圆锥曲线中的定值、最值问题探讨

中学生理科月刊．2OO4—5 0 课标·课程辅导 13 湖北省武昌实验中学 ◎杨少超 王兴旺(430000) 河南省商丘市第二高级中学 ◎李建军(476000) 圆锥曲线中的定值、最值问是解析几何中的综 合问题，是高中的重要内容，也是数学高考中的 重要题型，它融解析几何与函数等知识为一体，综合 性较强，充分体现了学生问题、解决问题的能力， 应引起广大师生的足够重视． 一 、 定值问题 解决定值问题的：将问题涉及的几何式转化 为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关． 过双曲线 xy=1上任一定点 P( ， Yo)，作相互垂直的两条直线分别交双曲线于A、曰两 点，求证直线 仙 的斜率为定值． 设 PA的斜率为 ，则 PB的斜率为 一 ÷，直线PA的方程为 Y—Yo=k( 一-gO)． ． fxy=1 由 I — YoY Yo： (z一-gO) L 一 = L — J 解得 A(一 ， ) 直线PB的方程为 Y—Y0=一{( 一 ) ． fxy 1 由 IY—Yo：一{t， 一"gO) L 一 =一— 一 解得 曰(一 ，一 -gO) 一 -gO ， · ． =——-— =一 3为定值． ’’。 ‰ —— — 一 力疋但· 一 0 十 0 回 引入参数 ，把‰示出来，证明kAs 与k无关．这是解决定值问题的常用方法． 已知等轴双曲线 一 =o 的两个焦 点 Fl、F2，P为其右支上的一点，且 PF1F2=口， P 2 =卢(其中a、卢不为零)． 求证：tan詈·cot鲁为定值． 解 依题意可知 ： ， ： 。，设 P( 0，Yo)( 0≥o)． 嘲a 而 加 而 cos卢= ,sin／／=黹 ， 其中I PF1 l= 0+o，l P l= 0一。 口 1一OO$Gt ． 1+cos尽 ' ’ · 啪 ‘咖 i ‘百 (·一 )·(·+赫) 一 l I l l l P l。l P l = ( 一1) ，为定值． 圆 此题引入的量较多，关系较复杂，利用 了焦半径公式、三角公式及变形． 二、最值问题 解决最值问题的方法：①代数法，建立目标函数， 转化为函数的最值问题，注意自变量的取值范围；② 几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形的 性质求解． 求椭圆 + =1上的点 P到直线 ￡： 一2y一12=0的最大距离和最小距离． 方法一(求切点) 设与 ￡平行的直 线与椭圆相切于点P( 0，Yo) 由椭圆方程3 +4 =镐得此切线方程 3xox+4yoy 镐 ． 1 3x0 1 。 · 。 ， 。 。 · 一 即 3 0+2y0=0 ① 又 3xg+4 =镐 ② 解①②得切点的坐标为P1(一2，3)，P2(2，一3)． 设点P到直线￡的距离为d，由点到直线的距离 公式，得 d一=4 ，d ={ ． 方法二(判别式法) 设与￡平行的椭圆的切线 方程为 一2y+m=O，代入椭圆方程，消去 得 16 一12my+3 m2一镐=0 由△=(一12m) 一4×16×(3m 一镐)=0 得m =64，得 m=±8． 当m=8时，切线方程 一2y+8=0， 维普资讯 http://www.cqvip.com J 课标·课程辅导 中学生理科月刊·20o4—5 此时，= =3，切点为 P1(一2，3)； 当m=8时，切线方程为 一2) 一8=0， 此时y= =一3，切点为P2(2，一3)； 以下同解法一． 方法三(点参数法) 设椭圆上任意一点 P(4eosO．24-3 i 0)，它到直线 ，J的距离为 ， I4cos0—4√3sin0—12 d = — — —————=_ — — √5 = IsjrI(-6 )一5。-I 了l “＼一 i ． · ． 当sin(詈一 )=一l时，d⋯=4 当sin(詈一日)= 时 。 =詈 ． 方法一、二可以求出椭圆上的最远点 和最近点的坐标 ，yj-法三利 用椭 圆的爹教万程，建王 目标函数，简洁明了，但求切点的坐标较复杂． 设椭圆的中心在坐标原点，长轴在 轴 上，离心率e=譬，已知点P(O， )到椭圆上的点的 最远距离为 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到 P 的距离等于 的点的坐标． 方法一 因为e=譬，所以可设椭圆 方程为 杀+篆= 设 Q( o，Yo)为椭圆上任意一点，则 茅+学= 口 6：462_4 l PQl2_ 5+( 。一号) ⋯3yg 3 +46 +号 ：一3(，-o+吉) +4 3(一6≤y。≤6) 若6≥吉，取y。=一 1， 得 I I一=v厂 = ， 若 6‘ 1 ，取 y0=一6， 得 I PQI一=√6 +36+号= ， 解得 6 1 ，舍去． ． ． ． 所求椭圆方程为 + ：1，此时，由 ： 一 吉求得Q的坐标为(± ，一 1)． X2+( 一号)2=7，依题意，此圆与椭圆相切于两点 Q ，Q2，且 Q。与 Q2的纵坐标相同，此时I PQl l- 由j 2’ ‘y1一号) ：7消去 得 由 菩：l 黻埔 3／+3 + +462_o ． · ． △=9—12( +46 )=0，解得6 =1， ． · ． 椭圆方程为等+ =1，IIt~IN y=一 1，代入 椭圆方程中，求得Q( 45，一 1)． 方法一，建立目标函数，求函数的最 — — —业 — — — — 船 — — 业 — —0 龆 业 (上接第15页) 最p一0≥ +2x=(x+1) 一1=h( )恒成立． 由于 h( )=( +1) 一1在 C--[1，+ )上单调 递增，故[h( )] _m=h(1)=3，即0≥一3． (2)由于 )= + a+2的值域为[0，+ )， 即 ) =0． 当0>0时，f( )≥2√0+2，显然2√0+2≠0， 不合题意； 当0=0时，厂( )= +2，当 ≥1时，值域是[3， + )，不合题意； 当o<0时，易知f( )在[1，+ )单调递增，故 [ )]曲= 1)=3+0，令3+0=0，得0=一3． 圃 题(2)是求含参数的函数值域问题，通 过 )的4／~J&If(1)，+ )与已知值域[0，+ )等 价。列出方程求解． 维普资讯 http://www.cqvip.com