隐函数求导法则

隐求导法则 (十) 隐函数求导法则 由方程所确定的是的函数称为隐函数。，，Fx,y,0yx 从方程中有时可解出是的显函数 ,如从方程，，Fx,y,0yx 31可解出显函数;有时，从方程y,,x,3x，5y，1,055 中可以解出不止一个显函数，如从方程，，Fx,y,0 22222中可以解出。它包含两个，，x，y,R,0R,0y,,R,x 2222显函数，其中代上半圆周，代表y,R,xy,,R,x下半圆周。但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程就不能解出来的形，，y,f(x)y,x,,siny,00,,,1 式。 现在讨论当是由方程，，所确定的的函数，yFx,y,0x ,并且对可导(即存在)，那么在不解出的情况下，，，yxyxy ,如何求导数呢,其办法是在方程中，把看成，，yFx,y,0yx的函数，，，于是方程可看成关于的恒等y,yxx式:.在等式两端同时对求导(左端要用到复合，，，，Fx,yx,0x ,函数的求导法则)，然后解出 即可。 y 222,例2.14 求方程，，所确定的隐函数的导数. x，y,RR,0y 222解 当我们对方程的两端同时对求导时，则应x，y,Rx ,，，有(是中间变量) 2x，2y,y,0. 解出 y,yx x,. ，，y,,y,0y 222，，思考 证明:圆，，在其上一点处Mx,yx，y,RR,0000 2的切线方程为xx，yy,R.问:法线方程是什么, 00 1 例2.15 求曲线在点处的切线方程。 ，，xy，lny,11,1解 将曲线方程两边对求导，得 ，即 (xy)'，(lny)',0xxx 1,,. y，xy，,y,0y 2,y,于是 . 过点处的切线斜率 ，，y,1,1xy，1 2,y1, ==. k,,y，，1,1，，1,12xy，1 1x，2y,3,0故所求切线方程为 ， 即 . ，，y,1,,x,12 2,例2.16 已知 求. y，，xy,sin,y,0,，，0,,1解 方程两边对求导，得 x 22,,，即 . (xy)',[sin(,y)]',0，，y，xy,cos,y,2,yy,0xx 11,y,, y,,y,,,.，，0,,12,,,x,,y,y2cos()2,cos2 2例2.17 证明双曲线上任意一点的切线与两坐标轴xy,a 2形成的三角形的面积等于常数. 2a 2证 在双曲线上任取一点，，，过此点的切线斜率x,yxy,a00 yy0,为 故切线方程为 ky,,,,,.,x,x，，xy000xx0 y0 .此切线在轴与轴上的截距分别为y,y,,(x,x)yx00x0 12，, 故此三角形面积为 . 2y2x2y,2x,2x,y,2a0000002 x，1dy，，sinxy,ln,1例2.18 设 ，求 . x,0ydx 2 ,,,yx，1,解 两边对求导，有 ,,x,,，，，，cosxyxy,,,0,,x，1y,, ,yy,x，1y，，，，，， ,,cosxy,y，xy',,,02x，1y ,1y,，，，，ycosxy，xycosxy,，,0？？(,) x，1y x，11时，由 ，，可解出, 即 当sinxy,ln,1,ln,1x,0yy ,y而当 时，由可解出 . ，，lny,1,？y,e.x,0,y,e*e,1，,0e ,. ，，？y,e1,ex,0 (十一)取对数求导法(是要点) 先看几个例题。 x例2.19 设，，. 此为指数函数。两边取对数得 y,aa,0,a,1 x,即 ,这是隐函数形式，按隐函数求导lny,xlnalny,lna x法:将此式两边对求导，得 ,,,,, 即 . ，，，，，，lnlnlny,y,lnay,xayxx 1x,,,y,lna , . ？y,ylna,a,lnay ,xxx即指数函数的导数为 ……(1) y,a，，a,a,lna ,xx特别当时，则有，， ……(2) a,e？lne,1，，e,e ,x由复合函数求导法，利用公式(1)容易求出的导数: y,a ,,,,x,x,x,x, . ，，，，y,，，，，a,a,,x,，，a,lna,,1,,a,lna，，,x 222,ax，bx，cax，bx，c2ax，bx，c,而 . ，，(e)e，，axbxc,e,2ax，b,,，， y若求由方程所确定的隐函数y的导数，只须两边对e,xy 3 yyx,,,求导，得 所以 ,e,y,y，xy,y.y,ex yey (注:另一种解法 从中容易解出 此为x,.？