电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方

一章习题解答 1.1 给定三个矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 解 （1） （2） （3）－11 （4）由 ，得 （5）在上的分量 （6） （7）由于 所以 （8） 1.2 三角形的三个顶点为、和。 （1）判断是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解 （1）三个顶点、和的位置矢量分别为 ，， 则 ， ， 由此可见 故为一直角三角形。 （2）三角形的面积 1.3 求点到点的距离矢量及的方向。 解 ，， 则 且与、、轴的夹角分别为 1.4 给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。 解 与之间的夹角为 在上的分量为 1.5 给定两矢量和，求在上的分量。 解 所以在上的分量为 1.6 证明：如果和，则； 解 由，则有，即 由于，于是得到 故 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量，而，和已知，试求。 解 由，有 故得 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。 解 （1）在直角坐标系中 、、 故该点的直角坐标为。 （2）在球坐标系中 、、 故该点的球坐标为 1.9 用球坐标表示的场， （1）求在直角坐标中点处的和； （2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点处，，故 （2）在直角坐标中点处，，所以 故与构成的夹角为 1.10 球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为 解 由 得到 1.11 一球面的半径为，球心在原点上，计算： 的值。 解 1.12 在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。 解 在圆柱坐标系中 所以 又 故有 1.13 求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解 （1） （2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为 （3）对此立方体表面的积分 故有 1.14 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。 解 又在球坐标系中，，所以 1.15 求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 又 所以 故有 1.16 求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。 解 1.17 证明：（1）；（2）；（3）。其中，为一常矢量。 解 （1） （2） （3）设，则，故 1.18 一径向矢量场表示，如果，那么函数会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 可得到 为任意常数。 在球坐标系中，由 可得到 1.19 给定矢量函数，试求从点到点的线积分：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线。这个是保守场吗？ 解 （1） （2）连接点到点直线方程为 即 故 由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1.20 求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量定出；求点的方向导数值。 解 故沿方向的方向导数为 点处沿的方向导数值为 1.21 试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式 。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为 同理 因此，矢量场穿出该六面体的表面的通量为 故得到圆柱坐标下的散度表达式 1.22 方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 解 由于 故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 1.23 现有三个矢量、、为 （1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？ （2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中 故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中 故矢量可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中 故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为 ，； ，； ， 1.24 利用直角坐标，证明 解 在直角坐标中 1.25 证明 解 根据算子的微分运算性质，有 式中表示只对矢量作微分运算，表示只对矢量作微分运算。 由，可得 同理 故有 1.26 利用直角坐标，证明 解 在直角坐标中 所以 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。 解 （1）对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理有 由于曲面是任意的，故有 （2）对于任意闭合曲面为边界的体积，由散度定理有 其中和如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有 ， 由题1.27图可知和是方向相反的同一回路，则有 所以得到 由于体积是任意的，故有   二章习题解答 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为，式中阴极板位于，阳极板位于，极间电压为。如果、、横截面，求：（1）和区域内的总电荷量；（2）和区域内的总电荷量。 解 （1） （2） 2.2 一个体密度为的质子束，通过的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质量、电量。