上海交通大学线性代数试卷

上海交通大学线性代数试卷 上 海 交 通 大 学 线 性 代 数(C) 试 卷----A卷 2006-1-4 姓名____ _____ __班级____ ___ ___学号______ ________ 号 一 二 三 四 总分 得分 一、单项选择题(每题3分，共15分) (t,2)1. 向量组可线性示向量组，则 ,，,，？，,,，,，？，,12t12s(A) 当时，向量组必线性相关; ,，,，？，,t,s12t (B) 当时，向量组必线性相关; ,，,，？，,t,s12s (C) 当时，向量组必线性相关; ,，,，？，,t,s12t (D) 当时，向量组必线性相关。 ,，,，？，,t,s12s abb,,,,,A2. 设三阶矩阵A,bab ，已知伴随矩阵的秩为1，则必有 ,, ,,bba,, (A) ; (B) ; a,b且a，2b,0a,b且a，2b,0(C) ; (D) 。 a,b或a，2b,0a,b或a，2b,0 TA,E，,,n,33. 设是维非零实列向量,矩阵,，则___________ ,n (A) 至少有,1个特征值为1; (B) 只有1个特征值为1; AAn n,1(C) 恰有个特征值为1; (D) 没有1个特征值为1。 AA 4. 设A,B为n阶方阵，且r(A),r(B)，则______________ r(A,B),0r(A，B),2r(A)(A) ; (B) ; r(A，B),2r(A)r(A，B),r(A)，r(B)(C) ; (D) 。 ,TA,Aa,0a,a,a,a5. 设满足，若，，则 A,(a)a,111213ij3，3 (A) ; (B) ; 1/33 1/33(C) ; (D) 。 (A卷)第 1 页 共 6 页 二、填空题(每题3分，共15分) A，B,,,11(已知为阶方阵，不是的特征值，且， BAB,A,B,En ,1A,则 。 ,1,1,1,2A，2A,2. 若3阶方阵有特征值 ，则行列式 。 A 2A，2A,Or(A),2B,A，aE3(已知3阶实对称矩阵的秩，且，若矩阵是A 正定矩阵，则常数的取值范围为________________。 a |A|,04. 已知为阶方阵，是的列向量组，行列式，其伴随 A,，,，？，,An12n ,,A,0矩阵，则齐次线性方程组的通解为 。 Ax,0 2A5. 设3阶方阵的特征值为1，2，3，且相似于，则行列式 。 AB|B，E|, 三、计算题(每题9分,共54分) 20x，x，x,,123,b21x，x，ax,1(线性方程组为 ，问,各取何值时，线性方程组无解，a,123 ,324x，x，x,b123, 有唯一解，有无穷多解,在有无穷多解时求出其通解。 (A卷)第 2 页 共 6 页 C(2A,B),AA，B，C2. 设3阶方阵满足方程 ，试求矩阵，其中 A 1231,24,,,,,,,,， 。 B,012C,01,2,,,, ,,,,001001,,,, OA3(计算行列式，其中 |A|，|B|，BO 12？n,1n，x10？00,,,,,,,,12？(n,1)，xn02？00,,,,,,,,A,， B,？？？？？？？？？？,,,,12，x？n,1n00？n,10,,,,,,,,1，x2？n,1n00？0n,,,, (A卷)第 3 页 共 6 页 4. 已知3阶方阵的特征值1，2，3对应的特征向量分别为。 A,，,，,123 n,(1) 将向量用线性表示; (2)求，为自然数。 ,，,，,A,n123 TTTT其中:，，，。 ,,(1，3，9),,(1，1，1),,(1，2，4),,(1，1，3)312 111a,,,,,,,,Ax,,5. 已知，，方程组有无穷多解，试求: ,,1A,1a1,,,, ,,,,,2a11,,,, TQ(1)常数的值; (2) 正交矩阵，使为对角阵。 aQAQ (A卷)第 4 页 共 6 页 122111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3R6. 设的两个基，，;，， ,,,,,,,1,1,2,0,1,1,,,,,,,,,,,,123123 ,,,,,,,,,,,,012001,,,,,,,,,,,, (1) 求由基 ; 的过渡矩阵P,,,,,到,,,,,123123 (2) 已知向量，求向量在基 下的坐标; ,,,，,，,,,,,,,123123(3) 求在基下有相同坐标的所有向量。 ,,,,,和,,,,,123123 四、证明题(每题8分,共16分) AB,O1(设为矩阵，证明:存在非零矩阵，使的充分必要 ABm，nn，s r(A),n条件为秩。 (A卷)第 5 页 共 6 页 f(,),|,E,B|f(A)A，B2. 设是阶矩阵,是的特征多项式。证明: 矩阵可 Bn 逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。 BA (A卷)第 6 页 共 6 页 线性代数(C)(05,06,1)期末试卷(A)参考 一、选择题 1.(B) 2.(B) 3.(C) 4.(D) 5.(A) 125,1a,2二、填空题 1(; 2. ; 3. ; (B,E)(B，E)2n,1 4.是的极大线性无关组; k,，,，i,1，2，？，n,1,，,，？，,,ijj12niii,1 25. |B，E|,100 三、计算题 11201120,,,,,,,,1. A,21a1,014,a,1 ,,,, ,,,,324b002,ab,1,,,, b, 当2时，方程组有唯一解; 当2，1时，方程组无解 a,a, ,b,r(A) 当2，1时，,2 < 3，方程组有无穷多解,其通解为 a,r(A) TTk ，为任意常数。 ,,(1,,1,0)，k(0,,2,1) ,1(2C,E)A,CB2. ， A,(2C,E)(CB) ,11,481031411,,,,,,,,,,,,014010014,,,A ,,,,,, ,,,,,,001001001,,,,,, n(n,1)n(n，1)n,12|B|,n!|A|,(,1)(，x)x3. ， ， 2 n(n,1)2，nOAn(n，1)n,12。 ,(,1)(，x)n!xBO2 4.(1) 。 ,,2,,2,，,123 nnnnn,,,,,,,(2)(22)22,,，,,，AAAAA123123 n，1n,,223,，,, nnnn，1nn,2n，122223223,,,,,,，,,,,,,，,,,，,,112233123,,n，2n，2223,，,, (A卷)第 7 页 共 6 页 r(A),35a,,2((1) 由， 得 。 ,,111,, 263,,300,,,,,21,,T(2) ， Q,0QAQ,0,30,,,,63,,,,000,,,111。,,,,263,, 6. (1) 设 ,, (,,,,,),(,,,,,)PA,(,,,,,)B,(,,,,,)123123123123 010,,,,,1100,, PAB ,, ,,1/201/2,,, T (2) ，坐标 ,,,，,，3,x,(1,1,3)123 (3) 设 ,,(,,,,,)x,(,,,,,)x123123 011,,,, 则 ((,,,,,),(,,,,,))x,101x,0,,123123 ,,011,, TT 解得，故,,,，,,,,k(1,0,,1)。 x,(1,1,,1)123四、证明题 Ax,01(设，则都是线性方程组的解。故 ,,j,1，2，？sB,(,，,，？，,)j12s ,r(A),nAB,O,Ax,0方程组有非零解。 i,1~n2(设是矩阵的特征值，，则 B,i n ， f(,),|,E,B|,,(,,,)ii,1 nn f(A),,(A,,E)于是 ， 行列式 |f(A)|,,|A,,E|iii,1,1i故 都不是的特征值。 Af(A)可逆,|f(A)|,0,|,E,A|,0,,,i,1~nii (A卷)第 8 页 共 6 页