e,xy,y 的反函数。而 ，，y,yx ddyyye,ey，，yydxye,edydy 由此易知 ,,.2zdyyy 22dyydyyyy1 . 即,). ,,,,yyyyydxdxe,xdxe,xye,eye,xy xy a例2.20 求幂函数(为任意实数)的导数。 x,0,ay,x nn,1a,解 当，已有. 现在在两边取(x),nxy,xa,n,N,a,R ayx对数，则有, 即 . 两边对求导数(lny,alnxlny,lnx 11,,,,,y,alnx,a,，，做中间变量)，有 , . ，，，，lnlny,axxyx ,aaa,1yxa,1，，x,ax，，a,R, 即 . ？y,a,,a,,a,x.xx 例2.19,例2.20说明:对指数函数，幂函数求导数，幂指函数求导数，都可以利用“取对数求导法”。但注意，要尽量 ,22利用已有公式，如求不必再去令，然后，，y,1，x1,，x 两边取对数。而可直接求 ,11,,,1，，222222，x,，x,，x,，x1111，，，，，，，，,,2，， x11,,,2x,.222，x，x11 x,例2.21 求幂指函数的导数. y,xy 4 x解法一 利用两边取对数: 即 .lny,x,lnxlny,lnx, y再利用复合函数求导法则 (这里中间变量是): 11,,,y,lnx，xlnx,lnx，x,，， yx x, ，，，，？y,y1，lnx,x1，lnx. xxlnxxlnx解法二 由，可变形. y,xy,e,e ,,,xlnxxlnxxlnx，，, ,e,x，x,x，，，，lnln，，ln？y,e,e,xx,,，， x1,,xlnxlnxx ，，，， ,elnx，x,,e1，lnx,x1，lnx.,,x,, 解法一是对幂指函数两边取对数;解法二是利用 lnf，，x(当)。两种技法都要掌握。 ，，，，fx,e.fx,0 ,(x)例2.22 求幂指函数的导数。 ,,y,f(x) 解 两边取对数两边对求导，有lny,,(x)lnf(x),x 11,,,y,,(x)lnf(x)，,(x),,f(x)，解出 yf(x) ,，，f(x),, y,y(x)lnf(x)，(x),,,,f(x)，， ,，，fx(),(x), ,,,fxxfx，x(),()ln(),().,,fx()，， 例2.20，例2.21，例2.22告诉我们，对于指数函数，幂函 ,数,幂指函数都可采用先取对数，再求导，最后解出的方y法——即“取对数求导法”。不仅如此，“取对数求导法”也常用来求那些含乘，除，乘方，开方因子较多的函数的 ，,求导。这是因为对数能变，为+，—，把乘方变。 2,3例2.23 求，，(x1)(2x). ,, 5 ,1,,2,233解法一 = ，，(x1)(2x)[(x1)(2x)],,,,,, ,, 2,1223,= [(x,1)(2,x)],[(x,1)(2,x)]3 112= ,,[2x(2,x)，(x,1)(,1)]22233(x,1)(2,x) 22214x,2x,x，11,3x，4x，1,,==. 2222223333(x,1)(2,x)(x,1)(2,x) 123解法二 令，两边取对数 y,[(x,1)(2,x)] 12，两边对求导数， lny,[ln(x,1)，ln(2,x)]x3 2112x,11,3x，4x，1,. 所以 ,y,[，],,22y32,x3x,1(x,1)(2,x) 22,x，x，,x，x，1341341,y,y,,, .2223x,,x3(1)(2)x,,x3(1)(2) 与解法一的方法不同，但结果一样。细心的同学可能会对解法二提出质疑: 123在表达式中，并未说明有y,[(x,1)(2,x)] 2，那么，怎么可以对它们取对数呢,x,1,0,(2,x),0,y,0 严格说来，应该分情况: 2当或时，由导数定义可以知道x,1,02,x,0 1223的导数在处不存在。