应力状态与应变状态分析

nullnull第七章 应力状态与应变状态分析 第七章 应力状态与应变状态分析 §7–1 应力状态的概念 §7–2 平面应力状态分析——解析法 §7–3 平面应力状态分析——图解法§7–4 梁的主应力及其主应力迹线§7–5 三向应力状态研究——应力圆法§7–6 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）§7–7 复杂应力状态下的变形比能§7–１ 应力状态的概念§7–１ 应力状态的概念一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2、组合变形杆将怎样破坏？null四、普遍状态下的应力表示　　　　　　　三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。xyzs xsz s ynullxyzs xsz s y五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。null六、原始单元体（已知单元体）：例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 null七、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。主面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，s1s2s3xyzsxsysznull单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。§7–2 平面应力状态分析——解析法§7–2 平面应力状态分析——解析法null规定： 截面外法线同向为正； t a绕研究对象顺时针转为正； a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力null图1考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：null二、极值应力null在剪应力相对的项限内， 且偏向于x 及y大的一侧。null例2 分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原 始单元体求极值应力Onull破坏分析§7–3 平面应力状态分析——图解法§7–3 平面应力状态分析——图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（ Stress Circle）此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Otto Mohr引入）null建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx) AB与sa 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；null三、单元体与应力圆的对应关系null四、在应力圆上标出极值应力null例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆s1s2nulls1s2主应力及主平面如图ABnull解法2—解析法：分析——建立坐标系如图§7–4 梁的主应力及其主应力迹线§7–4 梁的主应力及其主应力迹线如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：null1s1s3s3s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0= –90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1Onull主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。nullxy主应力迹线的画法：11 截面22 截面33 截面44 截面ii 截面nn 截面§7–5 三向应力状态研究——应力圆法§7–5 三向应力状态研究——应力圆法1、空间应力状态2、三向应力分析2、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大剪应力为：null例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：y z面为主面建立应力坐标系如图，画应力圆和点1′,得:504030ABC§7–6 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）§7–6 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系三、复杂状态下的应力 --- 应变关系三、复杂状态下的应力 --- 应变关系依叠加原理,得: szsysx主应力 --- 主应变关系主应力 --- 主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致null主应力与主应变方向一致?五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系:null例5 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态nullnull例6 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350×l06，若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。s1smpO图anull1、轴向应力:(longitudinal stress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程null用纵截面将容器截开，受力如图c所示2、环向应力：(hoop stress)3、求内压（以应力应变关系求之）§7－7 复杂应力状态下的变形比能§7－7 复杂应力状态下的变形比能称为形状改变比能或歪形能。称为形状改变比能或歪形能。null例7 用能量法证明三个弹性常数间的关系。纯剪单元体的比能为：纯剪单元体比能的主应力表示为：null