圆锥曲线中直线的定值问题

--●一 数l 学l ●■●- 教学参考 圆锥曲线中直线的定值问 (江西省金溪县第一中学 344800) 吴志刚 从近几年高考题来看，有关圆锥曲线背景下 的直线的定值问题出现的频率较多，已逐渐形成 一 个新的高考命题热点．定值通常是指在一定的 情境下，不随其他因素的改变而改变的量．定值问 题本身就是解析几何中难度较大的一类问题，有 时甚至不知道定值的结果，因而更加大了题目的 难度．解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去 思考分析，在“可变”的直线中寻求“不变”的量． 以下以2007年高考题为例说明具体的求解策略． 1 过定点的直线 求解含有 1个参数的直线方程过定点的问 题，一般是将直线方程中的参数提取出来，对直线 方程进行重新组合，转化成 0×参数 =0型的方 程，这也即我们常说的“分离参数法”；如果是含有 2个及以上参数的直线方程，应根据题目的具体条 件，建立多个参数之间的联系，以把多个参数的问 题转化成含有 1个参数的直线方程过定点的问 题． 例 l (2007年山东高考理)已知椭圆C的中 心在坐标原点，焦点在z轴上，椭圆C上的点到焦 点距离的最大值为 3，最小值为 1． (1)求椭圆 C的方程； (2)若直线 z：y一 垃 + 与椭圆C相交于A、 B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆 过椭圆C的右顶点．求证：直线z过定点，并求出该 定点的坐标． 分析 ：(1)略． (2)要确定直线过定点，只要将Y—kx+m中 两个参数转化为一个参数，即找出 与k的关系 式，再由直线系方面的知识容易求到定点． 一 2 ．．2 (1)解答略．椭圆的标准方程为 + 一 1． ￡士 o (2)设 A( 1，y1)，B(x2，y2)． § ’ rY— kx+ m’ 联立{等+了y2—1．得 (3+4愚 )z +8mkx+4(m 一3)=0，则 rA一 64m k 一 16(3+4k )(m。一 3)> 0， I 即 3+4k 一m > 0， f ． 8 1 五十 一一瓣 ’ I 4(m —3) l 勘一 。 又 Y1Y2一 (kx1+ m)(kx 2+ m)一 k X1x2+ ( 1+X2)+ m 一 3(m 一 4k ) 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2， O)，所以 kdD·kBD=一1， 即 ‘ 一 · 所以 Y1Y2+X1X2—2( 1+X2)+4— 0． 所以 + + +4 一 o． ． 所以 7m +16ink+4k = 0． 解得 "-Tn1一一2k，m：：一i2k ，且均满足 3+ 4k 一 > 0． 当m 一一2愚时，z的方程Y—k(x--2)，直线 过点(2，O)，与已知矛盾； 当m：一一了2k时 ，z的方程为 =愚( 一号)， 直线过定点( ，o)． 所以，直线 z过定点，定点坐标为( ，o)． 2 定斜率的直线 根据直线斜率的计算可知，直线的斜率 可通过直线上两点的坐标来计算，则这类问题的 求解可转化为探求直线上两点坐标之间的关系求 维普资讯 http://www.cqvip.com 解． 例 2 (2007年安徽高考理)曲线G的方程为 Y。=2x(y≥0)．以原点为圆心．以t(t> 0)为半 径的圆分别与曲线 G和Y轴的正半轴相交于点A 与点 B．直线 AB与z轴相交于点C． (I)求点A的横坐标n与点C的横坐标c的 关系式 (II)设曲线 G上点D的横坐标为n+2，求 证：直线 CD的斜率为定值． 分析：(1)先求出_Ⅱ、￡的关系，再通过直线 BC 的方程求出C点坐标即可； (2)由D点坐标，求出KcD，化简可得． 解：(I)由题意知，A(a，~／2Ⅱ)． ， 因为1 0．4 I一￡，所以n。+2a一￡。． 由于 >0，故有 ￡= ~／Ⅱ +2a． (1) 由点B(O，￡)，C(e，0)的坐标知，直线 BC的方 程为三 + =1． 