高数微积分基本公式大全

高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴ ( ) 0c ′ = ⑵ 1x xµ µµ −= ⑶ ( )sin cosx x′ = ⑷ ( )cos sinx x′ = − ⑸ ( ) 2tan secx x′ = ⑹ ( ) 2cot cscx x′ = − ⑺ ( )sec sec tanx x x′ = ⋅ ⑻ ( )csc csc cotx x x′ = − ⋅ ⑼ ( )x xe e′ = ⑽ ( ) lnx xa a a′ = ⑾ ( ) 1ln x x ′ = ⑿ ( ) 1log ln x a x a ′ = ⒀ ( ) 2 1 arcsin 1 x x ′ = − ⒁ ( ) 2 1 arccos 1 x x ′ = − − ⒂ ( ) 2 1 arctan 1 x x ′ = + ⒃ ( ) 2 1 arccot 1 x x ′ = − + ⒄( ) 1x ′ = ⒅( ) 1 2 x x ′ = 二、导数的四则运算法则 ( )u v u v′ ′ ′± = ± ( )uv u v uv′ ′ ′= + 2 u u v uv v v ′ ′ ′−⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 三、微分公式与微分运算法则 ⑴ ( ) 0d c = ⑵ ( ) 1d x x dxµ µµ −= ⑶ ( )sin cosd x xdx= ⑷ ( )cos sind x xdx= − ⑸ ( ) 2tan secd x xdx= ⑹ ( ) 2cot cscd x xdx= − ⑺ ( )sec sec tand x x xdx= ⋅ ⑻ ( )csc csc cotd x x xdx= − ⋅ ⑼ ( )x xd e e dx= ⑽ ( ) lnx xd a a adx= ⑾ ( ) 1lnd x dx x = ⑿ ( ) 1log ln x a d dx x a = ⒀ ( ) 2 1 arcsin 1 d x dx x = − ⒁ ( ) 2 1 arccos 1 d x dx x = − − ⒂ ( ) 2 1 arctan 1 d x dx x = + ⒃ ( ) 2 1 arccot 1 d x dx x = − + 四、微分运算法则 ⑴ ( )d u v du dv± = ± ⑵ ( )d cu cdu= ⑶ ( )d uv vdu udv= + ⑷ 2 u vdu udv d v v −⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 五、基本积分公式 ⑴ kdx kx c= +∫ ⑵ 1 1 x x dx c µ µ µ + = + +∫ ⑶ ln dx x c x = +∫ ⑷ ln x x a a dx c a = +∫ ⑸ x xe dx e c= +∫ ⑹ cos sinxdx x c= +∫ ⑺ sin cosxdx x c= − +∫ ⑻ 22 1 sec tan cos dx xdx x c x = = +∫ ∫ ⑼ 2 2 1 csc cot sin xdx x c x = = − +∫ ∫ ⑽ 2 1 arctan 1 dx x c x = + +∫ ⑾ 2 1 arcsin 1 dx x c x = + − ∫ 六、补充积分公式 tan ln cosxdx x c= − +∫ cot ln sinxdx x c= +∫ sec ln sec tanxdx x x c= + +∫ csc ln csc cotxdx x x c= − +∫ 2 2 1 1 arctan x dx c a x a a = + +∫ 2 2 1 1 ln 2 x a dx c x a a x a − = + − +∫ 2 2 1 arcsin x dx c a a x = + − ∫ 2 22 2 1 lndx x x a c x a = + ± + ± ∫ 七、下列常用凑微分公式 积分型 换元公式 ( ) ( ) ( )1f ax b dx f ax b d ax b a + = + +∫ ∫ u ax b= + ( ) ( ) ( )1 1f x x dx f x d xµ µ µ µ µ − =∫ ∫ u xµ= ( ) ( ) ( )1ln ln lnf x dx f x d x x ⋅ =∫ ∫ lnu x= ( ) ( ) ( )x x x xf e e dx f e d e⋅ =∫ ∫ xu e= ( ) ( ) ( )1 ln x x x x f a a dx f a d a a ⋅ =∫ ∫ xu a= ( ) ( ) ( )sin cos sin sinf x xdx f x d x⋅ =∫ ∫ sinu x= ( ) ( ) ( )cos sin cos cosf x xdx f x d x⋅ = −∫ ∫ cosu x= ( ) ( ) ( )2tan sec tan tanf x xdx f x d x⋅ =∫ ∫ tanu x= ( ) ( ) ( )2cot csc cot cotf x xdx f x d x⋅ =∫ ∫ cotu x= ( ) ( ) ( )2 1 arctan arc n arc n 1 f x dx f ta x d ta x x ⋅ = +∫ ∫ arctanu x= ( ) ( ) ( ) 2 1 arcsin arcsin arcsin 1 f x dx f x d x x ⋅ = − ∫ ∫ arcsinu x= 八、分部积分法公式 ⑴形如 n ax x e dx∫ ，令 nu x= ， axdv e dx= 形如 sinnx xdx∫ 令 nu x= ， sindv xdx= 形如 cosnx xdx∫ 令 nu x= ， cosdv xdx= ⑵形如 arctannx xdx∫ ，令 arctanu x= ， ndv x dx= 形如 lnnx xdx∫ ，令 lnu x= ， ndv x dx= ⑶形如 sinaxe xdx∫ ， cosaxe xdx∫ 令 ,sin ,cosaxu e x x= 均可。 