高中数学线性规划

高中数学线性规划 篇一:高中数学_线性规划知识复习 高中必修5线性规划 最快的方法 简单的线性规划问题 一、知识梳理 1. 目标函数: , ,,,，,是一个含有两个变 量 , 和, 的 函数，称为目标函数( 2.可行域:约束条件所示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点( 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题(只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决( 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划( 二、疑难知识导析 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力、 1 财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线( 2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是―选点法‖:任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则，直线的另一侧为所求的平面区域(若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验( 3. 平 移 直 线 ,,,k, ，,时，直线必须经过可行域( 4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点( 5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的:(1)寻找线性约束条件，线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;(3)在可行域内求目标函数的最优解. 积储知识: 2 一( 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0 2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方(左上或右上)，则当B0时，Ax0+By0+C0;当B<0时，Ax0+By0+C<0 3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方(左下或右下)，当B0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C0 注意:(1)在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, (2)在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即:1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有(Ax1+By1+C)( Ax2+By2+C)0 2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有(Ax1+By1+C)( Ax2+By2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ?二元一次不等式Ax+By+C0(或<0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不包括边界; (?二元一次不等式Ax+By+C?0(或?0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意:作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 3 方法一:取特殊点检验; ―直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断 Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C?0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用 (0，1)或(1，0)当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二:利用规律: 1.Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=0上方(左上或右上)， 当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方(左下或右下); 2.Ax+By+C<0,当B0时表示直线Ax+By+C=0下方(左下或右下) 当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方(左上或右上)。 四、线性规划的有关概念: ?线性约束条件: ?线性目标函数: ?线性规划问题: ?可行解、可行域和最优解: 典型例题一--------画区域 1. 用不等式表示以A(1,4)，B(?3,0)，C(?2,?2)为顶点的三 4 角形内部的平面区域( 分析:首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解:直线AB的斜率为:kAB?4?0?1，其方程为y?x?3( 1?(?3) 可求得直线BC的方程为y??2x?6(直线AC的方程为y?2x?2( ?ABC的内部在不等式x?y?3?0所表示平面区域内，同时在不等式 2x?y?6?0所表示的平面区域内，同时又在不等式2x?y?2?0所表 示的平面区域内(如图)( ?x?y?3?0, 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式 组??2x?y?6?0,表示( ?2x?y?2?0? 说明:用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线( 2 画出2x?3?y?3表示的区域，并求所有的正整数解(x,y)( ?x?0,y?0,?x?z,y?z,?y?2x?3,解:原不等式等价于?而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求?( ??y?3.?y?2x?3, ??y?3. 依照二元一次不等式表示的平面区域， 5 知2x?3?y?3表示的区域如下图: 对于2x?3?y?3的正整数解，容易求 得，在其区域内的整数解为 (1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)( 3设x?0，y?0，z?0;p??3x?y?2z， q?x?2y?4z，x?y?z?1，用图表示出点 (p,q)的范围( 分析:题目中的p，q与x，y，z是线性关系( 可借助于x，y，z的范围确定(p,q)的范围( 1?x ?(8?q?6p),?3x?y?2z??p,?27??解:由?x?2y?4z?q,得? 1(14?5q?3p),?y??x?y?z?1,27??1?z?(5?4p?3q),?27? ?6p?q?8?0,?由x?0，y?0，z?0得?3p?5q?14?0,画出不等式组所示平面区域如图所示( ?3p?4q?5?0,? 说明:题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x，y，z的取值范围(借助于三元一次方程组分别求出x，y，z，从而求出p，q所满足的不等式组找出(p,q)的范围( 4、已知x,y,a,b满足条件:x?0,y?0,a?0,b?0,2x+y+a=6,x+2y+b=6 (1)试画出(x,y)的存在的范围; (2)求2x?3y的最大值。 6 典型例题二------画区域，求面积 ??y?x?1?1例3 求不等式组?所表示的平面区域的面积( ??y??x?1 分析:关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而 求出其面积(而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等 式进行化简和变形，如何变形,需对绝对值加以讨论( 解:不等式y?x??1可化为y?x(x??1)或y??x?2(x??1); 不等式y??x?1可化为y??x?1(x?0)或y?x?1(x?0)( 在平面直角坐标系内作出四条射线: AB:y?x(x??1)，AC:y??x?2(x??1) DE:y??x?1(x?0)，DF:y?x?1(x?0) 则不等式组所表示的平面区域如图，由于AB与AC、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形( 根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为 典型例题三------求最值一、与直线的截距有关的最值问题 z?Ax?By?C 1.