z，4,1 时，必有实数 ，使得 z，4,a,1， ， a,,22kk,k1k1, k!k!,,a(，4)z由于实数级数 发散，所以 也发散。 ,,22kkk,1,k1 k!,(，4)zz，4,11 可见，幂级数 的收敛圆为 ，收敛半径为 。 ,2k,k1 ,3n1,zn,(1)题2 求复数幂级数 的收敛圆，并分析在收敛圆上的收敛性。 ,lnn,n2 ,3n13n1,,,azn,z,1z,a,1解 当 时，必有实数 ，使得 ， ，由于(1),a,,lnnlnn,n2n2, ,3,13n1n,,zan,(1)实数级数 收敛，所以 也收敛。 ,,lnnlnn,2,nn2 ,3n13n1,,,azn,z,1z,a,1 时，必有实数 ，使得 ， ，由于当(1),a,,lnnlnn,n2n2, ,3,13n1n,,zan,(1)实数级数 发散，所以 也发散。 ,,lnnlnn,2,nn2 ,3n1,zn,(1)z,1 的收敛圆为 。 可见，幂级数 ,lnn,n2 3ni3ni,,,3n1,,,1e1ez4nni,,,(,1),(1)z,,ez,1 在收敛圆上， ， ， 。 ,,,lnnzlnnzlnn,n2n2n2,, 2k,i21,i3k,3k,0,1,2k,0,1,2z,,1 当 ()，即 () ，即 或 时， z,,e,,23 1 2nki,,3n1,,,1e11zn,,(1), ，显然这时级数发散。 ,,,lnnzlnnzlnn,n2n2,n,2 21,i3k,k,0,1,2当 () ，即 z,,1 和 时， ,,23 3ni,,3n1,,,,1e1cos3nisin3nz,,n,,,，(1) 。 ,,,,lnnzlnnzlnnzlnn,n2n2n2n2,,,这时因为 ,,,,,,sin31cos31nn,,sin3cos3,n, ，,n, ， ,,,,33,,lnlnnn2222n,n,n,n,sinsin22 所以，这时级数收敛。 n,4knz题3 求复数幂级数 () 的收敛圆，并分析在收敛圆上的收敛性。 k,0,n,1n 1nn,,,a4kknk4z,a,1,解 当 时，必有实数 ，使得 ， ，由于zz,4a,,nnn,1n,1 nn,,4aknz实数级数 收敛，所以 也收敛。 ,,nnn,1,1n 1nn,,,a4kknk4z,a,1,当 时，必有实数 ，使得 ， ，由于zz,4a,,nnn,1n,1 nn,,4aknz实数级数 发散，所以 也发散。 ,,nnn,1,1n 1n,,4knkz 可见，幂级数 的收敛圆为 。 z,4,n,1n ,nknin,,,4(4z)ekknki,4z,1z,,4z,e ， ， 。 在收敛圆上，,,,nnn,1,,nn1n1 mi12,,k2m,ikk4z,e 当 ,,2m,() ，即 () ，即 () 时， m,Im,Im,Iz,4e 2nmi,n,,,e41knz,, ，显然这时级数发散。 ,,,nnn,1nn1n1,, mi12,,kk,,2m,当 () ，即 () 时， m,Im,Iz,4e 2 ,nin,,,,nn4ecos,sin,knz,i,， 。 ,,,,nnnn,1,nn1n,1n,1这时因为 ,,,,,,cos1sin1nn,,cossin ， ， ,n,,n,,,,,,,nn1111n,n,n,n,sinsin22所以，这时级数收敛。 3