又因点A在直线Bc上，故有旦+ 一1， C 将(1)代人上式，得旦 +_ = ：1， ~／Ⅱ(Ⅱ+ 2) 解得c一Ⅱ+2+ ,／2(“+2)． (1I)因为 D(a+2，~／2(Ⅱ+2))，所以直线 CD的斜率为 ∞ 一 ： 皿 一 “+2一(n+2+~／ ) 一 一 1． 一 ~／2(Ⅱ+2) 所以直线 CD的斜率为定值． 点评：本小题综合考查平面解析几何知识，主 要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直 线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关 系，主要考查了学生的运算能力与思维能力、综合 分析问题的能力．题中的定值问题的关键是要找 到“，￡关系，然后表示出直线 CD 的斜率的关系 式 ，并进行化简后得出． 教学参考 3 定弦长的直线 与圆有关的直线定弦长的问题，一般可利用 直线的方程与圆的方程建立方程组来求解或者找 到圆的半径与圆心到直线的距离之间的关系来解 决问题． 例 3 (2007年湖北高考理)在平面直角坐标 系 ：tOy中，过定点 C(O，户)作直线与抛物线z。= 2py(户> 0)相交于 A，B两点． (I)若点N是点C关于坐标原点O的对称 点，求 AANB面积的最小值； (II)是否存在垂直于Y轴的直线f，使得 f被 以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在， 求出f的方程；若不存在，说明理由． 思路分析 ：如图 1，(I) 求 AANB可转化为求 以 NC为底的两个 AANC与 △BNC面积 的和，再联立 直线AB的方程与抛物线的 方程求出A，B两点横坐标 之差的绝对值，转化到求函 数最值； y 。／ ＼ 图 1 (II)设出满足条件的直线 Y— n及圆的方程 (注意方程的形式)．弦长即为直线与圆交点横坐 标差的绝对值，转化到直线过定点的问题． 解法 1：(I)略． (Ⅱ)假设满足条件的直线 l存在，其方程为 Y—n，AC的中点为O ，l与AC为直径的圆相交于 点 P，Q，PQ的中点为H， 则o H上PQ，0 点的坐标为(等， 专 -)． 因为L o P I一百1 I AC I一 届 一 厢 ， I O'H I—l n一 l一 1 I 2Ⅱ一 一户I， 所以I PH I。= I o P I。一I O H I。一 1( ；+户。)一丢(2n— 一户)。= ．I 一 00 年12月上半月 总第 期 维普资讯 http://www.cqvip.com 教学参考 (Ⅱ一要) +a(p一Ⅱ)， 所以f PQ f 一(2 f PH f) 一 4[(n一娶) 。+a(p一Ⅱ)]． 令“一号一o，得n一号，此时I PQ I—p为定 值，故满足条件的直线z存在，其方程为Y=要， 即抛物线的通径所在的直线． 解法 2：(I)略． (Ⅱ)假设满足条件的直线z存在，其方程为Y —a，则以AC为直径的圆的方程为( 一0)(sc— )+( —p)( —Y )一O(利用圆上的任意一点 与A、C两点构成的向量的数量积为O)，将直线方 程 Y一Ⅱ代入得z 一zlz+(Ⅱ一p)(Ⅱ一Y1)一0， 则 △一 }一4(口～p)(Ⅱ一Y1)= 4[(Ⅱ一． ) +Ⅱ( 一Ⅱ)]． 设直线z与以AC为直径的圆的交点为P(scs， Y )，Q(sc4，Y4)， 则有f PQ f— f z。一 f一 _ __ - _— — —— - __ _ ●_ _- - _ __ — -— — _- _● _ _ ●_ - —_ — —_ _ __ _ _ __ _ -- — —● 。- _ __ _ __ ' __ — _● _ _一 √4[(“一号) +Ⅱ(p一Ⅱ)]= 2√(Ⅱ一号) + p一 ． 令“一号一o，得 一号，此时f PQ f—p为定 值，故满足条件的直线 z存在，其方程为 Y：百P， 即抛物线的通径所在的直线． 