由 得 故 2.3 一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为 球内的电荷体密度为 故 2.4 一个半径为的导体球带总电荷量为，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球面上任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为 球面的上电荷面密度为 故 2.5 两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处的电场强度。 解 电荷在处产生的电场为 电荷在处产生的电场为 故处的电场为 2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷，求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度，设半圆环的半径也为，如题2.6 图所示。 解 半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为 在半圆环上对上式积分，得到轴线上处的电场强度为 2.7 三根长度均为，均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。设，计算三角形中心处的电场强度。 解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 则 故等边三角形中心处的电场强度为 2.8 －点电荷位于处，另－点电荷位于处，空间有没有电场强度的点？ 解 电荷在处产生的电场为 电荷在处产生的电场为 处的电场则为。令，则有 由上式两端对应分量相等，可得到 ① ② ③ 当或时，将式②或式③代入式①，得。所以，当或时无解； 当且时，由式①，有 解得 但不合题意，故仅在处电场强度。 2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。 解 半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为 故整个导电带电面在轴上处的电场强度为 而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为 2.10 一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度。 解 球面上的电荷面密度为 当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为 将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为 细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 2.11 两个半径为、同轴的相同线圈，各有匝，相互隔开距离为，如题2.11图所示。电流以相同的方向流过这两个线圈。 （1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度； （2）证明：在中点处等于零； （3）求出与之间的关系，使中点处也等于零。 解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 （2）两线圈的电流在其轴线上处的磁感应强度为 所以 故在中点处，有 （3） 令 ，有 即 故解得 2.12 一条扁平的直导体带，宽为，中心线与轴重合，通过的电流为。证明在第一象限内的磁感应强度为 ， 式中、和如题2.12图所示。 解 将导体带划分为无数个宽度为的细条带，每一细条带的电流。由安培环路定理，可得位于处的细条带的电流在点处的磁场为 则 所以 2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为的电偶极子，位于矢径为的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为 式中，，是两个平面和间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？ 解 电偶极子在矢径为的点上产生的电场为 所以与之间的相互作用能为 因为，，则 又因为是两个平面和间的夹角，所以有 另一方面，利用矢量恒等式可得 因此 于是得到 () 故两偶极子之间的相互作用力为 () () 由上式可见，当时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。 2.14 两平行无限长直线电流和，相距为，求每根导线单位长度受到的安培力。 解 无限长直线电流产生的磁场为 直线电流每单位长度受到的安培力为 式中是由电流指向电流的单位矢量。 同理可得，直线电流每单位长度受到的安培力为 2.15 一根通电流的无限长直导线和一个通电流的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为 这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。 解 无限长直线电流产生的磁场为 圆环上的电流元受到的安培力为 由题2.15图可知 所以 2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为。 解 如题2.16图所示，设，则电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为 当时，有 故得到   三章习题解答 3.1 真空中半径为的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷和，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题3.1图所示)。 解 由点电荷和共同产生的电通密度为 则球赤道平面上电通密度的通量 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为的电子云，在球心有一正电荷（是原子序数，是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为，试证明之。 解 位于球心的正电荷球体内产生的电通量密度为 原子内电子云的电荷体密度为 电子云在原子内产生的电通量密度则为 故原子内总的电通量密度为 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为, 两圆柱面半径分别为和，轴线相距为，如题3.3图所示。