为了正常的体验网站,请在浏览器设置里面开启Javascript功能!

圆锥曲线的又一类定点、定值问题

2013-01-09 3页 pdf 83KB 19阅读

用户头像

is_084249

暂无简介

举报
圆锥曲线的又一类定点、定值问题 2004年第9期 中学数学月刊 ·17· 2.2 在线段FK上取随机点M并过点 作线段FK的垂线,在直线 上取随机点Ⅳ 并过点N作直线 的垂线,将两条垂线的交 点定义为尸; 2.3 连线段NF, 交线段M尸于 ,取线 段AF中点,记为B; 2.4 分别 以点 ,B为圆心,以线段 AP,BF 为 半 径 作 o ,oB,两圆交点分 别定义为尸。,尸 ; 图4 2.5~2.12同于1.5~1.12 \\Q ,^ P 广\ f K‘l lj‘ 幽 5 幽 6 简要证明:连接线段...
圆锥曲线的又一类定点、定值问题
2004年第9期 中学数学月刊 ·17· 2.2 在线段FK上取随机点M并过点 作线段FK的垂线,在直线 上取随机点Ⅳ 并过点N作直线 的垂线,将两条垂线的交 点定义为尸; 2.3 连线段NF, 交线段M尸于 ,取线 段AF中点,记为B; 2.4 分别 以点 ,B为圆心,以线段 AP,BF 为 半 径 作 o ,oB,两圆交点分 别定义为尸。,尸 ; 图4 2.5~2.12同于1.5~1.12 \\Q ,^ P 广\ f K‘l lj‘ 幽 5 幽 6 简要证明:连接线段AQ。,A尸。,由作图 可知, F尸。A一90。,所以直线Q。F,Q。N都 是o 的切线,.’.点 在 FQ。N的平分线 . 一 一 一 FM Q1N AN MK 同理可得 上⋯ 一 一一 ·1日J埋口J仔 一 e ,.’ . 点Q。,Q 在以F为焦点,l为准线,离 心率 一 FM 的圆锥曲线上 . 3 几点说明 (1)当平面上给出定点(焦点)、定直线 (准线)和离心率e时,在《几何画板》的支持 ,^, 下,首先找出垂线段FK上符合条件 一e 的点 ,根据介绍的两种方法,可以作出符 合条件的曲线,操作快捷方便、证明浅显易 懂. (2)对于制作的动画,若记 FK的中点 为 ,拖动随机点 在线段FK上自F—S —K(或K—S—F)移动时,圆锥曲线C将 动态现不同的椭圆、抛物线和双曲线: 拖动随机点M在开线段FS上移动时,e 在(O,1)上变化,将得到不同形状的椭圆.此 时直观地反映出教材描述的椭圆的几何性 质:e越接近于1,椭圆越扁;反之e越接近于 0,椭圆越接近于圆; 拖动随机点M与中点S重合时,将得到 抛物线; 拖动随机点M在开线段SK上移动时,e 在(1,+o。)上变化,将得到不同形状的双曲 线.此时直观地反映出教材描述的双曲线的 几何性质:e越大,它的开口就越开阔. 可见,灵活运用所制作的课件,对圆锥曲 线统一定义的教学能起到良好的辅助作用. (3)作图与证明的本身就是数学学习的 好素材,稍加整改可以用于研究性学习,也可 用于数学竞赛初级训练,笔者不再一一赘述. 圆锥曲线的又一类定点、定值问 周远方 (湖北省宜昌市夷陵中学 443000) 圆锥曲线有许多丰富多彩、生动有趣的 性质,其定点、定值、定向问题则是诸多性质 中的一条主线.笔者通过对如下问题的探究, 发现了圆锥曲线的又一类定点、定值问题. 问题探究1 给定抛物线Y 一2px(p> O),在z轴的正半轴上是否存在一点E,使得 对于抛物线的任意一条过E点的弦尸Q,都 有 + 为定值?若存在,求出定 点和定值;若不存在,说明理由. 维普资讯 http://www.cqvip.com · 18· 中学数学月刊 2004年第9期 分析 如图 1,设 存在点E(n,0),则可估 计a与P有关,定值与P 也有关,但定值与弦PQ 的倾斜角的大小无关, 所以不妨取一条弦P Q 的倾斜角为90。,另一条 J 【 尸. 