如图1所示，已知?ABC中的三顶点A(2,4),B(?点P(x,y)在?ABC?z?x?y在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC?z?x?y在 点C 处有最大值 1 ，在 点B 3232和(所以其面积为( 222 7 ( 图2 ) 2若x、y满足条件?求z?x?2y的最大值和最小值( ?3x?2y?10?0， ?x?4y?10?0.? 分析:画出可行域，平移直线找最优解( 解:作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示( 111zx?z，它表示斜率为?，纵截距为的平行直线系，当它2222 在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点A时，z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值( 作直线l:x?2y?z，即y?? ? zmax?2?2?8?18? zmin??2?2?2?2 注:z?Ax?By可化为y??AzAzx?表示与直线y??x平行的一组平行线，其中为截距，特别注BBBB 意:斜率范围及截距符号。即注意平移直线的倾斜度和平移方向。 变式:设x,y满足约束条件 ?x?4y??3? ?3x?5y?25 ?x?1? 分别求:(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值。 二、与直线的斜率有关的最值问题 z?y?y0表示定点P(x0,y0)与可行域内的动点M(x,y)连线 8 的斜率. x?x0 ?x?y?2?0，yz?例2 设实数x，y满足?，则的最大值是__________( ?x?2y?4?0，x?2y?3?0，? 解析:画出不等式组所确定的三角形区域ABC，z?yy?0?0)P(x，y)确定的直线的斜表示两点O(0，，xx?0 率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值( 可以看出直线OP的斜率最大，故P为x?2y?4?0与2y?3?0即A点(?P?1?(故答案为?3??2?3( 23.如图1所示，已知?ABC中的三顶点A(2,4),B(?1,2),C(1,0)， 点P(x,y)在?ABC内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题: 若目标函数是z?y?12y?3或z?xx?1m in和zmax, 三、与距离有关的最值问题 z?z?(x?x0)2?(y?y0)2或z?x2?y2?Ax?By?C(配方)的结构表示定点Q (x0,y0)到可行域内的动点N(x,y)的距离的平方或距离。 221.已知x?y?5?0，x?y?10?0(求x?y的最大、最小值( 分析:令z?x?y，目标函数是非线性的(而z?x?y? 的平方(问题转化为点到直线的距离问题( 解:由? 9 222222x2?y2?可看做区域内的点到原点距离2?x?y?5?0,得可行域(如图所示)为?x?y?10?0,2z?x?y?x?y2?，而(0,0)到x?y?5 ? 0，x?y?10?0的2 距离分别为25510和( 所以z的最大、最小值分别是50和( 222 ?x?y?2?0，?2.已知?x?y?4?0，求z?x2?y2?10y?25的最小值 ?2x?y?5?0，? 解析:作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A(1，3)、B(3，1)、C(7，9)(而z?x2?(y?5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足,在线段AC上，故z的最小值是MN2?9( 2练习:1..给出平面区域如右图所示，若使目标函数z=ax+y (a 0 )取得最大 值的最优解有无穷多个，则a的值为(B ) A.135 B. C.4 D. 453?x?3,?2、在坐标平面上，不等式组?x?y?0所表示的平面区域的面积为 ?x?y?2?0?3.三角形三边所在直线分别为x-y+5=0，x+y=0，x-3=0，求表示三角形内部区域的不等式组. ?x?y?2?0? 4.(已知?x?y?4?0，求z?2x?y?5?0??|x?2y?4|的最大值为。 10 篇二:高中数学线性规划经典题型 高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线x2?y2?4的两条渐近线与直线x?3围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是() ?x?y?0?x?y?0?? (A)?x?y?0 (B)?x?y?0(C) ?0?x?3?0?x?3?? 成一个三角形区域(如图4所示)时有? ?x?y?0 ? ?x?y?0(D) ?0?x?3??x?y?0? ?x?y?0 ?0?x?3? 解析:双曲线x2?y2?4的两条渐近线方程为y??x，与直线x?3围 ?x?y?0 。 ?x?y?0?0?x?3? 点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 ?x?y?2?0 例2:在平面直角坐标系中，不等式组??x?y?2?0表示的 11 平面区域的面积是() ?y?0? (A) (B)4 (C)(D)2 ?x?y?2?0 解析:如图,，作出可行域，易知不等式组??x?y?2?0表示的平面区域是一个三角形。容 ?y?0? 易求三角形的三个顶点坐标为,(,，,)，B(2,0),C(-2,0). 于是三角形的面积为: 11 S?|BC|?|AO|??4?2?4.从而选,。 22 点评:有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题(重点) ?2x?y?2? 例3、设变量x、y满足约束条件?x?y??1，则 ?x?y?1? 12 ?2x?3y的最大值为。(截距) 解析:如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2 与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ?则x?y的最小值是2 2 图1 y ?x?1?的取值范围是 . 三、含参问题:(较难) ?约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 ?x?0例4、在约束条件?下，当3?s?5时，目标函数?y?0 ? ?y?x?s??y?2x?4 C z?3x?2y的最大值的变化范围是() A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析:画出可行域如图3所示,当3?s?4时, 目标函数z?3x?2y在B(4?s,2s?4)处取得最大值, 即 13 zmax?3(4?s)?2(2s?4)?s?4?[7,8);当4?s?5时, 目标函数z?3x?2y zmax E(0,处取得最大值,即 ?3?0?2?4?8,故z?[7,8],从而选D; 在点 点评:本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。 ?已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例5已知变量x，y满足约束条件? ?1?x?y?4 。若目标函数 ?2?x?y?2? z?ax?y(其中a?0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取 值范围为。 解析:如图5作出可行域，由z?ax?y?y??ax?z其表示为斜率为?a，纵截距为,的平行直线系, 要使目标函数z?ax?y(其中a?0)仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y??ax?z过,点且在直线x?y?4,x?3(不含界线)之间。即?a??1?a?1.则a的取值范围为(1,??)