九、第二换元积分法中的三角换元公式 (1) 2 2 a x− 令 sinx a t= (2) 2 2a x+ 令 tanx a t= (3) 2 2x a− 令 secx a t= 十、重要公式 （1） 0 sin lim 1 x x x → = （2） ( ) 1 0 lim 1 x x x e → + = （3） lim ( ) 1n n a a o →∞ > = （4） lim 1n n n →∞ = （5） limarctan 2x x π →∞ = （6） lim tan 2x arc x π →−∞ = − （7） limarccot 0 x x →∞ = （8） lim arccot x x π →−∞ = （9） lim 0x x e →−∞ = （10） lim x x e →+∞ = ∞ （11） 0 lim 1x x x +→ = （12） 0 01 0 1 1 0 1 lim 0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m − −→∞ ⎧ =⎪ ⎪+ + + ⎪ = <⎨ + + + ⎪∞ > ⎪ ⎪⎩ L L （系数不为 0的情况） 十一、下列常用等价无穷小关系（ 0x→ ） sin x x tan x x arcsin x x arctan x x 211 cos 2 x x− ( )ln 1 x x+ 1xe x− 1 lnxa x a− ( )1 1x x∂+ − ∂ 十二、三角函数公式 1.1.1.1.两角和公式 sin( ) sin cos cos sinA B A B A B+ = + sin( ) sin cos cos sinA B A B A B− = − cos( ) cos cos sin sinA B A B A B+ = − cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = + tan tan tan( ) 1 tan tan A B A B A B + + = − tan tan tan( ) 1 tan tan A B A B A B − − = + cot cot 1 cot( ) cot cot A B A B B A ⋅ − + = + cot cot 1 cot( ) cot cot A B A B B A ⋅ + − = − 2.2.2.2.二倍角公式 sin 2 2sin cosA A A= 2 2 2 2cos2 cos sin 1 2sin 2cos 1A A A A A= − = − = − 2 2 tan tan 2 1 tan A A A = − 3.3.3.3.半角公式 1 cos sin 2 2 A A− = 1 cos cos 2 2 A A+ = 1 cos sin tan 2 1 cos 1 cos A A A A A − = = + + 1 cos sin cot 2 1 cos 1 cos A A A A A + = = − − 4.4.4.4.和差化积公式 sin sin 2sin cos 2 2 a b a b a b + − + = ⋅ sin sin 2cos sin 2 2 a b a b a b + − − = ⋅ cos cos 2cos cos 2 2 a b a b a b + − + = ⋅ cos cos 2sin sin 2 2 a b a b a b + − − = − ⋅ ( )sin tan tan cos cos a b a b a b + + = ⋅ 5.5.5.5.积化和差公式 ( ) ( )1sin sin cos cos 2 a b a b a b= − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) 1 cos cos cos cos 2 a b a b a b= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( )1sin cos sin sin 2 a b a b a b= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( ) ( ) 1 cos sin sin sin 2 a b a b a b= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ 6.6.6.6.万能公式 2 2 tan 2sin 1 tan 2 a a a = + 2 2 1 tan 2cos 1 tan 2 a a a − = + 2 2 tan 2tan 1 tan 2 a a a = − 7.7.7.7.平方关系 2 2sin cos 1x x+ = 2 2sec n 1x ta x− = 2 2csc cot 1x x− = 8.8.8.8.倒数关系 tan cot 1x x⋅ = sec cos 1x x⋅ = c sin 1cs x x⋅ =