一般状态下悬链线方程的应用

　文章编号 　167127953 (2007) 0320026203 一般状态下悬链线方程的应用 王 　丹 　刘家新 武汉理工大学 交通学院 　武汉 　430063 摘 　要 　建立悬链线方程 ,分析悬链受力及方程的解法 ,结合实例运用悬链线方程计算锚链参数 ,完成工 程船在具体海况下的锚泊设备选型。 关键词 　悬链线方程 　锚泊设备 　工程船舶 中图分类号 　U662 　　　文献标识码 　A Application of the catenary curvepis equation in common condition WANG Dan 　LIU Jia2xin School of Transportation 　Wuhan University of Technology 　Wuhan 　430063 Abstract 　This paper deduces the catenary curvepis equation in common condition , discusses about the loading in the catenary curve. With an example , the authors analyze application of the catenary curvepis equa2 tion in reality which helps to choose the suitable anchor equipments on engineering ship Key words 　equation of catenary curve 　anchor equipment 　engineering ship 收稿日期 　2006209220 修回日期 　2006210230 作者简介 　王 　丹 (1980 - ) ,女 ,硕士生。 　　工程船舶在海上定位时既要考虑风、浪、流载 荷的影响 ,还要充分考虑施工区域的水深、周围环 境及障碍物的影响。船舶设计者一般都是按照舾 装数来确定锚、及系泊设备。然而 ,对于许多工程 船并不是简单在锚地抛锚 ,而必须在规定的工地、 特定的海况下进行抛锚或作业。对于该类型的工 程船 ,用抓持力法来确定锚泊链的链长和链径。 1 　建立方程 在抛锚过程中 ,出链长度相对水深不够充分 时 ,在船舶运动或者受到外力作用下 ,锚干会仰起 一个角度 ,这个角度成为起锚角 ,它会使锚的抓力 系数减小。 所以 ,为了锚泊安全 ,一般都使一段锚链卧 底 ,以保证锚干平贴水底 ,充分发挥抓底能力 ,并 产生锚链抓力 ,增加锚泊力。对于用链索泊碇的 浮船坞 ,由于受水域限制 ,锚不能抛得太远 ,而采 用沉石 ,这时就会有一定的上拔力。将有起锚角 情况下的悬链线方程作为研究对象 ,有锚链卧底 是其特例。 1 . 1 　建立平面直角坐标系 如图 1 所示 ,设水底是水平的 ,水深为 h ,锚 链固定于 o 点。设锚链位于一垂直平面内 ,不考 虑锚链的三维变形 ;水流没有垂直分量 ,水平流速 也位于锚链所在平面内 ,且流速大小恒定 ,不随水 深变化。设 o点处锚链的张力为 T 0 ,力的作用线 与 x 轴成α角 ,其水平分力记为 R ;系船处张力为 T1 ,其力的作用线与水平方向的夹角记为β, T1 在水平方向上的分力即为船舶的锚泊力。锚链单 位长度在水中的重量为 q ,水面上的部分链长度 较短 ,其单位长度自重近似为 q ,悬链线部分长度 为 L 。在有锚链卧底的情况下 ,既在悬链线方程 特例情况下 ,该坐标系原点相当于是建立在卧底 直线和悬链线的分界处[1 ] 。 图 1 　悬链线坐标系 　 62 第 36 卷 　第 3 期 2007 年 6 月 　　　　　　　　　　 船 海 工 程 SHIP &OCEAN EN GIN EERIN G　　　　　　　　　　　 Vol. 36 　No. 3 J un. 2007 1 . 2 　建立受力平衡方程式及求解微分方程 图 2 　悬链线微元受力图 　 任取悬链线部分长度为ΔL 的微元 ,其受力 如图 2 所示[2 ,3 ] 。两端张力 T 和 T +ΔT ,其作用 线与 x 轴成θ角 ,水中自重为 qΔL 。张力 T +ΔT 为 L 的连续函数 ,在 x、y 轴上的投影也为连续函 数 ,把两个投影分别展开成泰勒级数 ,并略去二阶 微量后 ,可得到张力 T +ΔT 在 x 轴上的投影为 : Tcosθ+ d ( Tcosθ)dL ·ΔL ; 在 y 轴上的投影为 : Tsinθ+ d ( Tsinθ)dL ·ΔL 。 可微元受力平衡方程式为 : ∑Fx = Tcosθ+ d ( Tcosθ)ds ·ΔL - Tcosθ= 0 (1) ∑Fy = Tsinθ+ d ( Tsinθ)dL ·ΔL - Tsinθ- q·ΔL = 0 (2) 由 (1) 、(2) 式可得如下微分方程 y″= 1 a 1 + y′2 (3) 式中 : a = R q 。 