。 点评:本题通过作出可行域，在挖掘?a与z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系， 14 建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。 四、线性规划中的整点最优解问题(附近的点只的是上下左右) ((((((((((( ?5x?11y??22, ? 例6、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件?2x?3y?9,则 ?2x?11.? z?10x?10y的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90(D)95 zz，它表示为斜率为?1，纵截距为1010 119 的平行直线系,要使z?10x?10y最得最大值。当直线z?10x?10y通过A(,)z取得最大 22 值。因为x,y?N，故,点不是最优整数解。于是考虑可行域内,点附近整点,(,，,)，(( 解析:如图,，作出可行域，由z?10x?10y?y??x? ,(,，,)，经检验直线经过,点时，Zmax?90. 点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。 15 篇三:高中数学线性规划考点解析及例题辅导 简单的线性规划及实际应用 高考要求 知识点归纳 1二元一次不等式表示平面区域: 在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P(x0，y0) B,0时，?Ax0+By0+C,0，则点P(x0，y0)在直线的上方;?Ax0+By0+C,0，则点P(x0，y0)在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax+By+C,0(或,0)，无论B为正值还是负值，我们都可 以把y当B,0时，?Ax+By+C,0表示直线Ax+By+C=0上方的区域;?Ax+By+C,0表示直 线Ax+By+C=02线性规划: 满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似函数的定义域);使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多 问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下: (1)根据题意，设出变量x、y; (2)找出线性约束条件; 16 (3)确定线性目标函数z=f(x，y); (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域); (5)利用线性目标函数作平行直线系f(x，y)=t(t为参数); (6)观察图形，找到直线f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案 题型讲解 例1 求不等式,x,1,+,y,1,?2分析:依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积解:,x,1,+,y,1,?2可化为 ?x?1?x?1?x?1?x?1???? 或?y?1或?y?1或?y?1 ?y?1 ?x?y?2??x?y?2?x?y?0?x?y?4 ???? 其平面区域如图 ?面积S= 12 ×4×4=8 例2 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h(4?v?20)从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30?w?100)自B港向距300 km的C在同一天下午4至9点到达C设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、 17 y h (1)作图表示满足上述条件的x、y范围; (2)如果已知所需的经费p=100+3×(5,x)+2×(8,y)(元)， 那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元? 分析:由p=100+3×(5,x)+2×(8,y)可知影响花费的是3x+2y解:(1)依题意得v= 52 50y ，w= 300x ，4?v?20，30?w??3?x?10，?y ? 由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在小时之间， 即9?x+y?? 9至14个 因此，满足??的点(x，y)的存在范围是部分(包括边界) 图中阴影 (2)?p=100+3?(5,x)+2?(8,y)， ?3x+2y=131,p设131,p=k，那么当k最大时，p, 32 的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10，4)， 18 即当x=10，y=4时，p最小 此时，v5，w=30，p的最小值为93 点评:线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式的几何意义例3 某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9360 t已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8252元，乙型卡车每辆每天的成 本费为160元? 分析:弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解解:设每天派出甲型车x辆、乙型 车y辆，车 队所花成本费为z元，那么 ?x?y?9? ?10?6x?6?8y?360 ? ?x?4,x?N??y?7,y?N 即可行域， z=252x+160y， 作出不等式组所表示的平面区域，如图 作出直线l0:252x+160y=0，把直线l 向右上方平 19 移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小252x+160y=t经过点(2，5此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304答:每天派出甲型车2辆，乙型车5点评:用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f(x，y)=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用―网点法‖先作出可行域中的各整点例4 设z?2x?y，式中变量x,y满足条件 ??x?y? ? 2?x?y?4? 求z解:由已知，变量x,y满足的每个不等式都表示一个平面区域，因此?所表示的区域为如图中的四边形 当z?2x?y过?当z?2x?y过点C时，z取最小值，点A时，z取最大值即当x?3,y?1时，zmin?7， 当x?5,y?1时，zmax?11 例5 某糖果公司得一条流水线不论生产与否每天都要支付3000元的固定费用，它生产1千克糖果的成本是10元，而销售价是每千克15元，试问:每天应生产并销售多少糖果，才能使收支平衡，即它的盈亏平衡点是多少, 解:设生产x千克的糖果的成本函数为y(x)?3000?10x，销售x千克的糖果的收益函数为R(x)?15x，在同一坐标系中画出它们的图像，交点的横坐标就是反映盈亏平衡的产销量， 20 令y(x)?R(x)，得3000?10x?15x得x?600.， 即每天必须生产并销售600千克糖果，这条流水线才能做到盈亏平衡，从图中可以看出，当 x?600时，R(x)?y(x)，表示有盈利，反之则表示亏本例6 某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他们只能筹8000元用于装修，且游客能住满客房，它应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益, 解:设应隔出大房间x间和小房间y间，则 18x?15y?180且1000x?600y?8000，x,y?N 目标函数为z?5?40x?3?50y， 作出约束条件可行域: 根据目标函数z?200x?150y， 作出一组平行线200x?150y?t当此线经过直线18x?15y?180 2060,)， 77 和直线1000x?600y?8000的交点C( 130007 此直线方程为200x?150y?