者一 D ./ E \ 图 1 弦P Q 的倾斜角为45。,探求如下: (1)直线P Q 的方程为 —a,代人Y 一 2px得Y 一2pa,则由抛物线的对称性可得 l EP l 一 lEQ l =2pa, . · . + 一 1 . ① 一 l EP l 。 lEQ I 户口‘ (2)直线P Q 的方程为Y— —a,代人 Y 一2px得 Y 一 2py一 2pa一 0. 设P2( P,YP),Q2(xQ,YQ),则 f P+Yo一2p, 【YeYo一一 2pa. f lEP l一 lY l, 【l EQ l一 l Q l, . 上 一 IEP I 。IEQ I 一 1 . 1 — 2 P 2 (Ye上 YQ) 一 2yeyo 2( PYQ) 一 尝 . ② 2pa ‘ 由①式和②式应有壶一 ,得n— P,所以定值为 ,估计E点存在,其坐标应 该是(户,0). 剩下的任务只须证明:过E(户,0)的任 一 弦PQ, + 确为定值 . 对一般情况,可设过点E(户,0)的弦PQ 所在的直线方程为 —my+P,代人Y 一 2px得 Y 一 2mpy一 2p 一 0. 设P( l,Y1),Q( 2,Y2),则 yl+ y2— 2rap,yly2=一 2p . 而 lEP l =(1+m )y ,lEQ l 一(1+ m ) ;,所以同②式的变形可得: 上 lEPl 。lEQI ( l+ y2) 一 2yly2 (1+ m )( ly2) 4m P + 4p 1 4(1+ m )P‘ P ‘ 由所探究的结论,可得下述命题: 命题1 抛物线y 一2px(p>0)过定 点E(户,0)的弦被点E分成长为m, 的两部 分,则 + 1一 1为定值 . 进一步,椭圆、双曲线是否也有同样的性 质?我们继续进行探求. 问题探究2 给定椭圆 + yZ一1(口> b>0),在 轴上是否存在一点E,使得对于 椭圆任意一条过 E点的弦PQ, + 为定值?若存在,求出定点和定值;若 不存在,说明理由. 分析 如图2,设 存在点E(x。,0),仿问 题探究 1的方式,不妨 先取过点E的两条特 殊位置 的 弦:长轴 P Q 和与 轴垂直的 弦 P Q ,这里先假定 l 0 l6>0)过 定点E~(--a√ '0) (n√ , 0)的弦被定点分成长为 ,n的两部分,则 十 一 为定值. 对于双曲线 X2 一 yZ 一1,通过类比探求 可知,需要有 Inl> IbI>0作为前提条件, 才能导出类似的结论,即有 命题3 双曲线 一 yZ一1(I口I> I6 I >0)过定点E1(一n√薯 ,0)或E (n· √ ,0)的弦被定点分成长为 , 的两 部分,则 + 一 为定值. 仿问题探究2的方式,即可导出相应的定 点、定值并加以证明.实际上有一个极好的方 法,用一b 换b ,代入椭圆中的结论,即可得双 曲线中这一结论.值得指出的是,在命题3中两 定点的位置应位于双曲线的两焦点之外. 综上,我们得到圆锥曲线的又一类有关 定点、定值的奇妙性质. 定理 在圆锥曲线(等轴双曲线除外) 的焦点所在的对称轴上必存在一定点,若过 定点的弦被定点分成长为 , 的两部分,则 + 为定值. t''。 ” 。 维普资讯 http://www.cqvip.com
/
本文档为【圆锥曲线的又一类定点、定值问题】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑, 图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。 本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。 网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。

历史搜索

    清空历史搜索