高一数学精品教案(二)_等差数列

高一数学精品（二） 等差数列 一、知识点提要： 1．等差数列定义：an+1－an=d（常数），即从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一常数，叫等差数列，此常数用d表示，称为公差.当d=0时，数列为常数列. 2．通项公式：an=a1+(n－1)d 3．前n项的和： （d=0） 4．等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫a,b的等差中项，且 5．等差数列的性质： （1）数列{an}成等差数列，则 ①an=am+(n－m)d(m,n∈N*) ②若m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*) 特别地：若2t=p+q，则2at=ap+aq （2）证明数列{an}成等差数列的方法： 定义法：an+1－an=d（常数） 中项法：2an+1=an+an+2. 二、重点难点突破： 1．由等差数列的通项公式an=a1+(n－1)d可知an 是n的一次函数，所以{an}成等差数列 . 2．由等差数列的前n项的和公式 可知{an} 成等差数列 3．等差数列的前n项的和Sn还有如下特点： （1）前m项的和记为S1，次m项的和记为S2，再m项的和记为S3……则数列{Sn}也成等差数列. （2）若n为奇数，则 ；n为偶数则 ； 三、热点考导析 例1．在等差数列中，a6+a9+a12+a15=20，求S20. 思路一：比较S20与已知条件. 解法一：∵a6+a9+a12+a15=20，∴4a1+(5+8+11+14)d=20， ∴2a1+19d=10，又 ∴S20=100. 思路二：利用等差数列的性质. ∵a6+a15=a9+a12=a1+a20，又由a6+a9+a12+a15=20，∴a1+a20=10，∴ . 教师点评：在公式 中有4个字母已知其中三个就以求出另一个.已知两个条件也可以列出方程组解.由于 如果求到1+an，也可以免去求a1和d.本例中就无法确定a1和d的值.有时还可以设出Sn=an2+bn，利用已知条件确定两个系数a和b.再看 例2．四个数成等差数列，把它们分别加上4，3，3，5后又依次成等比数列，求这四个数. 分析：四个数成等差数列，可依次设为a―3d、a―d、a+d、a+3d，然后列出a、d的方程组求解. 解：设此四个数依次为a―3d、a―d、a+d、a+3d，依题意，得 ∴ 或 （不合舍去） ∴此四个数为―3，―1，1，3. 教师点评：这里使用了对称设元法，类似地，若三个数成等差数列，则可设三数为a－d，a,a+d，这种对称设元法可以简化运算. 例3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0. （1）求公差d的取值范围. （2）指出S1，S2，S3，……，S12中那个值最大，并说明理由. 解：（1）依题意，有 将a3=a1+2d=12代入得： （2）由S12=6（a6+a7）>0，S13=13a7<0. 即a6+a7>0，a7<0，故a6>0，∴S6最大. 教师点评：等差数列的结构是：单调递增，单调递减或常数列.若递减且a1>0,则前n项的和Sn存在最大值，前多少项和最大，就是数列中前若干个正项的个数，因此这种题型就是要找出数列中的正、负的分界线处.类似地若a1<0且递增，则Sn存在最小值. 学生演板 （1）{an}为等差数列，且an>0(n∈N*)S3=S11，问此数列的前多少项的和最大？（n=7） （2）已知等差数列{an}中，Sm=Sn(m≠n)，求 例4．两个等差数列{an}，{bn}它们的前n项和之比为 求这个两个数列第9项之比. 分析：可直把Sn代入，把分子、分母变成通项的形式. 解：（法一） 令 ∴n=17 ∴ 而 （法二） 教师点评：解法二较一巧妙，主要是灵活地运用了等差数列的性质(2)从而沟通了an与S2n－1的关系.本题其实求任何的ak∶bk都可以. 例5．已知数列{an}中，a1=1， 求这个数列的前n项的和Sn. 解：当n≥2时， ， ∴ ， ∴ ， 即 ∴数列 是首项为 公差为2的等差数列， ，故 教师点评：（1）n≥2时，an=Sn―Sn―1反映通项与前n项的和的联系； （2）注意 是等差数列利用性质求出Sn. 例6．是否存在常数k和等差数列{an}，使Kan2―1=S2n―Sn+1，其中S2n，Sn+1分别是等差数列{an}的前2n项，前n+1项的和.若存在，试求出常数k和{an}的通项an；若不存在，请说明理由. 解：这是一个探索性问题，一般先假设存在k. 假设存在.设an=pn+q(p,q为常数)，则Kan2―1=kp2n2+2kpqn+kq2―1, 则 故有 由①得p=0或 当p=0时，由②得q=0，而p=q=0不适合③，故p≠0把 代入②，得 把 代入③，又 故存在常数= 及等差数列 满足题意 四、课堂练习 （1）在等差数列{an}中，a3+a7―a10=8,a11―a4=4.记Sn=a1+a2+ ……+an，求S13（156） （2）数列{an}的前n项和是Sn，如果Sn=3+2an(n∈N*)，则这个数列一定是（ ） A．等比数列 B．等差数列 C．除去第一项后是等比数列 D．除去第一项后是等差数列 （A） （3）设等差数列{an}前n项的和为Sn，已知 与 的等比中项为 ， 的等差中项为1，求数列的通项公式. （ ） 五、高考试题 （1）（2000年春季北京、安徽，13）已知等差数列{an}满足a1+a2+…+a101=0，则有（ ） A．a1+a101>0 B．a2+a100<0 C．a3+a99=0 D．a51=51 答案：选 C 分析： （2）（2001年全国理，3）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 答案：选B 分析：∵前三项的和为12，∴a1+a2+a3=12， a1a2a3=48，∵a2=4，∴a1a3=12，a1+a3=8，把a1,a3作为方程的两根且a1