， 21 由于( 2060 所以经过整点(3，8)时，才是他们的最优解，同时经过整点(0,12),)不是整数， 77 也是最优解 即应隔大房间3间，小房间8间，或者隔大房间0间，小房间12虑到不同客人的需要，应隔大房间3间，小房间8 : 简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是:在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务;或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成 图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域可行域的顶点(即边界线的交点)处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值 篇四:高中数学线性规划解题类型研究 高中数学线性规划解题类型研究 重庆大足二中欧国绪 摘要:在不等式一章中，线性规划作为这章的一个简单应用，在高考中受到越来越多的重视。它出题的形式越来越 22 灵活，并且线性规划与其他知识进行交叉融合，它不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形结合思想，转化与化归思想，而且还能体现了学生的综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，此知识点越来越受到出题者的青睐。纵观近几年的试题，对线性规划问题的解题类型做一些探讨研究。 关键词:高中数学 线性规划 转化思想 研究 一、线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如:z?ax?by?c(b?0)时，可把目标函数变形为直线 az?cz?cy??x?，则可看作此直线在y轴上的截距，然后平移直线法是解决此类 bbb 问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如 下: 1.做出可行域; 2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解. 例1. (2010重庆高考)设变量x,y满足约束条件 ?x?0,? ?x?y?0,则z?3x?2y的最大值为( ) ?2x?y?2?0,? (A)0(B)2 (C)4(D)6 23 解析:不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数 z?3x?2y变为直线y? 轴上截距? 3zx?，过点B时，直线在y 22 z 最小，此时z则取最大值，由B(0,2)知 2 zmax?4选C. 二、非线性目标函数问题的解法 当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种: 1(比值问题 当目标函数形如z? y?a 时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线的斜率，这x?b 样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。 ??x,y，2?0，y 例2.已知变量x，y满足约束条件?x?1，则 的取值范围 24 是( ). x??x，y,7?0， 99 (A)[，6] (B)?[6，，?) 55(C)(,?，3]?[6，，?) (D)[3，6] y 解析: M(x，y)与原点O x 59y (0，0)连线的斜率，当直线OM)时， 22x 9y 最小值OM过点(1，6取得最大值6. 答 5x 案A 2(距离问题 当目标函数形如z?(x?a)2?(y?b)2时,可把z看作是动 点P(x,y)与定点Q(a,b)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。 ??2x，y,2?0，22 例3.已知?x,2y，4?0，求x，y的最大值与最小值. ?3x,y,3?0，? 解析:作出不等式组表示的平面区域(如图). 设x2，y2,z，则z是以原点为圆心的圆的半径的平方. 25 当圆x2，y2,z过点B(2，3)z取得最大值，从而z取得最大值zmax,22，32,13; 当圆x2，y2,z与直线AC:2x，y,2,0相切时，z取得最小 值，从而z取得最小值. 设切点坐标为(x0，y0)，则 ??2x0，y0,2,0， ?y0 ?(,2),,1.?x0? 42 解得x0,，y0,. 55 42224 因此，zmin,()，(),. 555 424 故，当x,2，y,3时，x2，y2取得最大值13;当x,，y,x2，y2. 555 3(曲线的截距问题 ?x+y?0? 例4.不等式组?x?y?0表示的平面区域面积为81，则x2?y的 ?x?a? 最小值为_____ 解析:令z?x2?y，则此式变形为y??x2?z，z可看作是动 抛 26 物线y??x2?z在y轴上的截距，当此抛物线与y??x相切 时，z最小，故答案为?4(向量问题 1 4 ?????????x?4y?3?0, OP?OA? 的最大例5.已知点P的坐标(x，y)满足:?3x?5y?25,及A(2，0)，则OA?x?1?0. ? 值是__________ ???????? ????????OP?OA =|OP|?cos ?AOP即为OP在OA上的投影长 解析:OA ?x?4y?3?0, ?M(5，2)，由? ?3x?5y?25 ???? ?OP?cos ?AOP的最大值为5. 三、线性变换问题 例6.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A,{(x，y)|x，y?1，且x?0，y?0}，则平面区域B,{(x，y，x,y)|(x，y)?A}的面积为 . u，vu,v 解析:令x，y,u，x,y,v，则x,，y,. 27 22由x，y?1，x?0，y?0得 u?1，u，v?0，u,v?0. 因此，平面区域B的图形如图.其面积为 1 S×2×1,1. 2 四、线性规划的逆向问题 24 例7.给出平面区域如图所示.若当且仅当xy, 35时，目标函数z,ax,y取最小值，则实数a的取值范 围是 . 24 解析:当直线y,ax,z(a,0)过点(， ，且不与直线AC，BC重合时,,z取得最 35大值，从而z取得最小值. 415123 kAC,, kBC,,, 25210133 所以，实数a的取值范围是(, 五、线性规划的情境问题 例8.(2010四川高考)(某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千 28 克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为, 解析:设甲车间加工原料x 123 . 510 4 5 则 ?x?y?70? ?10x?6y?480?x,y?N? 目标函数z,280x，300y 结合图象可得:当x,15,y,55时z最大 总之:线性规划作为高中数学的重要内容，培养了学生搜集、分析和整理信息的能力，在解题研究当中学会了沟通与合作，培养了学生探索研究的能力和用所学知识解决实际问题的能力,引发了学生学习和使用数学知识的兴趣，发展了创新精神，培养了实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 篇五:高中数学线性规划题型总结 高考线性规划归类解析 29 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 ?2x?y?2?例1、设变量x、y满足约束条件?x?y??1，则z?2x?3y?x?y?1? 的最大值为。 解析:如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 ?x?1,?例2、已知?x?y?1?0,则x2?y2的最小值是?2x?y?2?0? 解析:如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而x2?y2表示 可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A(1，2)是满足条 件的最优解。x2?y2的最小值是为5。 点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 30 图1 图2 ?x?0 例3、在约束条件?下，当3?s?5时，目标函数?y?0??y?x?s ??y?2x?4C z?3x?2y的最大值的变化范围是() A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析:画出可行域如图3所示,当3?s?4时, 目标函数 z?3x?2y在B(4?s,2s?4)处取得最大值, 即 zmax?3(4?s)?2(2s?4)?s?4?