利用MATLAB仿真静电场

1 电磁场基础第一次仿真报告 程序于 MATLAB 7.11.0 测试通过 题目一 ........................................................................ 1 问题描述 .................................................................. 2 问题 .................................................................. 2 问题的数值解决 ............................................................ 3 画电力线分布图 ........................................................ 4 数值法求电场强度 ...................................................... 5 简化计算方法 .......................................................... 6 实验结论 .................................................................. 7 题目二 ........................................................................ 7 问题描述 .................................................................. 7 理论分析 .................................................................. 8 算法实现： ................................................................ 9 代码编写： ............................................................ 9 绘制方法的实现原理： .................................................. 11 精度控制和编程体会 .................................................... 12 实验收获与体会 ............................................................... 13 题目一 2 问题描述 截面为正方形的无限长线电荷如下图所示。设电荷面密度为 02 ，边长 a=2。x 轴上有 A、B、C 三点，其坐标为 1.5a, 5a, 10a。所有单位均取国际单位制。 图 1 正方形无限长线电荷截面图 （1）画出电力线分布示意图； （2）采用数值方法计算A、B、C 三点处的电场强度。以A点为例，说明计算步骤； （3）对于远离正方形无限长电荷的观察点，是否有简化的计算方法，以 C 点为例，予以说 明，给出简化方法的计算结果；讨论能够采用简化计算方法的条件。 问题分析 对于由无限长的均匀截面电荷，可以把它分解成无数无限长线电荷的集合体。从而，我们 可以认为它产生的电场是平行平面场。所以，只需要研究其在 XOY平面上的分布，就可以了解 其在整个空间的分布。那么，分别计算出每一条线电荷在其周围产生的电场，再进行叠加即可 得到整个区域内的电场分布。 对于无限长线电荷，其场强公式 ^ 2 0 02 2 r E r r r      ，可以知道场强与从电荷到观察 点的矢径共线。又因为所给线电荷截面的对称性，可以得到电场在 XOY平面上的分布也是对称 的。通过定性分析，该电荷在 XOY平面上既关于 x轴和 y轴对称，同时也关于四个象限的角平 分线分别对称。由于截面为正方形，并不具有严格的旋转对称性，所以电场在靠近电荷的区域 3 分布并不均匀，具体现为电场线不严格的放射状分布，而会具有一定的不均匀特性。但在远 离电荷的区域，可以将电荷看做一无限长线电荷，电场线沿放射状分布，可以近似认为是直 线。 欲求 XOY平面内任意点 P的电场矢量 E，可以先求所有组成线电荷的“小截面”无限长线 电荷在 P点产生的电场矢量 dE，再叠加即可。利用无限长线电荷的场强公式，可以知道坐标 为(x,y)的小截面对应线电荷 dxdy 在 P点产生的场强 ^ 2 0 02 2 dxdy r dE r dxdy r r       设 P(xp,yp),由于已知 02  ，那么 2 2 2 0 ( , ) 2 ( ) ( ) p p p p x x y yr dE dxdy dxdy r x x y y          将 x方向和 y方向的电场矢量分别处理，得到 2 2( ) ( ) p x p p x x dE dxdy x x y y      2 2( ) ( ) p y p p y y dE dxdy x x y y      将两方向上的电场对于电荷截面在 XOY平面上的平面 S(-a/2=abs(Ey)) x0=x0+sign(Ex)*dx; y0=y0+(Ey/Ex)*sign(Ex)*dx; else y0=y0+sign(Ey)*dy; x0=x0+(Ex/Ey)*sign(Ey)*dy; %通过判断场强大小，决定规定步长的增长方向，减小误差 %场强的正负代表当前场强的方向，应考虑其符号，即sign end; X(k+1)=x0;Y(k+1)=y0; %每次while循环，画出一个点，存入数组 k=k+1; end switch rem(i,6) %画出六种不同颜色的线条 case 0 plot(X,Y,'y',-X,Y,'y'), case 1 plot(X,Y,'r',-X,Y,'r'), case 2 plot(X,Y,'b',-X,Y,'b'), case 3 plot(X,Y,'k',-X,Y,'k'), case 4 plot(X,Y,'c',-X,Y,'c'), case 5 plot(X,Y,'g',-X,Y,'g'), otherwise 5 plot(X,Y,'r',-X,Y,'r'), end end hold off; 其中，fx与fy分别求取x和y方向电场强度积分式的值。 得到图形如下： -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 图 2 题目 1 电场线分布 我们取正方形截面的边界上的40个点作为起点，区域边界（坐标系边界）为终点。这样画 出的电场线与理论分析在一定程度上一致，在步长取值合适时可以准确的表征区域内任意点的 场强方向。但这种绘图方法并不能准确描述某点电场的强弱，例如x轴上并无电场线，但是其 场强并不是0，电场线较密的区域的场强也不一定比其他区域要大。 值得说明的是，本题的特殊情况在于无异种电荷，所以设置的终止条件在一般问题中并不 完整。 数值法求电场强度 从题目中知道，建立直角坐标系后，所求三点均位于 x轴上。不妨令一般点 P（x0， 0），那么由之前的对称性分析可以知道，其电场强度的 y轴分量为 0（或者也可以利用二重 积分的性质，正负相消，此处略去）。那么，容易得到所求场强 Ep的表达式为 0 0 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) p px S S x x dxdy x x dxdy E E r x x y         对于此二重积分，利用 MATLAB求其数值解， 假设求解 A点，那么 x0=3，程序如下 6 EA=dblquad('(3-x)./((3-x).^2+y.^2)',-1,1,-1,1) EA = 1.329014306625494 同样的方法，可以得到 EB=dblquad('(10-x)./((10-x).^2+y.^2)',-1,1,-1,1) EB = 0.399989334748447 EC=dblquad('(20-x)./((20-x).^2+y.^2)',-1,1,-1,1) EC = 0.199999666669431 所得场强结果随观测点与线电荷之间的距离增大而减小，与放射状的电场的强度变化趋势 一致。 简化计算方法 在绘制电场线时，发现当观察点距离电荷较远时，电场线的扩散形状与点电荷的电场分布 十分相似。从上一问求解区域内点的场强的过程知道，当 x0趋于无穷时，则有 2 2 2 0 0 0 0, ( )x x x x x y x     那么 2 0 2 0 0 ( ) p px S S x x dxdy dxdy a E E r x x       也就是说，计算简化的条件是 x0足够大，也就是所求区域内的点距离电荷足够远。这从 定性的角度比较容易理解：当距离足够远时，截面为正方形的线电荷可以等效为忽略截面形状 和大小的线电荷，因此通过化简的等式计算也足够准确。 下面，从理论上计算此种近似处理算法的精度。设误差为 pE ，那么 0 2 2 0 0 1 ( ) ( ) p S x x E dxdy x x x y       对其进行不等式变换， 0 2 0 0 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) p S S x x E dxdy dxdy x x x x x x          式子右侧的二重积分可以通过直接积分法给出结果，即 7 00 0 2 1 1 1 (ln(1 ) ) (ln(1 ) ) 12 2 p a E a a xx a x x a           当 x趋于 0时，由泰勒展开式 2 3 11 1 1ln(1 ) ... ( 1) ... 2 3 k kx x x x x k         取三阶，略去三次方以后的项，带入误差公式得到， 2 30 0 0 1 1 1 14 ( ) ( ) 2 pE ox x x a a a              所以，误差关于 1/x0三阶收敛于 0，也就是说，近似的简化公式关于 x0具有三阶精度。 以 C点为例，也就是 x0=10a=20时，简化计算结果为 0.2，而精确数值计算结果如上问所示。 那么，其绝对误差为 3.3333*10-7,而相对误差为 1.6667*10-4%。简化公式计算结果比数值计 算结果偏大。并且其实际误差的数量级比估计误差的数量级依然高两个数量级，表明在 C点已 经可以用简化公式代替原公式进行计算。 实验结论 （1） 计算电场： 正方形无限长线电荷在空间形成的电场可以用分割的方法通过二重积分来计算； （2） 考虑误差： 在足够远的区域内，可以用简化公式代替原公式计算对应点场强，该公式三阶收敛于 准确解，误差不超过 30 1 ( ) x a 。 题目二 问题描述 真空中无限长细线如下图所示（

工程

路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理

