探究圆锥曲线的定值问题

· 24· 中学数学月刊 2008年第2期 探究圆锥曲线的定值问 王业和 (安徽省潜山县职教中心 246300) 本文是笔者在教学实践中探究出来的几 个关于圆锥曲线的定值结论，颇值玩味，现撰 写出来，供同行研究或编制习题．限于篇幅， 此文仅以椭圆为例，而涉及双曲线或抛物线 中的相关结论请同行探究． 探究1 从椭圆的一个长轴顶点引两条 互相垂直的直线与椭圆相交，分别连结交点 与椭圆另一长轴顶点，则所得两直线斜率之 积为定值． 证 不妨 设椭 圆方程为 +b2~F=l (Ⅱ>6>O)，Al-a，0)， A2 a，0)，AIP上AlQ， P (Xl,y1)，Q(X2 y2)， y ～＼ ＼ }一 ／ 1 l Q＼ ～ — ／ 则 · =( 。+Ⅱ，Y。)·( +Ⅱ，y2)=( 。+Ⅱ)( + a)+yty2--O，所以，)，ly2=一( l+Ⅱ)( 2+Ⅱ)． 又由手+鲁=1得yl 2=6 1一x l2 ／ 同理)， 2=62 1一等)， 所以，，。2y2 2=b 1一 Xl2)(1一 X22) ： (一 。)(m 。)(一 )( )． Ⅱ ’ 从而得 ( 。一Ⅱ)(X2--~)：( 。+Ⅱ)( +Ⅱ)， Ⅱ ’ 所以 搿= b4． 而 甩，· 瑚’=且 ·且 Xl--(t X2--CI, 一 毫 一 (为定值)． 思考 I 若将长轴顶点改变为短轴顶 点，则定值为多少? 探究2 从椭圆一条准线与对称轴交点 弓I直线Z和椭圆相交于两点．若此两点与相 应焦点连线互相垂直，则l的斜率为定值． 证 不妨设椭圆方程为 +鲁=1(口>6> C D‘ 0)，准线 一 与 C 轴交于点P，从点P 引 Z交椭圆于点 ( 。，y1)，N (X2 y2)且 FM上FN，设Z的斜 率为 ，则z (斛 )． y ／l ． ‘ 、 一 一 _拿， 图2 自{纂 舰得 ( 2+62 斛 =0， 所以 ·帆2=一丽2a4k~ ， ① 2==一 ， ② 一 万’ ytyr=k ) [ C( - ) 】． L C J 而 · ，所以( 。+c，Y。)·( +c，y2)---o ： l+ 2)+c (xrr-x2)+ 壹 =o， C C 所以(1 +ra~k％。c2一)( 。慨 )+ 丁k~a％c4=O ． 因 一c ≠o，所以 = 篆l_= C2 ，所以 车 e(定值)． 维普资讯 http://www.cqvip.com 2008年第2期 中学数学月刊 ·25· 思考2若将椭圆方程变为 +鲁---1， 矿 D‘ 则定值如何? 探究 3 过椭圆的一个焦点引一条直线 交椭圆于两点，分别连结交点与椭圆长轴顶 点的直线与相应准线交于两点，则此两点的 纵坐标之积为定值． 证 设 椭 圆方 程为手+鲁=l(a>b> 0)，过右焦点 ，的直 Y f^ ＼、 ～ r| ＼ ～ ． Ⅳ ： y2)，M(a c 2 ， )’N(a c 2 ，y4)，PQ：H~： ( )· fy=k(x—c)， 由 鲁=1消去 整理得 (a2k2+b )x：-2aYk2x+a2k~：-a2b~-0， 所 F ， ① 一 ． ② 易求 = ， 糌 ， 所以 一 d(a+c)：k2(xl-c)x：-c) 一 = ·a2(a +c) 2k2[ x~x2 -c()x + , 。 + x2 m )+c2 1一 ．③ 一。 伽 l )+c 】 2 一‘ 将①，②代人③得瑚 一 b4 ． 综合(1)，(2)证得结论成立． 进一步可以证明上述三个结论的逆命题 巾．县 确 的． 维普资讯 http://www.cqvip.com