[7,8);当4?s?5时, 目标函数 z?3x?2y zmaxE(0,处取得最大值,即?3?0?2?4?8,故z?[7,8],从而选D; 在点 点评:本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线x?y?4的两条渐近线与直线x?3围成一个三角形 区域,表示该区域的不等式组是() 22 ?x?y?0?x?y?0??(A)?x?y?0 (B)?x?y?0(C) ?0?x?3?0?x?3?? 22?x?y?0??x?y?0(D) ?0?x?3??x?y?0??x?y?0 ?0?x?3?解 31 析:双曲线x?y?4的两条渐近线方程为y??x，与直线x? 3围 成一个三角形区域(如图4所示)时有??x?y?0。 ?x?y?0 ?0?x?3? 点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例5已知变量x，y满足约束条件??1?x?y?4。若目标函数 ??2?x?y?2 z?ax?y(其中a?0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取 值范围为。 解析:如图5作出可行域，由z?ax?y?y??ax?z其表示为 斜率为?a，纵截距为,的平行直线系, 要使目标函数z?ax?y (其中a?0)仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y??ax?z过 ,点且在直线x?y?4,x?3(不含界线)之间。即?a??1?a?1. 则a的取值范围为(1,??)。 点评:本题通过作出可行域，在挖掘?a与z的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。 32 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 ?x?y?2?0 例,在平面直角坐标系中，不等式组??x?y?2?0表示的平面 ?y?0? 区域的面积是() (A) (B)4 (C) (D)2 ?x?y?2?0 解析:如图,，作出可行域，易知不等式组??x?y?2?0表示 ?y?0? 的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为,(,，,)，B(2,0),C(-2,0).于11是三角形的面积为:S?|BC|?|AO|??4?2?4.从而选,。 22 点评:有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约 ?5x?11y??22,?束条件?2x?3y?9,则z?10x?10y的最大值是 33 (A)80 ?2x?11.? (B) 85 (C) 90(D)95 解析:如图,，作出可行域，由z?10x?10y?y??x? 它表示为斜率为?1，纵截距为z，10z的平行直线系,要使z?10x?10y最得最大值。当直线10 119z?10x?10y通过A(,)z取得最大值。因为x,y?N，故,点不是最优整数解。于是考虑22 可行域内,点附近整点,(,，,)，,(,，,)，经检验直线经过,点时，Zmax?90. 点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。 篇六:高考数学线性规划常见题型及解法 高考数学线性规划常见题型及解法 线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。现就常见题型及解决方法总结如下: 一、求线性目标函数的最值; 例题:(2012年广东文5)已知变量x,y满足条件 ?x?y?1? 34 ?x?y?1，则z?x?2y的最小值为 ?x?1?0? A.3 B.1 C.-5 D.-6 解析:利用线性规划知识求解。可行域如图阴影所示，先画出直线l0 :y??当直线过点A时，z?x?2y的值最小，得 x，平移直线l0,2 ?x??1?x??1 ?A(?1,?2),?zmin??1?2?(?2)??5 ?? y??2,x?y?1 ?0,?? 探究提高:本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想及运算求解能力，难度适中。 二、求目标函数的取值范围; ?x?2y?2 ? 例题:(2012山东文6)设变量x,y满足约束条件?2x?y?4, ?4x?y??1? 则目标函数z?3x?y的取值范围是3??3??3??A.??,6? B.??,?1? C.?1,6?D.??6,? ?2??2??2?? 解析:作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线3x?y?0，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C时，目标函数取得最大值，当直线过点A是，目标函数取 35 ?x?2y?1?0?4x?y?1?01得最小值，由?,得A(2,0);由?,得B(,3) 2?2x?y?4?0?2x?y?4?0 13?3? ?zmax?3?2?0?6,zmin?3??3??，?z?3x?y的取值范围是?-，6? 22?2? 探究提高:本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大(小)值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值; ?x?y-3?0? 例题:(2012福建文10)若直线y?2x上存在点(x,y)满足条件?x-2y-3?0,则实数m的最 ?x?m? 大值为 ( ) 3 A.1- B.1 D.2 2 解析:在同一直角坐标系中函数y?2x的图像及 ?x?y?3?0 ，所表示的平面区域图阴影部分所示。由图可? ?x?2y?3?0 知，当m?1时，函数y?2x的图像上存在点(x,y)满足约束 36 条件，故m的最大值为1. 探究提高:本题是线性规划的综合应用，解决这类问题的关键是利用树形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义。 四、求线性规划问题的整点问题; 例题:设等轴双曲线y?x?1的两条渐近线与直线x?2围城的三角形区域(包含边界)为 2 2 M，p(x,y)为M内的一个动点，则目标函数z?2x?y的最小值___________. 解析:等轴双曲线的渐近线为x?y?0和x?y?0.它们和 ?x?y?0 ? x?2共同围城的三角形区域为?x?y?0，即图中阴影部分， ?x?2? 由图像可知当直线经过点C时，Z最大，点C的坐标为( 2,2)，此时z?2?2?2?2。 探究提高:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 五、求可行域的面积; ?2x?y?6?0? 37 例题、不等式组?x?y?3?0表示的平面区域的面积为 ( ) ?y?2? A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解:如图，作出可行域，?ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B 探究提高:有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 六、(2012年咸阳模拟)求非线性目标函数的最值; ?x?y?1?0 y? 例题:实数x，y满足?x?0，(1)若z?，求z的取值围; x?y?2 ? (2)若z?x+y，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围. 2 2 ?x?y?1?0? 解析:由?x?0，作出可行域如图中阴影 ?y?2? 38 yy 部分所示 (1)z,表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线 xx ?x?y?1?0 OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)(而由?，得得B(1,2)， y?2? 2 则kOB,,2.?zmax不存在，zmin,2， 1?z的取值范围是[2，，?) (2)z,x2，y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方( 因此x2，y2的范围最小为|OA|2(取不到)，最大为|OB|2. ?x?y?1?0 ，得A(0,1)，?