点评：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平 面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力．对于题 中的圆的定弦问题关键是将弦的表达式表示出 来，找出使弦不变的因素就能将问题迎刃而解． 4 参数为定值 解析几何问题中出现参数是较为普遍的现 象，这类问题的解决要有函数与方程的思想，一般 采用“代入法”，即用参数表示 出在曲线上的点的 坐标，并代入曲线的方程来解决． 例 4 (2007年福建高考理)如图 2，已知点 F(1，O)，直线z：z一一1，P为平面上的动点，过 P 作直线z的垂线，垂足为点 Q，且 ． 三 ． ． ‘ (I)求动点 P的轨迹C的方程； ． (Ⅱ)过点 F的直线交轨迹C于A、B两点，交 直线z于点M，已知 一 ，商 = 亩 ，求 1+ 2的值； ￡ F ● 一 1 0 1 Q O 7 图 2 图 3 思路分析：如图 3，(1)将各点坐标代入向量 表达式整理，可得轨迹方程 Y =4z，(2)可设直 线彻 的方程，将其代入Y 一4z，寻找 、 z与A、 B坐标的关系，然后求 + 的值． 解法 1：(I)设点 P(x， )，则 Q(一1， )，由 ． ． 葡 化简得C：Y ：4z． (Ⅱ>设直线 彻 的方程为： = my+ l(m ≠ O)． 设 A(sc1，Y1)，B(sc2，此)，又 M(一 1，一 )， 联立方 程组 一 4x ， 消去z得：Y2一 联立方程组l ．，，消去z得： 一 【z一 Ⅳ 1_ 4my一4=0，△= (一4m) +12> 0，故 fY1+ Y2— 4m, 1Yl Yz一一4． · 由 一 ，商 ： 蔚 得： 1+ 一一 1 1， 2+-翥．r-：一 2Y2， 整理得 ： 一 一 ， z===一 一 ， 所以 + 一一2一 ( + )一 1H Y1 ) 一 2一 ． ：一 2一 ． ： 0． 一 ， 一 ==一 ⋯ 一 = ． m Yl Y2 1rl — 解法2：(I)由 ． 一 ．葡 得： ． ( +霄 )：0， 所以(商 一霄 )．(葡 +霄 )：0，‘ 所以 z一霄 o，所以I商 l—l霄 I． _ _l 维普资讯 http://www.cqvip.com 墼 查 用向量法判定直线与圆锥曲线的位置关系再探 (湖南省常德市第六中学 415003) 彭世金 文Eli介绍了用向量法判定直线与圆锥 曲线 的位置关系，受文[1]启发，笔者发现用向量法判 定直线与圆锥曲线的位置关系的另一种方法，现 介绍如下 ： 定理 1：设椭圆短半轴长为b，长轴长为 A A， 直线z与过A 或A且垂直于A A的直线分别相交 于两点 M ，M，则 (1) ．劢 一b2 直线z与椭圆相切； (2) ．劢 <6。甘 直线 z与椭圆相交； (3) ．劢 >6z甘 直线 z与椭圆相离． 证明：如图1，设椭圆方 程 + 一1(n>￡，>0)， A (一 “，0)。A(n。0)。 一 _一 M M 一 、＼ ) 一 A A 直线 Z：Y一 如 十 ． 则 M (一n，一 十m)，M(a，ak十 )， 一 (o，一 + )，劢 一(o， + )， ， 一 (一 十 )．( + )一 。 一 日 。 。 ． 由 X 2 + 22 — 1 消去 ，得 IY一 如 + ． (n +b ) + 2a kmx+ n ( 一b )一 0． 1 △一4a26。(a2 。+6。一 。)． 鍪l (1) ． 一b2∞ 2一Ⅱ。 。一b2∞ 嘉l z z+6z—mz：o∞ 萋i △=o直线z与椭圆相切； l (2) ·劢 O∞ △> 0直线 z与椭圆相交； 所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹 C r 一1+ 。 I z2 === — —— 一 ’ 的方程为： 一4x· 由旖 一 。B-T，得j 十^2 (1I)由已知 一 ，商 一 。 ， I 2=— 得 i