求空间各部分的电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为的两种电荷分布，这样在半径为的整个圆柱体内具有体密度为的均匀电荷分布，而在半径为的整个圆柱体内则具有体密度为的均匀电荷分布，如题3.3图所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在区域中，由高斯定律，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为 点处总的电场为 在且区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为 点处总的电场为 在的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点产生的电场分别为 点处总的电场为 3.4 半径为的球中充满密度的体电荷，已知电位移分布为 其中为常数，试求电荷密度。 解：由，有 故在区域 在区域 3.5 一个半径为薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为为的体电荷，球壳上又另充有电荷量。已知球内部的电场为，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。 解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 （2）球体内的总电量为 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷，而且在球壳外表面上还要感应电荷，所以球壳外表面上的总电荷为2，故球壳外表面上的电荷面密度为 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为和，圆柱表面分别带有密度为和的面电荷。（1）计算各处的电位移；（2）欲使区域内，则和应具有什么关系？ 解 （1）由高斯定理，当时，有 当时，有 ，则 当时，有 ，则 （2）令 ，则得到 3.7 计算在电场强度的电场中把带电量为的点电荷从点移到点时电场所做的功：（1）沿曲线；（2）沿连接该两点的直线。 解 （1） （2）连接点到点直线方程为 即 故 3.8 长度为的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场，并用核对。 解 （1）建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点的电位为 （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元在点的电场为 故长为的线电荷在点的电场为 由求，有 3.9 已知无限长均匀线电荷的电场，试用定义式求其电位函数。其中为电位参考点。 解 由于是无限长的线电荷，不能将选为无穷远点。 3.10 一点电荷位于，另一点电荷位于，求空间的零电位面。 解 两个点电荷和在空间产生的电位 令，则有 即 故得 由此可见，零电位面是一个以点为球心、为半径的球面。 3.11 证明习题3.2的电位表达式为 解 位于球心的正电荷在原子外产生的电通量密度为 电子云在原子外产生的电通量密度则为 所以原子外的电场为零。故原子内电位为 3.12 电场中有一半径为的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 （1）求圆柱内、外的电场强度； （2）这个圆柱是什么制成的？表面有电荷分布吗？试求之。 解 （1）由，可得到 时， 时， （2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为 3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足 （1） 其中； （2） 圆柱坐标； （3） 圆柱坐标； （4） 球坐标； （5） 球坐标。 解 （1）在直角坐标系中 而 故 （2）在圆柱坐标系中 而 故 （3） 故 （4）在球坐标系中 而 故 （5） 故 3.14 已知的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1）； （2）； （3） （4）。 解 （1） 所以函数不是空间中的电位的解； （2） 所以函数是空间中可能的电位的解； （3） 所以函数不是空间中的电位的解； （4） 所以函数不是空间中的电位的解。 3.15 中心位于原点，边长为的电介质立方体的极化强度矢量为。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。 解 （1） 同理 （2） 3.16 一半径为的介质球，介电常数为，其内均匀分布自由电荷，证明中心点的电位为 解 由，可得到 时， 即 ， 时， 即 ， 故中心点的电位为 3.17 一个半径为的介质球，介电常数为，球内的极化强度，其中为一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。 解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 在的球面上，束缚电荷面密度为 （2）由于，所以 即 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 总的自由电荷量 （3）介质球内、外的电场强度分别为 介质球内、外的电位分别为 3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度的表达式。 解 （1）由，得束缚电荷体密度为 在介质内没有自由电荷密度时，，则有 由于，有 所以 由此可见，当电介质不均匀时，可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。 （2）束缚电荷密度的表达式为 3.19 两种电介质的相对介电常数分别为=2和=3，其分界面为=0平面。如果已知介质1中的电场的 那么对于介质2中的和，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的和？ 解 设在介质2中 在处，由和，可得 于是得到 故得到介质2中的和在处的表达式分别为 不能求出介质2中任意点的和。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。 3.20 电场中一半径为、介电常数为的介质球，已知球内、外的电位函数分别为 验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。 解 在球表面上 故有 ， 可见和满足球表面上的边界条件。 球表面的束缚电荷密度为 3.21 平行板电容器的长、宽分别为和，极板间距离为。电容器的一半厚度()用介电常数为的电介质填充，如题3.21图所示。 (1) (1)  板上外加电压，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷； (2) (2)  若已知板上的自由电荷总量为，求此时极板间电压和束缚电荷； (3) (3)  求电容器的电容量。 解 （1） 设介质中的电场为，空气中的电场为。由，有 又由于 由以上两式解得 ， 故下极板的自由电荷面密度为 上极板的自由电荷面密度为 电介质中的极化强度 故下表面上的束缚电荷面密度为 上表面上的束缚电荷面密度为 （2）由 得到 故 （3）电容器的电容为 3.22 厚度为、介电常数为的无限大介质板，放置于均匀电场中，板与成角，如题3.22图所示。求：（1）使的值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 由此得到 （2）设介质板中的电场为，根据分界面上的边界条件，有，即 所以 介质板左表面的束缚电荷面密度 介质板右表面的束缚电荷面密度 3.23 在介电常数为的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的和： （1）平行于的针形空腔； （2）底面垂直于的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章4.14题）。 解 （1）对于平行于的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有。故在针形空腔中 ， （2）对于底面垂直于的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有。故在薄盘形空腔中 ， 3.24 在面积为的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板处的一直变化到另一极板处的，试求电容量。 解 由题意可知，介质的介电常数为 设平行板电容器的极板上带电量分别为，由高斯定理可得 所以，两极板的电位差 故电容量为 3.25 一体密度为的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。 解 在质子束内部，由高斯定理可得 故 在质子束外部，有 故 3.26 考虑一块电导率不为零的电介质，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流时，体积内将出现自由电荷，体密度为。试问有没有束缚体电荷？若有则进一步求出。 解 对于恒定电流，有，故得到 介质中有束缚体电荷，且 3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为，外导体内半径为，介质的分界面半径为。两层介质的介电常数为和，电导率为和。设内导体的电压为，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。 解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为，则由，可得电流密度 介质中的电场 由于 于是得到 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为 （2）由可得，介质1内表面的电荷面密度为 介质2外表面的电荷面密度为 两种介质分界面上的电荷面密度为 （3）同轴线单位长度的漏电阻为 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 3.28 半径为和的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为、电导率为的导电媒质(为常数)。若内导体球面的电位为，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。 解 设由内导体流向外导体的电流为，由于电流密度成球对称分布，所以 电场强度 由两导体间的电压 可得到 所以 媒质中的电荷体密度为 媒质内、外表面上的电荷面密度分别为 （2）两理想导体球面间的电阻 3.29 电导率为的无界均匀电介质内，有两个半径分别为和的理想导体小球，两球之间的距离为，试求两小导体球面间的电阻。 解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷和，由于两球间的距离、，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷和的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。 设两小球分别带电荷和，由于、，可得到两小球表面的电位为 所以两小导体球面间的电容为 由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为 故两个小导体球面间的电阻为 3.30 在一块厚度的导电板上， 由两个半径为和的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体，如题3.30图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为。 解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为，则有 故得到沿厚度方向的电阻为 （2）设内外两圆弧面电极之间的电流为，则 故得到两圆弧面之间的电阻为 （3）设沿方向的两电极的电压为，则有 由于与无关，所以得到 故得到沿方向的电阻为 3.31 圆柱形电容器外导体内半径为，内导体半径为。当外加电压固定时，在一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值的内导体半径的值和这个的值。 解 设内导体单位长度带电荷为，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 由内外导体间的电压 得到 由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 在圆柱形电容器中，处的电场强度最大 令对的导数为零，即 由此得到 故有 3.32 证明：同轴线单位长度的静电储能等于。为单位长度上的电荷量，为单位长度上的电容。 解 由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为 内外导体间的电压为 则同轴线单位长度的电容为 同轴线单位长度的静电储能为 3.33 如题3.33图所示，一半径为、带电量的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为和，分界面为无限大平面。求：（1）导体球的电容；（2） 总的静电能量。 