圆锥曲线中的定点定值问题

中学数学杂志(高中) 2007年第2期 变式3：已知双曲线的焦距为1O，双曲线上一点 P到两焦点 、 的距离的差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程． 3．3．2 回顾反思、归纳巩固 这节课对你来说，收获了哪些知识、方法和数学 思想?请谈谈你的体会． 3．3．3 课外探究、问题延伸 作业布置：P．108习题 8．3 1、3 探究：(选做)分层探究 ① 若 口∈R，研究方程 +(，一一4) 一 +(，一十4) =2a表示什么曲线? ②平面内到两个定点的距离之积为定值的点 的轨迹是什么? 教学反思 学生在认同与体验中建构知识技能的传授和能 力的培养主要依靠解题训练，对此，波利亚揭示：“中 学数学教学首要任务就是加强解题训练 ，掌握数学 就是意味着善于解题”．对于课本例题，运用一题多 变的方法可培养学生思维的灵活性及应变能力．设 计必做和选做题，意在既巩固所学知识，又给学有余 力的同学以更大的发展空间，体现了因材施教的原 则．整个教学环节都很完整． 圆锥曲线中的定点定值问题 日照实验高中 276800 厉 强 在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值问题往 往是我们学习的一个难点 ．对于这类问题的学习， 通常有两种处理方法： ①从特殊人手，求出定点或定值，再证明这个 点(值)与变量无关． ② 直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而 得到定点(定值)． 现就该问题举例说明一下： 1 定值问题 例1 如图1，过椭圆 +告=1的右焦点 任意作一直线交Y轴于点P，交椭圆于点M、N，求证： +丽PN为定值 ． 分析 命题结论：面P M 丽PN为定值 ，联想到利 r 一兰!± ：兰 用定比分点公式{ 一 (z为参数)作为过两点( 。，Y。)、( ，Y2)的直线的 参数方程代人椭圆方程，可得关于z的二次方程．运 用韦达定理获解 ． 解 设点 P(0，r1．)，椭圆右焦点为 (c，0)，则 r— Q± ：! 直线的参数方程为：{ 一 l+ ：。 Ly 1 (Z ● _ — — n 2 参数 Z c (1+ )带人椭圆方程得： + · 即b (口 一c )2 +2a2b 2+口 (b 一I1．2)=0． 因为方程两个根分别为z = PM ，z = ，又 0 一c = 6 由韦达定理 ： PM PN =一 2 a2rb2 ： 一 (定值) 点评 这里通过分析椭圆方程的特点与几何 性质，灵活运用定比分点公式(以定比z为参数，将 分点公式看作直线参数方程)来研究直线和椭圆的 位置关系，直接求出 + PN的值 ． P 一 ， 一 一 I ／／， 图 1 图 2 例2 如图2，在椭圆 2+吾=l(。>6>o) 口 D 维普资讯 http://www.cqvip.com 28 中学数学杂志(高中) 2007年第 2期 上取点P、Q，使 LPOQ= "it，求证：r 1 1 1 丽 ‘ 分析 要求 为定值，可考虑 求出点P、Q的坐标，再求出I OPI 与I OQI ，为此 需设两直线方程 ． 证法1 若点P、Q在坐标轴上，结论显然成立． 若点P、Q不在坐标轴上，则可设PQ方程为)，= ， 则0Q方程为y=一 1 ，又设P、Q点坐标分别 为( l，Y1)、( 2，Y2)， 将 ① 代入椭圆方程： = 所以 2。+，，2。= 2。+后 =垒 ， 同 2+ 2= a o + 所以丽1+击 =南 + 6 +口 k a2+b2k 1 1 可 证法2：设／__POX= ，则LQOX=0 号；设I OP I=m．1 oQ l=n P(mcosO，msinO)， Q(ncos(口+ 17") ，nsin(O 5 -)) 即 P(mcosO，msinO)，Q(一nsinO，ncosO)代入椭 圆方程下m2cos20 + 粤 ：1 a o 学 +丁rt2COS20= 所以 ： + ， m‘ a‘ b‘ 1 sin 0 COS 0 了 所以 + 1 =上 a 2 +百 1 In n a b 即 ‘ ● ‘ 丽 丽 点评 法1中根据OP上OQ及斜率关系，直接 求出l OPI与l OQ I，在计算过程中达到证明定值的 目的．法2由于参数的引入，简化了解题的过程． 例3 (2005年高考山东卷) 已知动圆过定点(号，0)，且与直线 =一号相 切 ，其中P >0． (1)求动圆圆心的轨迹 c的方程； (2)设 ， 是轨迹c上异于原点0的两个不同 点，直线OA，OB的倾斜角分别为a，b，当a，b变化，a +b为定值q(O