3.1.2空间向量的数乘运算

英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn 全新课标理念，优质课程资源 3.1.2 空间向量的数乘运算 学习目标：了解共线或平行向量的概念，掌握示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；会用上述知识解决立几中有关的简单问题． 学习重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式,点在已知平面内的充要条件. 课堂过程： 一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量 与非零向量 是否共线？ 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使 ＝λ .称平面向量共线定理， 2. 必修④《平面向量》，平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、新课讲授 1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 平行于 记作 // ． 2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量 、 （ ≠0）， // 的充要条件是存在实数λ，使 ＝λ . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若 ∥ （ ≠0），则有 ＝ EMBED Equation.3 ，其中 是唯一确定的实数.②判断定理：若存在唯一实数 ，使 ＝ EMBED Equation.3 （ ≠0），则有 ∥ （若用此结论判断 ， 所在直线平行，还需 （或 ）上有一点不在 （或 ）上）. ⑵对于确定的 和 ， ＝ EMBED Equation.3 表示空间与 平行或共线，长度为 | EMBED Equation.3 |，当 >0时与 同向，当 <0时与 反向的所有向量. 3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量 的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 ． 其中向量 叫做直线l的方向向量. 推论证明如下： 因为l//a，所以对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得 ．(*) 又因为对于空间任意一点O，有 ， 　所以 ， ． ① 若在l上取 ，则有 ．(**) 又因为 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ．② 　当 时， ．③ 理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式． ⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广． 4. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内，则称向量a平行于平面α，记作a//α． 向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的． 5. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内． 6. 讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明． 结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD， 、 、 这三个向量就不是共面向量． 7. 讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？ 8. 得出共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ． 证明：必要性：由已知，两个向量a，b不共线． 因为向量p与向量a，b共面 所以由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb． 充分性：如图，因为xa，yb分别与a、b共线，所以xa，yb都在a，b确定的平面内． 又因为xa+yb是以｜xa｜，｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a，b确定的平面内， 所以 p= xa+yb在a，b确定的平面内，即向量p与向量a，b共面． 说明：当p，a，b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内． 9. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得 ，① 或对于空间任意一定点O，有 ．② ：⑴推论中的x，y是唯一的一对有序实数； ⑵由 得 ，故 ③ 公式①②③都是P，M，A，B四点共面的充要条件． 10. 例题：课本P88例1 ，解略． → 小结：向量方法证明四点共面 三、巩固练习： 作业：P89 练习 1,2,3. P97 习题3.1 A组 2,3. D C B A O 学习方法报社 第 1 页 共 2 页 _1112245075.unknown _1225298560.unknown _1225298570.unknown _1225298579.unknown _1225395302.unknown _1225395307.unknown _1225395309.unknown _1225395304.unknown _1225395299.unknown _1225298575.unknown _1225298577.unknown _1225298572.unknown _1225298565.unknown _1225298568.unknown _1225298563.unknown _1225298551.unknown _1225298556.unknown _1225298558.unknown _1225298553.unknown _1225298546.unknown _1225298548.unknown _1112681465.unknown _1112245016.unknown