圆锥曲线中的定值与最值问题

圆锥曲线 数学导学 houxia责ng编yo g周xin@翔163 。m 数学中的定值与最值问题，历来是高考的热点。 求解定值 与最值的基本策略有二：一是从几何角度考 虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义 时．可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，当题中 的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过 建立目标函数，求其目标函数的最值 一 回至Ⅱ定义 1 2 例l 已知椭圆去+L9 =1，A(4，0)，B(2，2)是椭圆 内的两点，P是椭圆上任一 y Q P 点，求：(I)÷ l PA l+I P日I的最小值；(1I)l PA l+l P曰I的最小值和最大值。 解析：(I) 为椭圆的右焦点。作 P()上右准线于 点Q，则由椭圆的第二定义 =e：了4 ， ． · ．}I i+ IPBI=lPQl+lPBl。问题转化为在椭阒上找一点 P， 使其到点 曰和有准线的距离之和最小，很明显，点 P 应是过 向右准线作垂线 与椭圆的交点，最小值为 l7 ； (1I)由椭圆的第一定义，设 C为椭圆的左焦点， 则IPAI=2a—I PCI。．‘．I PA l+I JPBl=2a—l PCI+ IPBt=10+(}尸曰I—lPC1)。根据_1角形中，两边之差 小于第 边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取 得最大和最小值。即 一I BCI≤I PB】一I PCI≤l BC1 当 P到P 位置时，f船 f—fPC【_fBCf，f朋 I+f船 i 有最大值，最大值为 lo+I 8cI_10+2．／fo；当P到 P 位置时，I PB1～I PC1：一I BCI，l l+I PBl有最 小值，最小值为 10—1BCI=10—2 lO。 点评：回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线 中有类似应用。另外，(2)中的最小值还可以利用椭 圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭 圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是 最短的。 二 目标函数法研究定值与最值问题 例 2 平面直角坐标系xOy中，过定点 C(0，P)作 直线与抛物线 =2py(P>0)相交于4，曰两点。 (I)若点 Ⅳ是点C关于坐标原点0的对称点，求 △ANB面积的最小值； (Ⅱ)是否存在垂直于 y轴的直线 z，使得 Z被以 AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出 f 的方程；若不存在，说明理由。 解析：(I)依题意，点 Ⅳ 的坐标为 N(0，一P)，可设 4 ( ，y，)，B( ， )，直线 AB 的方程 为 Y=kx+P，与 X ： 联立 【 ，： = 妇 2p + y 。 消去 得 一2pkx一2p =0。 由韦达定理得 】+ 2=2pk， j 2=一2p 。 于是s =s 、+5 =÷．2p l ，一 { =p f ，一 }：，，、，／ _ r= 【高中生之友2010 1—2上半月刊j 39 数学导学 h0u i 器 @翔163肋m =p 研 = 雁 ， ． ． 当 =0，(s△A8 )～ ： 2~／2p ； (ff)假设满足条件的直 线 z存在，其方程为Y=o。 设 AC的中点为 0 ，1与 AC为直径的圆相交于点 尸， ／ ， ． ／ Q，PQ的 中点 为 爿，则 0 H J-PQ，Q 点 的坐 标 为 ( ， )。 · ． l o'p l= 1 l Ac l=÷ = l0 =I n一 l'丢l2n _pI， ． _ ． I PH l =1 0 P l 一l O l = 1 ，，21+p2)一 1(2口一 ，，l—p) = a --号)y。+。(p一。)， ． IPQI =(2[PHI) =4[(n一号)y-+n( )1。 令。一号=0，得n=手，此时l PQ I=p为定值，故 满足条件的直线 1存在，其方程为 Y= ，即抛物线的 通径所在的直线。 点评：选取 自变量是关键，这是一道立意新颖 、涉 及多且难度适中的好题。 三 利用图形性质研究定值与最值问题 例 3 直线 Z： —Y+9=0，以椭圆 +4y2=12的 焦点为焦点作另一椭圆与直线 l有公共点且使所作椭 圆长轴最短时 ，公共点坐标是 — — 。 解析：设椭圆与直线的公共点为P，其长轴长 2a= IPF。I+IPF2}，欲使 2a的值最小，需在直线上找一点 P使其到两定点 F ，F 的距离和最小。 由题意，椭圆 +4 =12的焦点坐标为 F。(3，0)， F2(一3，0) 设 关于直线的对称点的坐标为A( ，Y)， 则l x~_3= -1 解得 y=12 9 9'l2)。 则l字 一 号 。’解得{ 故直线 A 的方程为2 +Y+6=0，与直线 Z联立， 可求坐标为(一5，4)，即为公共点坐标。 40【高中生之友2010 1—2．上半月刊】 点评：本题巧妙地借助于图形特征，将最值问题转 化为对称问题，体现了等价转化的思想。 四 利用圆锥曲线的光学性质解决～类“距离之 和”取值范围问题 ， 2 例4 已知双曲线c： 一々 =1， 、 为分别 j n 是其左右焦点，点 Q(4，T -)，M 是 C上 的动点，求 二 IMF2I+IMQl的取值范围。 点拨：经计算，Q点在双曲线右支开 口内部。由于 双曲线是不封闭 曲线 ，显然 I MF2 I+I Q I可 以无限 大 ，故要求 I肘 l+IMQl的取值范围，关键是求 出 I肘 I+l Ql的最小值。根据光线的“最近传播”特 点 ，我们猜想：从 ，。射出经双曲线反射后经过点 Q的 光线所经过的路程往往是最短的，再结合双曲线的光 学性质(从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射 光线的反向延长线经过另一个焦点)，可作出从 射 出被双曲线反射后经过点 Q的光线 ：连接 F。Q，与双曲 线的交点即为使得 JMF2 l+lMQI最小 的点，设为 P 点 ，光线从 —P_ Q。(见图) 解析：如 图：按猜想作出 点 P，由于所求点 P显然不在 双曲线的左支上 (此时显然距 离之和不会最小 )，故在右支 上另取一点 P ，由双曲线定义 知：I PF1 I—I P I= I P Fl I ： 一 lP F2I，即IPFl I+IP F2I： IP Fl l+lPF2I，因为 lPFl I+IPQl≤IP QI+IP F1 I，两边同加IP I得： 所以l PFl I+l PQ l+I P I≤I P Q l+I P Fl I+ lP I=IP QI+IPFl l+I P F2 l，故 I尸QI+I P I≤ IP QI+IP l，猜想得证。然后利用 F 、Q的坐标求 出直线 F Q的方程，并与双曲线方程联立 ，求 出交点 P，再求出IPQI+IP l，最终 I肘 l+IMQl的取值范 围是[{PQl+lPF l，+ )。(具体计算略) 变式：若 Q在两支双曲线的中间，则显然线段 Q8 的长即为lM I+I肘Ql的最小值，此时I I+lMQI 的取值范围是[I QF2 l，+ )。 总之，解决圆锥曲线中的定值与最值问题，必须在熟 练并准确地掌握圆锥曲线的定义、性质的基础上，灵活运 用函数与方程、转化与化归及数形结合等思想方法，仔细 审题，挖掘隐含，恰当地确立解题方法，此外，解题过程力 争做到思路清晰、推理严密、合理、结果准确。 (作者单位：江苏省盐城市时杨中学)