当x,,1,x,2y,[(x,1)(2,x)]x,1,0且时，，此时可先在表达式 y,02,x,0 12233两边取绝对值，得 . y,[(x,1)(2,x)]y,x,1,2,x 2x,1,0,2,x,0,y,0因为，所以可在上式两边取对数: 6 12 ……(*) lny,[lnx,1，ln2,x]3 11x,,再对两边对求导数(但我们记得x，与x(ln),(ln),xxxx x是相同的，即对(*)关于求导的结果应该与不带绝对值 12x的式子 两边对求导的结果完lny,[ln(x,1)，ln(2,x)]3 全一样。因此，今后做题取对数时，可不用取绝对值，而直接取对数就可以了。 参数方程求导法: (十二)由参数方程所表示的函数的求导公式。平面曲线一般可用方程或表示。但有时动点坐标F(x,y),0y,f(x) 之间的关系不是这样直接给出，而是通过另一个变量tx,y 间接给出的，例如，圆心在原点(0，0)，半径为R的圆周可用方程组 x,Rcost{, t,[0,2,]y,Rsint 表示。一般来说， 图3.4 如果平面曲线L上的动点坐标可表为如下形式 x,y ,x,(t){ , , ……(*) t,[,,,]y,,(t) 则称此方程组(*)为曲线L的参数方程，t称为参数。在 上取一点t的值，则对应曲线L上一点. 当t取[,,,](x,y)遍[,,,]上的所有值时，对应的点(x,y)便组成曲线L. , 当函数y,f(x)由参数方程(*)给出时，怎样求导数, y 7 ,,,设 都存在，，且函数存在反函,(t),,(t),(t),0x,,(t) ,1yxt数，则通过成为的复合函数t,,(x) ,1,,,.再由复合函数求导法则知 . y,y,ty,,(t),,[,(x)]xtx dt11,又由反函数求导法可知 , 所以 t,,,xdx,dx,(t) dt ,,dydy(t)dt1,,. ,,,(t),,,,dxdtdx,(t),(t) dy ,,dy(t)dt就相当于 . ,,dx,dx,(t) dt x,acost,{例2.24 求椭圆 在 处的切线方程。 t,y,bsint4 ab,,,x,acos,y,bsin, 解 当时，， . t,44422 ab(,)于是椭圆上的切点是. 椭圆在切点处的切MM,0022 线斜率为 dy2b,,bt(sin)dybtbcosdtt2 ,,,,,,,.,,dx,dxatata(cos),sin,2t,t,tt,44a,4,dtt,24 bbay,,,(x,)利用点斜式可写出切线方程 . a22 b2bby,,x，即 . 或写为 . y,,x，2baa2 作业:p.114 7, 8(4,10), 9(3,5,6,7,9). 导数计算法则小结 8 (1) 四则运算法则 ,,设存在，则 u(x),v(x) ,,,(u,v),u,v ,,,(u,v),u,v，u,v ,,() (c,u),c,uc,const. ,,uvu,uv,,(). v(x),0(),2vv (2)复合函数求导法则 ,,,设 ，则 . y,y(u),u,u(x)y,y,uxux(3) 隐函数求导法则 (4) 取对数求导法则。若, 可令 y,f(x) lnf(x)lny,lnf(x),或y,f(x),e. (5)反函数求导法则 ,设存在可导的反函数，且，则 y,f(x)x,,(y)f(x),0 11,, 或 . x,(y),,y,,f(x)yx (6) 在分段点要用定义求导数 (7) 参数方程所表示的函数的求导法 x,x(t),dyy(t),,设{，其中可导，且，则 . x(t),y(t)x(t),0,y,y(t)dxx(t) 要熟记的常用公式 ,,,1,1. , . (x),,x,,R 11,,,(lnx),(lnx),2. , . (logx),logeaaxx xxxx,,3. . 4. . (a),alna(e),e 9 ,,5., . (sinx),cosx(cosx),,sinx 1,122,,. . (tanx),,secx(cotx),,,cscx22cosxsinx,,. . (secx),secx,tanx(cscx),,cscx,cotx 1,6. , (arcsinx),(,1,x,1)21,x 1,(arccosx),,, (,1,x,1)21,x 1,(arctanx),. 