|OA|2,(0，1)2,1，|OB|2,1，2)2,5. ? ?x?0 ?z的最大值为5，没有最小值(故z的取值范围是(1,5]( 探究提高:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 七、求线性规划的简单应用; 例题:(2012.江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面 39 积不超过50亩，投入资金不 超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表: 总利润为使一年的种植 (总利润=总销售收入-总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为() A.50，0 B.30，20 C.20，30 D.0，50 解析 :设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知，求 ?x?y?50 ? 目标函数z?x?0.9y的最大值?1.2x?0.9y?54，根据 ?x,y?N ?? 题意画可行域如图阴影所示。当目标函数l向右平移，移至点A(30,20) 处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种 植30亩，韭菜20亩时，种植总利润最大。 探究提高:解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分析题意，设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函数;(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)解答 篇七:高中数学线性规划(精品) 线性规划 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1(设直线l的方程为:x?y?1?0，则下列说法不正确的是 ( 40 ( ) A(点集{(x,y)|x?y?1?0}的图形与x轴、y轴围成的三角形的面积是定值 B(点集{(x,y)|x?y?1?0}的图形是l右上方的平面区域 C(点集{(x,y)|?x?y?1?0}的图形是l左下方的平面区域 D(点集{(x,y)|x?y?m?0,(m?R)}的图形与x轴、y轴围成的三角形的面积有最小值 ?y?x 满足约束条件?x?y?1,则z?2x?y ? ?y??1? 2(已知x, y的最大值为 ( ) A(3 B(,3 C(1 D( 32 3(如果函数y?ax2?bx?a的图象与x轴有两上交点，则点(a，b)在aOb平面上的区 域(不包含边界)为 A( B(C(D( 4(图中的平面区域(阴影部分包括边界)可用不等式组表示为 A(0?x?2 C(??x?2y?2?0 ? ??x? y 41 ( ) ) 0? B(? ? x?2 ?0?y?1 x?2y?2?0 D(? ? ?x?0 ?y?0? ?y?x 5(不等式组?x?y?1，表示的区域为 ? ?y??3? D，点P1(0，-2)，P2(0，0)，则 ( ) A(P1?D且P2?D C(P1?D且P2?D B(P1?D且P2?D D(P1?D且P2?D 6(已知点P(x0，y0)和点A(1，2)在直线l:3x?2y?8?0 的异侧，则 A(3x0?2y0?0 C(3x0?2y0?8 42 B(3x0?2y0?0 D(3x0?2y0?8 ( ) 7(已知点P(0，0)，Q(1，0)，R(2，0)，S(3，0)， 则在不等式3x?y?6?0表示的平面区域内的点是 A(P、Q B(Q、R C(R、S D(S、P ( ) ?x?y?1?0 8(在约束条件? ?x?y?1?x?0? 下，则目标函数z?10x?y的最优解是 ( ) A((0，1)，(1，0) C((0，-1)，(0，0) B((0，1)，(0，-1) D((0，-1)，(1，0) D(13 ( ) 9(满足x?y?2的整点的点(x，y)的个数是 A(5 B(8 C(12 43 10(某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分 别为2m2、3 m2，用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可造甲、乙产品各6个，则 A、B两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省, A(A用3张，B用6张 C(A用2张，B用6张 B(A用4张，B用5张 D(A用3张，B用5张 ( ) 二、填空题(本题共4小题，每小题6分，共24分) 11(表示以A(0，0)，B(2，2)，C(2，0)为顶点的三角形区域(含边界)的不等式组是 12(已知点P(1，-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x?by?1?0表示的平面区域内，则b的取值范 围是 ( 13(已知点(x，y)在不等式组? ?x?2?y?2 ?x?y?2? 表示的平面区域内，则x?y的取值范围为 ( 14(不等式x?y?1所表示的平面区域的面积是 三、解答题(本大题共6题，共76分) ?x?2y?4?0? 44 15(画出不等式组?x?y所表示的平面区域((12分) ?x?2?0? ?x?y?5? 16( 求由约束条件?2x?y?6确定的平面区域的面积S阴影部分和周长C阴影部分((12分) ?x?0,y?0??x?2y?12? ?2x?3y?12 17(求目标函数z?10x?15y的最大值及对应的最优解，约束条件是?( ?0?x?10?y?0? (12分) 18(设z?2x?y，式中变量 ?x?1? x,y满足条件?y?1，求 ? ?x?3y?6?x?y?6? z的最小值和最大值((12分) 19(A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台和8台(现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10 台(已知从A市调运一台机到D市、E市的运费分别为200元和800元;从B市调运一台机器到D市、 E市的运费分别为300元和700元;从C市调运一台机器 45 到D市、E市的运费分别为400元和500元(设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x、y表示总运费W(元)，并求W的最小值和最大值((14分) 20(某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种 棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨(甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?(14分) 参考答案 一(选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 二(填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分) ?x?y?0? 11(?x?2 12((?3,?1)13([2，4] 14( 2 22?y?0 ? 三、解答题(本大题共6题，共76分) 15((12分)16((12分) [解析]:由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，其四个顶点为O(0，0)，B(3， 46 P(1，4)(过P点作y轴的垂线，垂足为C( 则AC=|5-4|=1，PC=|1-0|=1，OC=4，AP= 22 2，PB=(4?0)?(1?3)?25 得S?ACP? 12 AC?PC= 12 ，S梯形COBP? 12 (CP?OB)?OC?8 2+ 所以S阴影部分=S?ACP+S梯形COBP=17((12分) [解析]:作出其可行域如图所示， 172 ，C阴影部分=OA+AP+PB+OB=8+ 约束条件所确定的平面区域的五个顶点为(0，4)，(0，6)，(6，0)(10，0)，(10，1)， 作直线l0:10 x +15 y =0，再作与直线l(来自:WwW.xltkwJ.cOm 小龙 文档 网:高中数学线性规划)0平行的直线l:10 x +15 y =z， 由图象可知，当l经过点(10，1)时使z?10x?15y取得最大值， 显然zmax?10?10?15?1?115，此时最优解为(10，1)( 18((12分) 47 [解析]:作出其可行域如图所示， 约束条件所确定的平面区域的四个顶点为(1， l53 )，(1，5)，(3，1)，(5，1)， 作直线l0:2 x + y =0，再作与直线l0平行的直线l:2 x + y =z，由图象可知，当l经过点(1， zmin?2?1?1? 