圆锥曲线的又一类定点、定值问题
2004年第9期 中学数学月刊 ·17·
2.2 在线段FK上取随机点M并过点
作线段FK的垂线,在直线 上取随机点Ⅳ
并过点N作直线 的垂线,将两条垂线的交
点定义为尸;
2.3 连线段NF,
交线段M尸于 ,取线
段AF中点,记为B;
2.4 分别 以点
,B为圆心,以线段
AP,BF 为 半 径 作
o ,oB,两圆交点分
别定义为尸。,尸 ; 图4
2.5~2.12同于1.5~1.12
\\Q ,^ P
广\
f K‘l lj‘
幽 5 幽 6
简要证明:连接线段...
2004年第9期 中学数学月刊 ·17·
2.2 在线段FK上取随机点M并过点
作线段FK的垂线,在直线 上取随机点Ⅳ
并过点N作直线 的垂线,将两条垂线的交
点定义为尸;
2.3 连线段NF,
交线段M尸于 ,取线
段AF中点,记为B;
2.4 分别 以点
,B为圆心,以线段
AP,BF 为 半 径 作
o ,oB,两圆交点分
别定义为尸。,尸 ; 图4
2.5~2.12同于1.5~1.12
\\Q ,^ P
广\
f K‘l lj‘
幽 5 幽 6
简要证明:连接线段AQ。,A尸。,由作图
可知, F尸。A一90。,所以直线Q。F,Q。N都
是o 的切线,.’.点 在 FQ。N的平分线
.
一 一 一
FM
Q1N AN MK 同理可得 上⋯ 一 一一 ·1日J埋口J仔
一 e ,.’
. 点Q。,Q 在以F为焦点,l为准线,离
心率 一 FM 的圆锥曲线上
.
3 几点说明
(1)当平面上给出定点(焦点)、定直线
(准线)和离心率e时,在《几何画板》的支持
,^,
下,首先找出垂线段FK上符合条件 一e
的点 ,根据介绍的两种方法,可以作出符
合条件的曲线,操作快捷方便、证明浅显易
懂.
(2)对于制作的动画,若记 FK的中点
为 ,拖动随机点 在线段FK上自F—S
—K(或K—S—F)移动时,圆锥曲线C将
动态
现不同的椭圆、抛物线和双曲线:
拖动随机点M在开线段FS上移动时,e
在(O,1)上变化,将得到不同形状的椭圆.此
时直观地反映出教材描述的椭圆的几何性
质:e越接近于1,椭圆越扁;反之e越接近于
0,椭圆越接近于圆;
拖动随机点M与中点S重合时,将得到
抛物线;
拖动随机点M在开线段SK上移动时,e
在(1,+o。)上变化,将得到不同形状的双曲
线.此时直观地反映出教材描述的双曲线的
几何性质:e越大,它的开口就越开阔.
可见,灵活运用所制作的课件,对圆锥曲
线统一定义的教学能起到良好的辅助作用.
(3)作图与证明的本身就是数学学习的
好素材,稍加整改可以用于研究性学习,也可
用于数学竞赛初级训练,笔者不再一一赘述.
圆锥曲线的又一类定点、定值问
周远方 (湖北省宜昌市夷陵中学 443000)
圆锥曲线有许多丰富多彩、生动有趣的
性质,其定点、定值、定向问题则是诸多性质
中的一条主线.笔者通过对如下问题的探究,
发现了圆锥曲线的又一类定点、定值问题.
问题探究1 给定抛物线Y 一2px(p>
O),在z轴的正半轴上是否存在一点E,使得
对于抛物线的任意一条过E点的弦尸Q,都
有 + 为定值?若存在,求出定
点和定值;若不存在,说明理由.
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· 18· 中学数学月刊 2004年第9期
分析 如图 1,设
存在点E(n,0),则可估
计a与P有关,定值与P
也有关,但定值与弦PQ
的倾斜角的大小无关,
所以不妨取一条弦P Q
的倾斜角为90。,另一条
J 【
尸. 者一 D ./
E
\
图 1
弦P Q 的倾斜角为45。,探求如下:
(1)直线P Q 的方程为 —a,代人Y 一
2px得Y 一2pa,则由抛物线的对称性可得
l EP l 一 lEQ l =2pa,
.
·
.
+ 一 1
. ① 一 l EP l 。 lEQ I 户口‘
(2)直线P Q 的方程为Y— —a,代人
Y 一2px得
Y 一 2py一 2pa一 0.
设P2( P,YP),Q2(xQ,YQ),则
f P+Yo一2p,
【YeYo一一 2pa.
f lEP l一 lY l,
【l EQ l一 l Q l,
. 上
一 IEP I 。IEQ I
一
1 . 1
—
2 P 2
(Ye上 YQ) 一 2yeyo
2( PYQ)
一 尝 . ② 2pa ‘
由①式和②式应有壶一 ,得n—
P,所以定值为 ,估计E点存在,其坐标应
该是(户,0).
剩下的任务只须证明:过E(户,0)的任
一 弦PQ, + 确为定值 .
对一般情况,可设过点E(户,0)的弦PQ
所在的直线方程为 —my+P,代人Y 一
2px得
Y 一 2mpy一 2p 一 0.
设P( l,Y1),Q( 2,Y2),则
yl+ y2— 2rap,yly2=一 2p .
而 lEP l =(1+m )y ,lEQ l 一(1+
m ) ;,所以同②式的变形可得:
上
lEPl 。lEQI
( l+ y2) 一 2yly2
(1+ m )( ly2)
4m P + 4p 1
4(1+ m )P‘ P ‘
由所探究的结论,可得下述命题:
命题1 抛物线y 一2px(p>0)过定
点E(户,0)的弦被点E分成长为m, 的两部
分,则 + 1一 1为定值
.
进一步,椭圆、双曲线是否也有同样的性
质?我们继续进行探求.
问题探究2 给定椭圆 + yZ一1(口>
b>0),在 轴上是否存在一点E,使得对于
椭圆任意一条过 E点的弦PQ, +
为定值?若存在,求出定点和定值;若
不存在,说明理由.
分析 如图2,设
存在点E(x。,0),仿问
题探究 1的方式,不妨
先取过点E的两条特
殊位置 的 弦:长轴
P Q 和与 轴垂直的
弦 P Q ,这里先假定
l 0 l
6>0)过
定点E~(--a√ '0) (n√ ,
0)的弦被定点分成长为 ,n的两部分,则 十
一 为定值.
对于双曲线 X2
一
yZ
一1,通过类比探求
可知,需要有 Inl> IbI>0作为前提条件,
才能导出类似的结论,即有
命题3 双曲线 一 yZ一1(I口I> I6 I
>0)过定点E1(一n√薯 ,0)或E (n·
√ ,0)的弦被定点分成长为 , 的两
部分,则 + 一 为定值.
仿问题探究2的方式,即可导出相应的定
点、定值并加以证明.实际上有一个极好的方
法,用一b 换b ,代入椭圆中的结论,即可得双
曲线中这一结论.值得指出的是,在命题3中两
定点的位置应位于双曲线的两焦点之外.
综上,我们得到圆锥曲线的又一类有关
定点、定值的奇妙性质.
定理 在圆锥曲线(等轴双曲线除外)
的焦点所在的对称轴上必存在一定点,若过
定点的弦被定点分成长为 , 的两部分,则
+ 为定值.
t''。 ” 。
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