21，x 1,(arccotx),,. 21，x ,,,7. . y,y,u(x)u 22,,8. 的不同的意义。 f(x),[()]fx ,，,,,,sinsin2cossin9. . ,,,,22 ,，,,,,sinsin2sincos. ，,,,22 ,，,,,,coscos2coscos. ，,,,22 ,，,,,,coscos2sinsin. ,,,,,22 求导的典型习题 2,习题1 ，求. y,ln[cos(10，3x)]y 12,, 解 = y,,[cos(10，3x)]2cos(10，3x) 2sin(103),，x2, ,(10，3x)2cos(10，3x) 22=. ,tan(10，3x),6x,,6xtan(10，3x) 10 x33x,习题2 ，求. y,3，x，3，xy x33x,,,,, 解 y,(3)，(x)，(3)，(x) xxx2lnxx2lnx,, ,3ln3，3x，(e),3ln3，3x，e,(xlnx)x2x=. 3ln3，3x，x(1，lnx) y22,lnxyarctan习题3 ，求. ，,yx x解 (利用隐函数求导法)，两边对求导 1y222,, [ln()](arctan)x，y,xx y1122,, [ln(xy)]()，,,xxy2x21()，x 2,xyy1x,22, [ln(xy)]，,,x2222xyx， ,,xyy122,,，, (xy)x2222，，2(xy)xy 1x，y,,,. 解出 . (2x，2y,y),xy,yy,x,y2 21f(x),,习题4 已知 ,且，求证. y(a),y(a)y,ef(a),2f(a) 222f(x)f(x)2f(x),,,,证,,,,,y[e]e[f(x)]e2f(x)f(x), 2221f(a)f(a)f(a),,y(a),e,2,f(a),f(a),e,2f(a),,e.而 2f(a) 2f(a), ，故有. y(a),y(a)y(a),e 1,2x,0,xsin,*习题5 设，求. f(x)f(x),,xx,0,a, 解 当时，(用公式求) x,0 11 11111,2,f(x)2xsinxcos()2xsincos. ,，,,,,2xxxxx 11,,,注意:为求，不能ffxx f(0)(0),lim(),lim2sin,cos,.....x,0x,0xx 当时，如果，则 x,0a,0 12 ，因此 limf(x),limx,sin,0,ax,x,00x ,在处不连续，故在处不可导，即不存在。 f(x)f(0)x,0x,0 如果,在处连续，此时须用导数定义求分段f(x)a,0x,0 点处的导数: x,0 f，,x,ff,x,f(0)(0)()(0),f,, (0)limlim,x,0,x,0,x,x 12x(,),sin,01x, . x,lim,lim,,sin,0,x,0,x,0xx,, ,? 当时=0.故结论是: f(0)a,0 11,2xsin,cosx,0,f(x),(1) 当时， a,0,xx,不存在x,0 11,2xsin,cosx,0,f(x),(2) 当时， a,0,xx,0x,0. 22sin(x，1),yy,e习题6 求的导数. 22sin(x，1)22,,ye[sin(x1)],,，解 22sin(x，1)22,,e,2sin(x，1),[sin(x，1)] 22sin(x，1)222,e2sin(x1)cos(x1)(x1),,，,，,， 22sin(x，1)2,2x,e,sin2(x，1). ，，习题7设，定义在内,其中F(x),min{f(x),f(x)}0,212 1,f(x)x,f(x)，，. 求. ,,F(x),x,0,212x 12 解 实际上是一个分段函数: F(x) ,x0,x,1,1F(x),,1,x,2. ,x, ,,所以，当时，. F(x),(x),10,x,1 1,1,,当时，; 1,x,2F(x),(),2xx 当时， x,1 FxFx(1，,),(1)(1，,),1,F. (1),lim,lim,1,,,,x,0,x,0xx,, 1,1F，,x,F(1)(1)，,x1, F,,(1)limlim，，，,x,0,x,0,x,x xx1,(1，,),,. ,lim,lim,,1，，,x,0,x,0xxxx,(1，,),(1，,) ,,,，?