背景：双回直流线路）， 02  ，a = 2， 在 [ 6, 6], [ 6, 6]x y      的范围内画出不少于 10 条起点和终点分别在＋τ 和－τ 附 8 近的电场线。可以任意选择起点和终点。用 Matlab 自行编写画电场线的程序，必须说 明起点和终点的定义。内容包括： （1）程序实现原理； （2）绘制出的电场线图（画出导线的任意位置，指出起点和终点）； （3）需要说明的内容（如程序精度控制，编程体会等）。 a y a a x +   o a + 图 3 仿真作业题目二 理论分析 这四条无限长细线构成的依然是平行平面场，于是可以在 XOY 平面上进行分析。 平面内任意一点的场强 E可以认为是四条线电荷产生场强的叠加，而对于每条线电 荷，在 XOY平面某点产生的场强为： 2 02 E r r    其中矢量 r代表电荷线点到观察点的距离矢量。按照题目中建立直角坐标系，那 么令四条线电荷对应的坐标为： 1 2 3 4( , ), ( , ), ( ,0), ( ,0)P a a P a a P a P a  根据叠加原理，四条线电荷在平面内任意点 P(xp,yp)产生的总场强 31 2 4 1 2 3 4 2 2 2 2 0 1 2 3 4 ( ) 2 rr r r E E E E E r r r r           又因为 9 1 2 3 4( , ), ( , ), ( , ), ( , )p p p p p p p pr x a y a r x a y a r x a y r x a y          同时将 02  代入得到 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p x p p p p p p p p p p p p y p p p p p p p p x a x a x a x a E x a y a x a y a x a y x a y y a y a y y E x a y a x a y a x a y x a y                                   绘制电场线的依据是： ( , ) ( , ) 0x yE dl E E dx dy    也就是 ' y x Edy y dx E   欧拉法，由差分替代积分，同时进行步长叠加得到 1 1 k k yk xk k k x x x E y x E y y y                在终止条件满足之前，一直进行迭代。 算法实现： 代码编写： 根据欧拉法，利用叠加原理，编写代码如下： clear; axis([-6,6,-6,6]); %限定绘制范围 grid; N=9; a=2; hold on; plot(-a,a,'or',a,a,'or',-a,0,'or',a,0,'or'); %画代表线电荷的小圆 step=-1e-2; %规定步长（从负电荷触发，步长为负） angl=-pi:pi/N:pi; %代表不同初始点的角度 r=0.2; 10 X0=-a+r*cos(angl); Y0=r*sin(angl); %负电荷P3周围的初始点 for i=1:2*N+1 %每次for循环，画出一条电场线 x0=X0(i);y0=Y0(i); X=x0;Y=y0; k=1; while (-6=abs(Ey) %场强x分量较大，以其为步长增长方向 x0=x0+sign(Ex)*step; y0=y0+(Ey/Ex)*sign(Ex)*step; else %场强y分量较大，以其为步长增长方向 y0=y0+sign(Ey)*step; x0=x0+(Ex/Ey)*sign(Ey)*step; end end X(k+1)=x0;Y(k+1)=y0; k=k+1; end switch rem(i,6) %画出不同颜色的电场线 case 0 plot(X,Y,'y',-X,Y,'y'), case 1 plot(X,Y,'r',-X,Y,'r'), case 2 plot(X,Y,'b',-X,Y,'b'), case 3 plot(X,Y,'k',-X,Y,'k'), case 4 plot(X,Y,'c',-X,Y,'c'), case 5 plot(X,Y,'g',-X,Y,'g'), otherwise plot(X,Y,'r',-X,Y,'r'), end end hold off; 得到结果如下， 11 -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 图 4 单向绘制电场线（N=9，step=1e-2） 注意到，从负电荷出发到正电荷的电场线，以及从无穷远到负电荷的电场线可以绘制，但 是正电荷到无穷远的电场线未能准确绘制。这是因为起点的选取只在负电荷，即 P3和 P4周 围。所以，改进程序，加入以正电荷周边为起始点的电场线绘制，得到结果如下： -6 -4 -2 0 2 4 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 图 5 双向绘制电场线（N=9，step=1e-2） 绘制方法的实现原理： 关于步长： 为了保证电场线步长增量方向与实际相同，步长向量（也就是（ ,x y  ））应该与该点 的电场强度矢量同向共线。所以，在设置坐标变化量的语句中，应加入 sign()函数。 减小绘制误差的方法： 12 由于电场线有时会相对 x方向或者 y方向表现的很陡，所以步长 step应该加在哪个方向 上要视情况而定，这样可以有效的减小绘制的误差，提高精确度。具体的算法设计上，当 Ex>Ey时， yk xk E y x E    ，而当 Ex