巧解圆锥曲线定值问题

★应试指南 巧解圆锥 曲线定值问 江苏淮安中学(223200) 杨文举 对于圆锥 曲线中的定值问题 ，学生在解答时常常会 感到无从下手 ．这里介绍几种巧妙方法 ，供读者参考． 一 、巧用韦达定理 圆锥 曲线方程是二元二次方程 ，增加一个条件 即 能消去一个变量 ，化为一元二次方程，从而可用韦达定 理解决有关问题． ‘ 【例 1】 已知直线 z与 轴 正向交于定点 P(mP，O)，(m >0， m为常数)，直线 z与抛物线Y = 2Px(P >0， P为常数 )交于 A( l， Y1)，B(X2，y2)两 点 ，求 证： l 2， YlY2为定值 ． 证明：设直线 Z的方程是 ： ay 线方程得 ： Y =2e(ay+mR) 即 y2—2Pay一2mP2：0 ● ～ )， D 显然，由韦达定理得：YlY2=一2mP 为定值 ． · ． 由)，}=2Pxl，)，l=2Px2得 l 2=m p2为定值． 特例：当m=÷ 时，直线 z过抛物线的焦点，YlY2 = 一 P (课本习题 )．当 m =2时 ，应有 l 2+ylY2=0， 此时有 OA j_OB． 二 、巧用整元代换 在涉及多个变量时，往往不要求求出每一个量的 具体值，这里就出现了整元代换的问题． 【例2】 已知点 P是双曲线 一 ：1上任意一 点 ，过 P作两条渐近线的平行线 ，分别交相应渐近线于 Q，R两点 ，若 0是坐标原点 ，求证四边形 ORPQ的面 积为定值． 证明：设双曲线两条渐近线分别为 z．：bx—ay： 0，／2：bx+ay=0，过 P作PMj_zl，PⅣj_z2垂足为 JIf， Ⅳ，设P(xo，Yo)，Ii的倾斜角为0，则tgO=÷，ZROQ ： 20，sin20 ： ， n一 + D。 I P9 l_I OR 1=I PN I csc20， ．s ： b丝2 ． 2ab ： 2ab ： ’’ u 一 口2+ 一 一 2 uu 为定值． 三 、巧用参数方程 运用直线 的参数方程 ，有利于求出直线被截弦长 及直线上从一点出发的有向线段数量． 【例 3】 过椭圆 +y _L2：1的右焦点 F(c，o)作 不垂直于 轴的直线交椭圆于肘、Ⅳ两点 ，线段 MN的 中垂线交 轴于R，求证： 是定值． 证 明：设直线 MN 的参 数 方程为： { 。=卜 c0卵(t为参 Y tslnff 数 ，0为直线的倾斜角) 将其代入椭圆方程得： 6 (c+tcosO) +a2(tsinO V ～ 0 i ＼ 、 ， ／Ⅳ 即 (b2cos 0+a2sin20)t2+2b2ctcosO—b4：0 △ =4b c C0820+4b (b2cos 0+a2sin2 ) ： 4a2b4 故 l MN l=I tl—t2 I = √(tl—t2) 一4tlt2 ‘ 一 I b2cos20+ a2sin20 I 2ab2 — b2cos20+—a2sin20 设 MN 中点为 Q， FQ l-l l- b。2_~。c _1+~0n2sS．_08 i[ 由于 I FR I= COS l l 62c b——2—e—o——s—2’0——+———a—2—s—i—n——2—0— ． · ． 十 = 为定值，即得证． 评注：本题将直线 MN的参数方程形式代入椭固 维普资讯 http://www.cqvip.com