不存在。 F(1)F(1),F(1),， *习题8 设在闭区间上连续，且 f(x),,a,b ,,f(a),f(b),0,f(a)f(b),0，证明必有一点 ，，，,,a,b 使得.(想曲线图) f(,),0 ,,证(证明的关键是如何利用条件) f(a)f(b),0 ,,不妨设 ，由已知条件可得 f(a),0,f(b),0 f(x),f(a)f(x),. lim,lim,f(a),0，，x,ax,ax,ax,a 由于极限大于0，所以，使当 时，有 ，,,00,x,a,,11f(x). ,0x,a x,a,0x,(a,a，,)?，?有f(x),0，故存在 ，使得11f(x),0. 1 13 f(x),f(b)f(x),同样，由.由于极限大于lim,lim,f(b),0,,x,bx,bx,bx,b f(x)0，所以 ，使当 时，有.?，,,00,b,x,,,022x,b ，?有，故存在，使.f(x),0x,(b,,,b)f(x),0x,b,0222 在 上连续,且异号，由连续函数的零f(x)f(x),0,f(x),012 点存在定理可知，使. f(,),0，,,(x,x),(a,b)12 习题9 设在处可导，试证 f(x)x,a xf(a)af(x),,. lim,f(a),af(a)x,axa, fx,fa()(),fa,证 ?.则 ()limx,ax,a xfa,afxafa,afx，xfa,afa()()()()()(), limlimx,ax,ax,ax,a ,,,a[f(x)f(a)]xa,，, lim{f(a)}x,a,,xaxa ,,,,af(a)，f(a),f(a),af(a) . 1，t,x,3,t习题10 参数方程表示平面上的一条曲线,求在,31,y,，22t2t, 处,曲线的切线与法线方程。 t,1 解 当时,曲线上对应的点为. 又 ? (x,y),(2,2)t,100 32t,1,3t(1，t)2t，3,,. x(t),,,,x(1),,5,64tt 220121317t,,t,,,(),(1) . yt,，,,,y,,42324222tttt 6，t,23,dyy(t)t，6tdy72t而 . . ,,,,2t，3,dx10dxx(t)4t，6t,1,4t 7切线方程:，即7x,10y，6,0. y,2,(x,2)10 14 法线方程:(过点与切线垂直的直线) (2,2) 10，即 . 10x，7y,34,0y,2,,(x,2)7 R习题11 设球的半径以2厘米/秒的速度等速增加，求当 VR=10厘米时，其体积的增加速度。 球半径 dR43 解 ? ，而半径的速度为，体积增加的,2VR,,3dt dV速度为. ? dt dVd44dR32,,,(R),(,3R,)10R,dtdt33dt10R, 423 ,,,3,10,2,800,(cm/sec). 3 *习题12(综合题)已知在处可导，且f(x)x,1 2fxx(sincos)，,f(1),0,f(1),2,求 lim.x,0xxtan解 2f(sinx，cosx),lim(f(1),0,f(1),2)x,0xtanx 15 22f[1，(sinx，cosx,1)],f(1)sinx，cosx,1,lim,2(sinx，cosx,1)xtanx0x,,(0),,x, 2sinx，(cosx,1),,f(1),lim,,cosxxsinxx,0 x22sinx,2sinx2,2,lim(,cosx) xsinxx,0 x22sin,cosxsinx,cosx2,2,lim(,)xxsinx0x, x1sinx1222,2[1,lim(),],2(1,),1.0x,xtanx2 2 (不要错误使用无穷小代换。例如求 xxxxsin, 解 lim.？sinx,2sincos,2x,0x22 xxxx1223xx,2sin[1,2sin]~2,,[1,2,()],, 错24248 xxsin,1？lim,,.)2x,0x8 一定要是乘除的因子～ 16 17