高中数学题2.3

1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【】 B 【解析】 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(0). 又f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0. ∴f(6)=0. 2.函数 sin R),若f(a)=2,则f(-a)的值为( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 sinx,很明显g(x)是一个奇函数. ∴f(x)=g(x)+1. ∵f(a)=g(a)+1=2, ∴g(a)=1. ∴g(-a)=-1.∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)= 当 时,f(x)=x-2,则f(6.5)等于…… ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【解析】 由f(x 得f(x 那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5). 因为f(x)是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 时,f(x)=x-2, 所以f(1.5)=-0.5. 综上,知f(6.5)=-0.5. 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1- 则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 当x>0时 故此时f(x)< 的解集为. 当x<0时,-x>0,∴f( . 又∵f(x)为R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴ .∴ . ∴ 即 . ∴x<-1. ∴不等式 的解集是 . 5.设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数.若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 . 【答案】 [-2,7] 1.对于定义在R上的任一奇函数f(x),均有( ) A.f(x B. C.f(x)f(-x)>0 D.f(x)-f(-x)>0 【答案】 A 【解析】 ∵f(-x)=-f(x), ∴f(x)f( . 2.(2012山东济南月考)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) ①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x. A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 【答案】 D 【解析】 由奇函数的定义验证可知②④正确. 3.在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( ) A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 【答案】 B 【解析】 由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数的简图如下. 4.f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.7 【答案】 D 【解析】 ∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数, ∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0, 则-f(1)=0,即f(1)=0;f(4)=f(1)=0. 又f(0)=0,∴f(3)=f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5)=-f(1.5). ∴f(1.5)=0,则f(4.5)=f(1.5)=0,因此在区间(0,6)上,f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)=f(5)=0,解的个数的最小值为7. 5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25)0, ∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)<0. 又 时,f(x)=-f(x-4)>0,且f(x)为减函数, 同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)<0.如图. ∵f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0)=0, ∴f(-25)f(2) B.f(-1)f(2),即f(-1)>f(2). 7.已知函数 3是偶函数,则m= . 【答案】 -2 【解析】 本题考查了函数的奇偶性.f(x)为偶函数,则m+2=0,m=-2. 8.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时 则当x<0时,f(x)= . 【答案】 【解析】 ∵f(x)为奇函数,x>0时 ∴当x<0时,-x>0, f(x)=-f(-x 即x<0时 . 9.若函数f(x)=log 是奇函数,则a= . 【答案】 【解析】 ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即log |a|)=0. 则 |a|=1,且 因此 . 10.已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数,若F(x)=af(x)+(x)+2,且F(-2)=5,则F(2)= . 【答案】 -1 【解析】 ∵f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x). ∴F(2)+F(-2)=af(2)+(2)+2+af(-2)+(-2)+2=af(2)+(2)+2-af(2)-(2)+2=4. 又F(-2)=5,∴F(2)=4-F(-2)=4-5=-1. 11.已知函数f(x)= 是奇函数. (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 【解】 (1)设x<0,则-x>0, 所以f(-x)= . 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x). 于是x<0时 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合f(x)的图象知 所以 故实数a的取值范围是(1,3]. 12.已知函数 . (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f(1)=2,试判断f(x)在 上的单调性. 【解】 (1)当a=0时 x),函数f(x)是偶函数. 当 时 常数 R), 取 得f(-1) ; f(-1)-f ∴ . ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时 . 任取 且 . 则 . 由于 且 ∴ . ∴ . 故f(x)在 上是单调递增函数. 13.函数 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 EMBED Equation.DSMT4. (1)确定函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 【解】 (1)依题意得 即 ∴ . (2)证明:任取 . ∵ ∴ . 又 ∴ . ∴ . ∴f(x)在(-1,1)上是增函数. (3)f(t-1)<-f(t)=f(-t). ∵f(x)在(-1,1)上是增函数, ∴-10时,f(x)>1. (1)求证:g(x)=f(x)-1为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)=5,解不等式 . 【解】 (1)证明:定义在R上的函数f(x)对任意的 R,都有 成立, 令 则f(0+0)=f(0) f(0)=1. 令 则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1, ∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0. ∴g(x)=f(x)-1为奇函数. (2)证明:由(1)知,g(x)=f(x)-1为奇函数, ∴f(-x)-1=-[f(x)-1]. 任取 R,且 则 ∵ ∴   . ∵当x>0时,f(x)>1, ∴ . ∴ . ∴f(x)是R上的增函数. (3)∵ 且f(4)=5, ∴f(4)=f(2) . 由不等式 得 f(2), 由(2)知,f(x)是R上的增函数, ∴ .∴ . ∴ . ∴不等式 的解集为 . _1385810311.unknown _1385810361.unknown _1385884036.unknown _1385884163.unknown _1385884185.unknown _1385884278.unknown _1385884280.unknown _1385884281.unknown _1385884279.unknown _1385884274.unknown _1385884276.unknown _1385884277.unknown _1385884275.unknown _1385884272.unknown _1385884273.unknown _1385884271.unknown _1385884270.unknown _1385884173.unknown _1385884180.unknown _1385884168.unknown _1385884058.unknown _1385884131.unknown _1385884152.unknown _1385884124.unknown _1385884049.unknown _1385884053.unknown _1385884043.unknown _1385810369.unknown _1385810373.unknown _1385810377.unknown _1385884024.unknown _1385884029.unknown _1385810379.unknown _1385810382.unknown _1385884018.unknown _1385810380.unknown _1385810378.unknown _1385810375.unknown _1385810376.unknown _1385810374.unknown _1385810371.unknown _1385810372.unknown _1385810370.unknown _1385810365.unknown _1385810367.unknown _1385810368.unknown _1385810366.unknown _1385810363.unknown _1385810364.unknown _1385810362.unknown _1385810334.unknown _1385810351.unknown _1385810356.unknown _1385810358.unknown _1385810359.unknown _1385810357.unknown _1385810353.unknown _1385810354.unknown _1385810352.unknown _1385810344.unknown _1385810347.unknown _1385810350.unknown _1385810345.unknown _1385810337.unknown _1385810338.unknown _1385810335.unknown _1385810321.unknown _1385810325.unknown _1385810328.unknown _1385810329.unknown _1385810327.unknown _1385810323.unknown _1385810324.unknown _1385810322.unknown _1385810315.unknown _1385810318.unknown _1385810319.unknown _1385810317.unknown _1385810313.unknown _1385810314.unknown _1385810312.unknown _1385810292.unknown _1385810301.unknown _1385810305.unknown _1385810308.unknown _1385810309.unknown _1385810307.unknown _1385810303.unknown _1385810304.unknown _1385810302.unknown _1385810296.unknown _1385810298.unknown _1385810299.unknown _1385810297.unknown _1385810294.unknown _1385810295.unknown _1385810293.unknown _1385810280.unknown _1385810285.unknown _1385810287.unknown _1385810291.unknown _1385810286.unknown _1385810282.unknown _1385810283.unknown _1385810281.unknown _1385810273.unknown _1385810277.unknown _1385810279.unknown _1385810276.unknown _1385810269.unknown _1385810270.unknown _1385810268.unknown