解 （1）由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到 即 所以 导体球的电位 故导体球的电容 （2） 总的静电能量为 3.34 把一带电量、半径为的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。 解 先利用虚位移法求出导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力，然后在半球面上对积分，求出两半球之间的电场力。 导体球的电容为 故静电能量为 根据虚位移法，导体球表面上单位面积的电荷受到的静电力 方向沿导体球表面的外法向，即 这里 在半球面上对积分，即得到两半球之间的静电力为 3.35 如题3.35图所示，两平行的金属板，板间距离为，竖直地插入在电容率为的液体中，两板间加电压，证明液面升高 其中为液体的质量密度。 解 设金属板的宽度为、高度为。当金属板间的液面升高为时，其电容为 金属板间的静电能量为 液体受到竖直向上的静电力为 而液体所受重力 与相平衡，即 故得到液面上升的高度 3.36 可变空气电容器，当动片由至电容量由至直线地变化，当动片为角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为。 解 当动片为角时，电容器的电容为 此时电容器中的静电能量为 作用于动片上的力矩为 3.37 平行板电容器的电容是，其中是板的面积，为间距，忽略边缘效应。 （1）如果把一块厚度为的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37图所示。则在原电容器电压一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何变化？ （2）如果在电荷一定的条件下，将一块横截面为、介电常数为的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入，如题3.37图所示，则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？ 解 （1）在电压一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为 电容为 静电能量为 当插入金属板后，电容器中的电场为 此时静电能量和电容分别为 故电容器的电容及能量的改变量分别为 （2）在电荷一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 静电能量为 当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件，有 再由高斯定理可得 于是得到极板间的电场为 两极板间的电位差位 此时的静电能量为 其电容为 故电容器的电容及能量的改变量分别为 3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解的微分方程而得解决。 （1）证明：有源区的微分方程为，； （2）证明：的解是 解 （1）由，可得 ，即 又 故得到 （2）在直角坐标系中的三个分量方程为 ，， 其解分别为 故 3.39 证明： 解 由于 ，所以 由题3.38(2)可知 故 四章习题解答 4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。 解 根据题意，电位满足的边界条件为 ① ② ③ 根据条件①和②，电位的通解应取为 由条件③，有 两边同乘以，并从0到对积分，得到 故得到槽内的电位分布 4.2 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。 解 应用叠加原理，设板间的电位为 其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ① ② ③ 根据条件①和②，可设的通解为 由条件③有 两边同乘以，并从0到对积分，得到 故得到 4.3 求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按定出边缘电容。 解 在导体板（）上，相应于的电荷面密度 则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷 相应的电场储能为 其边缘电容为 4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。 解 根据题意，电位满足的边界条件为 ① ② ③ 根据条件①和②，电位的通解应取为 由条件③，有 两边同乘以，并从0到对积分，得到 故得到槽内的电位分布为 4.5 一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为 的电荷。求体积内的电位。 解 在体积内，电位满足泊松方程 （1） 长方体表面上，电位满足边界条件。由此设电位的通解为 代入泊松方程（1），可得 由此可得 或 （2） 由式（2），可得 故 4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。求板间的电位函数。 解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。 电位的边界条件为 ① ② ③ 由条件①和②，可设电位函数的通解为 由条件③，有 （1） （2） 由式（1），可得 （3） 将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有 （4） 由式（3）和（4）解得 故 4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。求槽内的电位函数。 解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度，电位的边界条件为 ① ， ② ③ 由条件①和②，可设电位函数的通解为 由条件③，有 （1） （2） 由式（1），可得 （3） 将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有 （4） 由式（3）和（4）解得 故 若以为界将场空间分割为和两个区域，则可类似地得到 4.8 如题4.8图所示，在均匀电场中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为。求导体圆柱外的电位和电场以及导体表面的感应电荷密度。 