53 113 53 )时使z?2x?y取得最小值， ? 当l经过点(5，1)时使z?2x?y取得最大值， zmax?2?5?1?1?11 19((14分) [解析]:由题意可得，A市、B市、C市调往D市的机器台数分别为x、y、(18- x - y)， 调往E市的机器台数分别为(10- x)、(10- y)、[8-(18- x - y)](于是得 W=200 x +800(10- x)+300 y +700(10- y)+400(18- x - y)+500[8-(18- x - y)] =-500 x -300 y +17200 设,,17200,100T，其中,,5 x +3 y , ?0?x?10?0?x?10 ?又由题意可知其约束条件是? ??0?y?10?0?y?10 48 ?0?18?x?y?8?10?x?y?18?? 作出其可行域如图:作直线l0:5 x +3 y,,，再作直线l0的平行直线l: 5 x +3 y,, 当直线l经过点(,，10)时，,取得最小值， 当直线l经过点(10，8)时，,取得最大值， 所以，当x =10，y =8时，Wmin=9800(元)当x =0，y =10时，Wmax=14200(元)( 答:,的最大值为14200元，最小值为9800元( 20((14分) 分析:将已知数据列成下表: 解:设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元， ?2x?y?300 ? 那么?x?2y?250 ? ?x?0?y?0? z=600x+900y(作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域( 作直线l:600x+900y=0，即直线l:2x+3y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值(解方程组 ?2x?y?300 49 ,得M的坐标为x=350?117，y=200?67( ? 33?x?2y?250 答:应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大( 篇八:高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解 高中数学高考总复习简单的线性规划习题及详解 一、选择题 1((文)(2010?北京东城区)在平面直角坐标系中，若点(,2，t)在直线x,2y，4,0的上方，则t的取值范围是( ) A((,?，1) C((,1，，?) [答案] B [解析] ?点O(0,0)使x,2y，40成立，且点O在直线下方，故点(,2，t)在直线x,2y，4,0的上方?,2,2t，4<0，?t1. [点评] 可用B值判断法来求解，令d,B(Ax0，By0，C)，则d0?点P(x0，y0)在直线Ax，By，C,0的上方;d<0?点P在直线下方( 由题意,2(,2,2t，4)0，?t1. (理)(2010?惠州市模拟)若2，2<4，则点(m，n)必在( ) A(直线x，y,2,0的左下方 B(直线x，y,2,0的右上方 C(直线x，2y,2,0的右上方 D(直线x，2y,2,0的左下方 [答案] A [解析] ?2m，2n?2m，n，由条件2m，2n<4知， 2m 50 ，n<4，?m，n<2，即m，n,2<0，故选A. x?0? ? 2((文)(09?安徽)不等式组?x，3y?4 ??3x，y?4 m n B((1，，?) D((0,1) 所表示的平面区域的面积等于( ) 3 A.24 C.3[答案] C [解析] 平面区域如图(解?4B(0,4)，C?0，?3， 48 |BC|,4,,33 ??x，3y,4??3x，y,4 2 B. 33D. 4 得A(1,1)，易得 184 ?S?ABC×1,. 233 x，y?2? 51 ? (理)(2010?重庆市南开中学)不等式组?2x,y?4 ??x,y?0A(3 C(6 [答案] D [解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt?ABC，易求 B(4,4)，A(1,1)，C(2,0) ?S?ABC,S?OBC,S? AOC B(6 D(3 所围成的平面区域的面积为( ) 11 ,×2×4,×2×1,3. 22 y?x? ? 3((文)(2010?西安中学)设变量x，y满足约束条件?x，y?2 ??y?3x,6的最小值为( ) A(2 C(5 [答案] B y?x? ? [解析] 在坐标系中画出约束条件?x，y?2 ??y?3x,6 B(3 D(7 ，则目标函数z,2x，y 所表示的可行域为图中?ABC，其中 52 A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z,2x，y在点B(1,1)处取得最小值，最小值为3. (理)(2010?哈师大附中模考)已知A(2,4)，B(,1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在?ABC内部及边界运动，则z,x,y的最大值及最小值分别是( ) A(,1，,3C(3，,1 [答案] B [解析] 当直线y,x,z经过点C(1,0)时，zmax,1，当直线y,x, z B(1，,3 D(3,1 经过点B(,1,2)时，zmin,,3. 4((2010?四川广元市质检)在直角坐标系xOy中，已知?AOB的三边所在直线的方程分别为x,0，y,0,2x，3y,30，则?AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( ) A(95 C(88 [答案] B [解析] 由2x，3y,30知，y,0时，0?x?15，有16个; B(91D(75 y,1时，0?x?13;y,2时，0?x?12; y,3时，0?x?10;y,4时，0?x?9; y,5时，0?x?7;y,6时，0?x?6; y,7时，0?x?4;y,8时，0?x?3; y,9时，0?x?1，y,10时，x,0. 53 ?共有16，14，13，11，10，8，7，5，4，2，1,91个( 5((2010?山师大附中模考)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元(该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨(那么该企业可获得最大利润是( ) A(12万元C(25万元[答案] D [解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨， 3x，y?13 ??2x，3y?18 由题意得?x?0 ??y?0 B(20万元D(27万元 ， 获利润ω,5x，3y，画出可行域如图， 由? ??3x，y,13?2x，3y,18? ，解得A(3,4)( 52 ?,3<,,，?当直线5x，3y,ω经过A点时，ωmax,27. 54 33x,y，6?0? ? 6((文)(2010?山东省实验中学)已知实数x，y满足?x，y?0 ??x?3值为3a，9，最小值为3a,3，则实数a的取值范围为( ) A(a?1 B(a?,1 D(a?1或a?,1 ，若z,ax，y的最大 C(,1?a?1 [答案] C [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值(又kBC,,1，kAB,1，?,1?,a?1，即,1?a? 1. x，4y,13?0?? (理)(2010?寿光现代中学)已知变量x，y满足约束条件?2y,x，1?0 ??x，y,4?0点(x，y)使目标函数z,x，my取得最小值，则m,( ) A(,2C(1 [答案] C [解析] 由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部部分(当z,x，my与x，y,4,0重合时满足题意，故m,1. 55 B(,1D(4 ，且有无穷多个 7((2010?广东五校)当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数z,kx，y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是( ) A((,?