圆锥曲线定值问题的拓展与思考

30 上海中学 ·2010年第 3期 圆锥曲线定值问题的拓展与思考 200135 上海市进才中学 魏明志 孙冬梅 圆锥 曲线 有着 鲜 明的几何 特征 ，又在 形式 结构和规律上和谐统一，一脉相承．它们有趣而 美妙的一些性质逐渐被人们所揭示． 例 1 过圆 z。+ =R 上的一定点 P(xo， yo)分别作斜率为一k和是的直线 z1、12．设直线 ll、12与圆 +Y。一R 分别交于 A，B，则直线 AB的斜率为 (定值)． 0 显然例 1是圆与直线的斜率相关的定值问 题．那么，对于椭圆、双曲线 、抛物线与直线的斜 率是否也有类似的结论得到拓展? (1)设 P(xo，yo)是 圆 z +Y 一R 上 的一 定点，作斜率为塑 的动直线 z与圆交于 A，B两 0 点，则直线 PA，PB的斜率之和为 0(定值)． (2)过椭圆 + y-=l(。>6>o)上的一定 a o 点 P(xo，yo)(yo≠0)分别作斜率为一k和k的 直线z 、zz，与椭圆 + 一1分别交于 A，B， 则直线 AB的斜率为 旦 (定值) ． “ yo (3)设 P(xo，yo)是椭 圆 + 一1(口>b 口 D >o)上的一定点，斜率为 的动直线 z与椭 “ 0 圆 + y-一1交于 A，B两点，则直线 PA，PB n D 的斜率之和为 O(定值)． (4)过双曲线 一 =1(口>o，6>0)上的 a。 D 一 定点 P(xo，yo)(yo≠O)分别作斜率为一k和 k的直线z1、2．设直线 ll、12与双曲线 一 -~2一 a f， 1分别交于 A，B两点，则 直线 AB的斜率为 一 (gffi>． (5)设 P(zo，yo)是 双 曲线 + y-一 1 (n>o，b>O)Jc的一定点 ，斜率为一 的动直 n yo 线 z与双曲线 一万y-一1交于 A，B两点，则直 线 PA，PB的斜率之和为0(定值)． (6)过抛物 线 Y0—2px上的一定点 P(xo， yo)(yo≠O)分别作斜率为一k和k的直线 zl、 12．设直线 ll、12与抛物线 Y =2px交 于A，B两 点 ，则直线 AB的斜率为一上(定值)． Y0 (7)设 P(XO，yo)(Yo≠0)是抛 物 线 Y — 2px上的一定点，斜率为一 的动直线 z与抛物 线 Y。一2px交于A，B两点，则直线 PA，PB的 斜率之和为 0(定值)． 以上 拓展 也有不 失一般 性 的结论 ：过 圆锥 曲线 Ax +Cy +Dx+Ey+F一0上的一定点 P(xo，yo)(其中2Cyo+E≠o)分别作斜率为一是 和k的直线 z1、12与该圆锥曲线交 于A，B两点 ， 设直线 AB的斜率为 d．,．,~d-O 7--U．即kpA-~-kPB一0 设直线 的斜率为 ．即 一 是 志仙 为定值 的充分必要条件． 圆锥曲线中类似的定值有很多，就圆锥曲 线的定义、方程、性质等而言，无不体现着圆锥 曲线的代数形式与几何性质的和谐统一． 1．圆锥曲线的定 义是产生定值 的源泉 (以双 曲 线为例 ) (1)双曲线的定义本身就是一个定值 2n． 平面内与两个焦点 F1，F2(1FlF2 l一2c)的距离 之差的绝对值等于定值 2n的动点的轨迹叫做 双曲线，即 l 1 PF1 I—f PF2 I 1=2a(其中 01)． (3)双曲线 的方 程 一 n2—1本身就 蕴涵 n L， 着定值． (4)与双曲线的顶点连线的斜率产生的定 值．双曲线 一 y- 1上的任意一点 P与两顶 a o。 点A1(--a，O)、A2(a，O)连线的斜率之积等于定 值 kpA kvA：= ． (5)与双曲线渐近线的距离之积产生的定 值．双曲线 一 yZ一1上的任意- ,4 P与 两条 渐近线 一鲁z、 ：一 b-z的距离之积为定值 口2b2 — a — 2—+———b一2‘ (6)与双曲线相关的直线在坐标轴上的截 距产生的定值．过双曲线与一Y_，，2—1上的任意 以。 D 一 点 P分别作斜率为一鱼和鱼的直线 z1 、z2．设 直线 ll、12与 z轴分别交于 M，N，0为原点， l OMl·I ONl—a ． 2．圆锥曲线产 生的定值与对称有关 圆锥曲线定义本身就体现着它的几何特 征，比如曲线的范围、曲线的对称性等都是借助 于曲线 的方 程加 以研究 的 (即用代 数 的方 法研 究几何问题)，尤其是定值问题与具有对称性关 系密切． 在 以上的拓展中提到的“过定 点 P(xo，yo) 且斜率分别为一k和k的直线 z1、lz”，具有关于 直线 z—XO对称的特性．与顶点、渐近线、斜率 分别为一 和 的直线 z1、z2等都具有鲜明的 对称元素． 由斜率之和为 0的两条直线 ，从双曲线类 比到椭圆，同样产生一些类似的结论(这里类比 的结论不必一一列举)． (1)过椭圆 + 一1(口>6>o)上 的任意 一 点P分别作斜率为一导和 的直线z1、z2．设 直线 z1、z2与 轴分别交于M，N，0为原点，则 fOMf 十iONf 0—2a0(定值)． (2)设椭圆 + y-(＆>6>0)上 的任意 一 点P到直线3，一詈z及 ：一 b z的距离分别 N d ， 则 dl 2 = (定 以上两个定值结论，在圆、双 曲线 、抛物线 是否也有类似的定值?请读者不妨尝试拓展． 通过对以上定值问题的拓展研究明，圆 锥曲线中存在诸多定值绝非偶然，而是 圆锥曲 线的特性所决定的必然结 果．有 目的地引导 、研 究、拓展、发现一些问题是最有价值的．对圆锥 曲线的定值的研究与思考，不仅仅介绍其美妙 定值的表现形式 ，而且通过层层 递进 的拓展 、纵 横深入的思考 ，揭示 了丰富的数学 内涵及其鲜 明的辨证规律 ，这才是数学的魅 力所在 ． -( )． ⋯ ㈣ ()．( )●㈨ ‘) ●( ) ．( )．一 ● ‘‘) ．( )． p ．( )． 一 ●( )●㈨ Q ● ● 5 SAT数学： ： 1．Which of the following functions iS neither odd or even9 V (A){(1，2)，(4，7)，(一1，2)，(O，4)，(一4，7)} 5 (B){1，2)，(4，7)，(一1，2)，(O，0)，(一4，一7)} ； (c){(z， )： — 。一 +1) (D){(z， )： —z +2} (E)厂(z)=l zl i 2．If厂(r，s)一3r+2s--5 and g( )一t0+l for aI1 real DHmbers r，s，and t，thenf(3 i (A)9 (B)14 (C)81 (D)7 (E)5 5 5 S Solution：1．C 2．B 一 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 一 ⋯ 一 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 。 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ o ●o ●0 ‘ ，g(2))2 ●<> ●o ●o ●