解 在外电场作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场的电位与感应电荷的电位的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为（常数的值由参考点确定），而感应电荷的电位应与一样按变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以满足的边界条件为 ① ② 由此可设 由条件①，有 于是得到 故圆柱外的电位为 若选择导体圆柱表面为电位参考点，即，则。 导体圆柱外的电场则为 导体圆柱表面的电荷面密度为 4.9 在介电常数为的无限大的介质中，沿轴方向开一个半径为的圆柱形空腔。沿轴方向外加一均匀电场，求空腔内和空腔外的电位函数。 解 在电场的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。外电场的电位为而感应电荷的电位应与一样按变化，则空腔内、外的电位分别为和的边界条件为 ① 时，； ② 时，为有限值； ③ 时， ， 由条件①和②，可设 带入条件③，有 ， 由此解得 ， 所以 4.10 一个半径为、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位和。求圆柱面内部的电位函数。 解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为 ① 为有限值； ② ； 由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为 代入条件②，有 由此得到 故 4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为、介电常数为，在距离轴线处，有一与圆柱平行的线电荷，计算空间各部分的电位。 解 在线电荷作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位均为线电荷的电位与极化电荷的电位的叠加，即。线电荷的电位为 （1） 而极化电荷的电位满足拉普拉斯方程，且是的偶函数。介质圆柱内外的电位和满足的边界条件为分别为 ① 为有限值； ② ③ 时， 由条件①和②可知，和的通解为 （2） （3） 将式（1）～（3）带入条件③，可得到 （4） （5） 当时，将展开为级数，有 （6） 带入式（5），得 （7） 由式（4）和（7），有 由此解得 ， 故得到圆柱内、外的电位分别为 （8） （9） 讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为 其中。因此可将和分别写成为 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（0）的线电荷的电位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（0）的线电荷；位于的线电荷；位于的线电荷。 4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。 解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位均为线电荷的电位与感应电荷的电位的叠加，即。线电荷的电位为 （1） 而感应电荷的电位满足拉普拉斯方程，且是的偶函数。 满足的边界条件为 ① ； ② 。 由于电位分布是的偶函数，并由条件①可知，的通解为 （2） 将式（1）和（2）带入条件②，可得到 （3） 将展开为级数，有 （4） 带入式（3），得 （5） 由此可得 ， 故导体圆柱外的电为 （6） 讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为 其中。因此可将写成为 由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（0）的线电荷；位于的线电荷；位于的线电荷。 4.13 在均匀外电场中放入半径为的导体球，设（1）导体充电至；（2）导体上充有电荷。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解 （1）这里导体充电至应理解为未加外电场时导体球相对于无限远处的电位为，此时导体球面上的电荷密度，总电荷。将导体球放入均匀外电场中后，在的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷仍保持不变，导体球仍为等位体。 设，其中 是均匀外电场的电位，是导体球上的电荷产生的电位。 电位满足的边界条件为 ① 时，； ② 时， ， 其中为常数，若适当选择的参考点，可使。 由条件①，可设 代入条件②，可得到 ，， 若使，可得到 （2）导体上充电荷时，令，有 利用（1）的结果，得到 4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场，在介质中有一个半径为的球形空腔。求空腔内、外的电场和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为）。 解 在电场的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场为外加电场与极化电荷的电场的叠加。设空腔内、外的电位分别为和，则边界条件为 ① 时，； ② 时，为有限值； ③ 时， ， 由条件①和②，可设 带入条件③，有 ， 由此解得 ， 所以 空腔内、外的电场为 空腔表面的极化电荷面密度为 4.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为和，球的中心放置一个电偶极子，球壳上的电荷量为。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。 解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为，且均匀分布在外表面上。 球壳外的场可由高斯定理求得为 外表面上的电荷面密度为 设球内的电位为，其中 是电偶极子的电位，是球壳内表面上的感应电荷的电位。 满足的边界条件为 ① 为有限值； ② ，即，所以 由条件①可知的通解为 由条件②，有 比较两端的系数，得到 ， ， 最后得到 球壳内表面上的感应电荷面密度为 感应电荷的总量为 4.16 欲在一个半径为的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的密度）？ 解 设球内的均匀场为，球外的场为，如题4.16图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为 若令，则得到球面上的电流面密度为 这表明球面上的绕线密度正比于，则将在球内产生均匀场。 4.17 一个半径为的介质球带有均匀极化强度。 （1）证明：球内的电场是均匀的，等于； （2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同，。 