由图 1 还有以下关系式 y (0) = 0 (4) y′(0) = tanθ (5) 由 (4) 、(5) 两个边界条件求解微分方程 (3) 可得一般状态下的悬链线方程 y = a ·ch x a + ln ( tanα+ secα) - a ·secα (6) 对 dL 积分便可得到悬链线的长度 ,且 L (0) = 0 dL = 1 + y2 d x = 1 + sh2 x a + ln ( tanα+ secα) d x L =∫dL = a·sh x a + ln (tanα+ secα) - a·tanα (7) 悬链线的张力 T 和有起锚角情况下的上拔 力的 F 的表达式为 : T = R · 1 + y2 = R ·ch x a + ln (tanα+ secα) (8) F = R ·tanα (9) 当α= 0 时 ,悬链线方程、悬链线长、悬链线张 力分别可以简化为 : y = a ·ch x a - 1 (10) L = a ·sh x a (11) T = R ·ch x a (12) 2 　应用 2 . 1 　船舶资料 某海上工程船主要用于海岸港口工程建设打 桩。工作航区为沿海和长江 A 、B 级航区 ,调遣航 区为近海航区。按中国海事局“海船法定检验技 术规则”(2004 年) 规定的沿海、近海航区要求进 行设计、改建。 2 . 2 　作业海况 最大作业时风力 :蒲福氏 6 级风。 最大作业时波高 :1. 20 m。 最大作业时水流速度 :2. 5 m/ s。 抗风能力 :蒲福氏 10 级风以下 ,采用就地倒 架锚泊抗风形式。 作业水深 :打桩作业水深适用范围较广 ,从最 小水深2. 50 m到最大作业水深12. 50 m。(此时泥 面标高 - 8. 5 m ,潮位 + 4. 0 m) 所有计算通过 VB 完成。首先计算外力 ,包 括风阻力、水流阻力和波浪漂流阻力 ,见图 3～5。 图 3 　风阻力计算 72 一般状态下悬链线方程的应用 ———王 　丹 　刘家新 图 4 　水流阻力计算 图 5 　波浪漂流阻力计算 　 　　风阻力 R1 为[4 ] : R1 = C1 ·12ρ1 V 2 1 A 1 水流阻力 R2 为[4 ] : R2 = 1 . 67ΩV 1 . 832 + C2 ·CB A 2 V 1 . 7 + 0 . 15V 22 波浪漂流阻力 R3 为[1 ] : R3 = 34 Kρ2 gB 1 4 H1 2 co s0°×10 - 3 运用悬链线方程计算锚链参数 ,方程求解利 用牛顿迭代法 ,求解过程由 VB 程序完成。 试取锚链 AM22<48 ,破断力1 270 kN ,链重 0. 051 7 t/ m。 计算抛锚工况为水深 h = 12. 5 m ,要求抛锚 后不对锚产生上拔力 ,确定悬链参数。根据已知 条件 ,通过 VB 程序得到计算结果见图 6。 图 6 　悬链参数计算 　 根据计算结果知道 ,本例中锚链的安全系数 n = 3. 2 ,如果需要安全系数再大一点 ,可以重新选 择锚链再次计算。本次试取的锚链符合规范要 求 ,不需要再进行计算。实际抛出的锚链长度可 以根据计算得到的悬链长和需要的卧底长度以及 锚链舱底到锚链筒口的链长确定 ,即 :实际抛出的 锚链长度等于悬链长、卧底长和锚链舱底到锚链 筒口的链长三者之和。根据计算得出的外力确定 该工程船舶需要的锚 ,取锚的抓重比为 7 (与海底 地质有关) ,可得到锚的重量 G为 : G = 17 ( R1 + R2 + R3 ) = 5 619. 514 kg 实取 6 000 kg 斯贝克锚。 航工桩 9 实际选取的锚泊设备为 :斯贝克锚 9 只 ,每只锚重 6 000 kg ,设 AM3 66 锚链 1 根 ,长 度为 11 节 ,锚索 8 根 ,与锚链衔接。 通过抓持力法计算得到该船的锚泊设备与实 际选用的锚泊设备基本相符和 ,差别的原因在于 本例计算的状态是单点系泊 ,锚链的成分是单一 成分。至于在多点系泊情况下各根锚链张力的分 配以及单一锚链和复合锚索的经济性本例中未作 考虑。总的来说 ,用抓持力法对工程船舶的锚泊 设备进行选型是可行的。 3 　结束语 在多数情况下 ,为安全起见 ,锚链都会有一段 卧底 ,以增加系泊力 ,从而用到 (10) 、(11) 、(12)这 些表达式 ,但是在特殊情况下 (6) 、(7) 、(8)也很有 必要。 在悬链线方程的运用过程中 ,需要计算船舶 所受到的外力 ,目前风力、流力的研究已经成熟 , 但是波浪力得计算目前还没有权威的经验公式 , 本文中波浪力的参照于“大力号”的波浪 漂流阻力计算。工程船舶一般都是多点系泊 ,本 文只是就单根锚链作了计算分析 ,各根锚链的张 力分配问尚未解决。 参考文献 [1 ] 胡灵斌 ,唐 　军. 悬链线方程求解及其应用 [J ] . 船舶 , 2004 (1) :18. [2 ] 钟于祥. 锚泊船舶出链长度及张力估算 [J ] . 淮阴工学 院学报 ,2004 ,13 (3) :324. [3 ] 张养利 ,王连昌 ,李文潮 ,张改英. 悬链线微分方程的 另一种解法[J ] . 第四军医大学学报 ,2001 (1) :41. [4 ] 李世谟. 船舶阻力[ M ] . 北京 :人民交通出版社 ,1989 : 1122113 ,158. 82 一般状态下悬链线方程的应用 ———王 　丹 　刘家新