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一类圆锥曲线定值问题的溯源 2008年第3期中学数学研究 43 一类圆锥曲线定值问题的溯源浙江省杭州师范大学附属中学 (310030) 苏立标一、问题的提出定值、定点、定向的“三定”问题始终是我们研究圆锥曲线性质的重要课题．在文[1]中作者给出了椭圆的两个有趣的定值，现摘录如下：．． 2 ．， 2 性质1 已知椭圆： + =1(口>b>0)，口 D A为右顶点，B为左顶点，轴上有两点E(一m，0)、 F(m，0)，(0b>0)， A为右顶点，曰为左顶点，轴上有两点E(一m，0)、 ...

2008年第3期中学数学研究 43 一类圆锥曲线定值问题的溯源浙江省杭州师范大学附属中学 (310030) 苏立标一、问题的提出定值、定点、定向的“三定”问题始终是我们研究圆锥曲线性质的重要课题．在文[1]中作者给出了椭圆的两个有趣的定值，现摘录如下：．． 2 ．， 2 性质1 已知椭圆： + =1(口>b>0)，口 D A为右顶点，B为左顶点，轴上有两点E(一m，0)、 F(m，0)，(0b>0)， A为右顶点，曰为左顶点，轴上有两点E(一m，0)、 F(m，0)，(0b>0)，A 口 D 为右顶点，B为左顶点，对于椭圆上任意一点P(不包括两个顶点)，设AP与BP分别交直线 z： = — 2 a(ob>0)，口 D A为右顶点，B为左顶点，轴上有两点E(一m，0)、 F(m，0)，(0b>0)，口 D A为右顶点，B为左顶点，对于椭圆上任意一点P(不维普资讯 http://www.cqvip.com 中学数学研究 2008年第3期包括两个顶点)，设 AP与BP分别交直线f： = 于点 M,N，则． = (定值)．引申3 已知椭圆：x+告：1 a>b>0)， A为右顶点，B为左顶点，对于椭圆上任意一点P(不包括两个顶点)，设AP与BP分别交直线f： =一a于，4 M、N，则．F—N：挚 (定值)． 2．斜率为定值引申4 已知椭圆：x+告=1(o>b>0)， A为右顶点，B为左顶点，对于椭圆上任意一点P(不包括两个顶点)，设AP与BP分别交直线 f： =一a 于点M、N，则AP、BQ的斜率之积为定值 e 一1(定值)．(e为离心率) 证：由定理知：Y Y ：b2 1一 )，一。即= = × ： e2 — 1．一 + 0 一 0 m m 引申5 已知椭圆：x + =1 a>b>0)， A为右顶点，B为左顶点，对于椭圆上任意一点P(不包括两个顶点)，设AP与BP分别交直线 f：：于点 M、N，则直线 AM、AN 的斜率之积为定值 (e 一1)(定值)．(e为离心率) 引申6 已知椭圆： +告=1(o>b>0)， A为右顶点，B为左顶点，轴上有两点 E(一m，0)、 (m，0)，(0b>0)， A为右顶点，B为左顶点，对于椭圆上任意一点P(不包括两个顶点)，设AP与BP分别交直线 l： = 于点M、N，则以线段 MN为直径的圆必经过椭圆外的一个定点．证：由条件易得：MN为直径的圆方程为： ( 一 )( 一 )+(y—y )(y—y )=0，令y=0，得( 一 ) 一 ‘ ，又由定理知：y yn= 6 1一 )，所以得： = 2—,／ -五m，故以线 m 段 MN 为直径的圆必经过椭圆外的一个定点 f ，01．、 r，Z ／特例(2005年全国高中数学联合竞赛天津赛区初赛试题)已知椭圆： +告=1 a>b>0)，其长轴为AA ，P是椭圆上不同于点A、A 的一个动点，直线 AP与，分别与同一条准线f交于点、M ，则以线段MM 为直径的圆必经过椭圆外的一个定点．一． 2 证：当引申7的直线 f： =~--(o

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