解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。 建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为 介质球内、外的电位和满足的边界条件为 ① 为有限值； ② ； ③ 因此，可设球内、外电位的通解为 由条件③，有 ， 解得 ， 于是得到球内的电位 故球内的电场为 （2）介质球外的电位为 其中为介质球的体积。故介质球外的电场为 可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同。 4.18 半径为的接地导体球，离球心处放置一个点电荷，如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。 解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。 设，其中 是点电荷的电位，是导体球上感应电荷产生的电位。 电位满足的边界条件为 ① 时，； ② 时， 。 由条件①，可得的通解为 为了确定系数，利用的球坐标展开式 将在球面上展开为 代入条件②，有 比较的系数，得到 故得到球外的电位为 讨论：将的第二项与的球坐标展开式比较，可得到 由此可见，的第二项是位于的一个点电荷所产生的电位，此电荷正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。 4.19 一根密度为、长为2的线电荷沿轴放置，中心在原点上。证明：对于的点，有 解 线电荷产生的电位为 对于的点，有 故得到 4.20 一个半径为的细导线圆环，环与平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为，如题4.20图所示。证明：空间任意点电位为 解 以细导线圆环所在的球面把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用函数将细导线圆环上的线电荷表示成球面上的电荷面密度 再根据边界条件确定系数。 设球面内、外的电位分别为和，则边界条件为： ① 为有限值； ② ③ ， 根据条件①和②，可得和的通解为 （1） （2） 代入条件③，有 （3） （4） 将式（4）两端同乘以，并从0到对进行积分，得 （5） 其中 由式（3）和（5），解得 ， 代入式（1）和（2），即得到 4.21 一个点电荷与无限大导体平面距离为，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？ 解 利用镜像法求解。当点电荷移动到距离导体平面为的点处时，其像电荷，与导体平面相距为，如题4.21图所示。像电荷在点处产生的电场为 所以将点电荷移到无穷远处时，电场所作的功为 外力所作的功为 4.22 如题4.22图所示，一个点电荷放在的接地导体角域内的点处。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点处的电位。 解 （1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为 （2）点处电位 4.23 一个电荷量为、质量为的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为。求的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设，）。 解 将小带电体视为点电荷，导体平面上的感应电荷对的静电力等于镜像电荷对的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为，位于导体平面上方为处，则小带电体受到的静电力为 令的大小与重力相等，即 于是得到 4.24 如题4.24（）图所示，在的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为处有一点电荷，求：（1）和的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷。 解 （1）在点电荷的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（）、（）所示） ，位于 ， 位于 上半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即 下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即 （2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为 极化电荷总电量为 4.25 一个半径为的导体球带有电荷量为，在球体外距离球心为处有一个点电荷。（1）求点电荷与导体球之间的静电力；（2）证明：当与同号，且成立时，表现为吸引力。 解 （1）导体球上除带有电荷量之外，点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷和的大小和位置分别为（如题4.25图所示） ， ， 导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效。故点电荷受到的静电力为 （2）当与同号，且表现为吸引力，即时，则应有 由此可得出 4.26 两个点电荷和，在一个半径为的导体球直径的延长线上，分别位于导体球的两侧且距球心为。 （1）证明：镜像电荷构成一个电偶极子，位于球心，电偶极矩为； （2）令和分别趋于无穷，同时保持不变，计算球外的电场。 解 （1）点电荷和都要在球面上引起等量异号的感应电荷，可分别按照点电荷与不接地导体球面的镜像确定其等效的像电荷。根据镜像法，点电荷的像电荷为 ， 位于： ，位于： 而点电荷的像电荷为 ， 位于： ，位于： 如题4.26图所示。由此可见，像电荷和等值异号，且同时位于球心，故球心处总的像电荷为零；而像电荷和也等值异号，且位置关于球心对称，故构成位于球心的电偶极子，其电偶极矩为 （2）球外的电位由和以及像电荷和共同产生，即 当和分别趋于无穷，同时保持不变时，有 球外的电场为 4.27 一根与地面平行架设的圆截面导线，半径为，悬挂高度为。证明：单位长度上圆柱导线与地面间的电容为。 解 地面的影响可用一个像圆柱来等效。设导线单位长度带电荷为，则像圆柱单位长度带电荷为。根据电轴法，电荷和可用位于电轴上的线电荷来等效替代，如题4.27图所示。等效线电荷对导体轴线的偏移为 则导线与地间的电位差为 故单位长度上圆柱导线与地面间的电容为 4.28在上题中设导线与地面间的电压为。证明：地面对导线单位长度的作用力。 解 导线单位长度