，,1]?[1，，?) B([,1,1] C((,?，,1)?(1，，?) D((,1,1) [答案] B [解析] 由目标函数z,kx，y得y,,kx，z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为(1,2)，则0?,k?kAC?1或0?,k?kBC,,1，?k?[,1,1]( y?x? ? 8((文)(2010?厦门一中)已知x、y满足不等式组?x，y?2 ??x?a小值的3倍，则a,( ) A(0 2 C.3 1B.3D(1 ，且z,2x，y的最大值是最 [答案] B [解析] 依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z,2x，y在A点和B点处分别取得最小值和最大值( ??x,a由?得A(a，a)， ?y,x???x，y,2由?得B(1,1)， 56 ?x,y? 篇九:高中数学《线性规划》练习题 线性规划 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1(不在 3x+ 2y < 6 表示的平面区域内的一个点是 A((0，0) A(m,,7或m,24 B((1，1) B(,7,m,24 C((0，2) C(m,,7或m,24 D((2，0) () D(,7?m? 24 ( ) ( ) 2(已知点(3 ， 1)和点(,4 ， 6)在直线 3x–2y + m = 0 的两侧，则 3(若? x?2 ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 y?2,x?y?2?? A([2 ，6] B( [2，5] C( [3，6] D( [3，5] D(矩形 () 57 D(3，,1 4(不等式? ?(x?y?5)(x?y)?0 表示的平面区域是一个 0?x?3? B(直角三角形 C(梯形 () A(三角形 5(在?ABC中，三顶点坐标为A(2 ，4)，B(,1，2)，C(1 ，0 )， 点P(x，y)在?ABC内部及边界运动， 则 z= x – y 的最大值和最小值分别是A( 3，1 B(, 1，,3 , C (1，,3 6(在直角坐标系中，满足不等式 x,y2?0 的点(x，y)的集合(用阴影部分来表示)的是 () AB CD 7(不等式x?y?3表示的平面区域内的整点个数为 8(不等式|2x? 58 A(?2 ( ) A( 13个 B( 10个 C( 14个D( 17个 y?m|?3表示的平面区域包含点(0,0)和点(?1,1),则m的取值范围是 B(0 ( ) ?m?3 ?m?6 C(?3?m?6 D(0?m?3 9(已知平面区域如右图所示，z?mx?y(m?0)1 A(7 B(?7 C( D(不存在 22020 10(如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是 ( ) y??2y??2??y??2y??2?? ??A(? B(3x?2y?6?0 C(? D(3x?2y?6?0 ???3x?2y?6?0?3x?2y?6?0 ????x?0x?0x?0x?0???? 二、填空题(本题共4小题，每小题6分，共24分) x?y?5?0 11(已知x，yx?y?0，则z?4x?y的最小值为______________( x?3 12(某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别 59 为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3 件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有______________种. 1 ?x?2y?8813(已知约束条件?，目标函数z=3x+y，某学生求得x=8， y=时，zmax=32， 这显然不合要求，正 2x?y?8?333?x?N?,y?N?? 确答案应为x=; y= ; zmax. 14(已知x，y满足? ?x?2y?5?0 ，则 ?x?1,y?0?x?2y?3?0? y 的最大值为___________，最小值为____________( x 三、解答题(本大题共6题，共76分) 15(由y?2及x?y?x?1围成的几何图形的面积是多少?(12分) 16(已知a?(0,2),当a为何值时，直线l1:ax?2y?2a?4与l2:2x?a2y?2a2?4及坐标轴围成的平面区域的面积最小, 17(有两种农作物(大米和小麦)，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下:在一天内 如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务,(12分) 60 ?0?x?1 18(设z?2y?2x?4，式中变量x,y满足条件(?12分) ?0?y?2，求z的最小值和最大值( ?2y?x?1? 19(某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种 柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下: 问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少,(14分) 20(某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载 重为10t的B型卡车，有10名驾驶员;每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次;每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低,若只调配A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少,(14分) 2 参考答案 一(选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 二(填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分) 11( ?12.512(7 13(3，2，11 14( 2，0 三、解答题 61 (本大题共6题，共76分) 15((12分)[解析]:如下图由y?2及x?y?x?1围成的几何图形就是其阴影部分，且S? 16((11 ?4?2??2?1?3. 22 4 A(2,2),交x,y轴分别为B(2?,0),C(0,2?a) a l2:y?2?? 242 (x?2)?l恒过A(2,2),交x,y轴分别为D(a?2,0),C(0,2?， 222aa 4 ?0,2?a?0，由题意知l1与l2及坐标轴围成的平面区域为ACOD， a ?0?a?2?2? ?SACOD?S?EOD?S?ECA? 12414115(a?2)(2?2?(2?a)?2?a2?a?4?(a?2?, 22a24a 115( ?当a?时，(SACOD)min? 24 ?6x?3y?40 ? 17((12分)[解析]:设轮船为x艘、飞机为y架，则可 62 得?5x?2y?30，目标函数z=x+y，作出可行域，利用 ?x,y?0,x,y?N8? 图解法可得点A(20，0)可使目标函数z=x+y最小，但它不是整点，调整为B(7，0)( 3 答:在一天内可派轮船7艘，不派飞机能完成运输任务( 18((12分) ?0?x?1 [解析]: 作出满足不等式?0?y?2? ?2y?x?1? 3 1?0` 作直线l1:2y?2x?t, 当l经过A(0,2)时，zmax?2?2?2?0?4?8. 当l经过B(1,1)时，zmin?2?1?2?1?4?4. 19((14分) [解析]:设x，y分别为甲、乙二种柜的日产量，可将此题归纳为求如下线性目标函数Z=20x+24y的最大值.其中 6x ?12y?120 线性约束条件为 8x?4y?64 ， 63 由图及下表 x?0,y?0 Z=272 答:该公司安排甲、乙二种柜的日产量分别为4台和8台可获最大利润272元. 20司所花的成本为z元，则 ?0?x?8,x?N?0?y?4,y?N?目标函数z=320x+504y，? x?y?10? ?6?4x?10?3y?180??x,y?N? 作出可行域(如上图)，作L:320x+504y=0, 可行域内的点E点(7.5，0)可使Z最小，但不是整数点，最近的整点是(8，0)即只调配A型卡车，所花最低成本费z=320×8=2560(元); 若只调配B型卡车，则y无允许值，即无法调配车辆( 4 64