声波方程正演模拟

null声波方程数值模拟 ――地球物理场论 基础Ⅰ期末作业（1） *声波方程数值模拟 ――地球物理场论 基础Ⅰ期末作业（1） 任课教师： 宋鹏 一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟* 一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟内 容 提 纲null*一、地震勘探基本原理＊▽▽▽▽▽xtnull* 同相轴为双曲线，即反射波的时距曲线为双曲线，反射波一个同相轴可带来一个地层的信息。实际地下介质非常复杂，所得到的炮集也包含更多的地下信息。实际的炮集记录见图1-1和1-2。null*图1-1 陆上某区实际地震记录 null*图1-2 海上某区实际地震记录 null* 广义的地震反演即是从地震炮集记录出发，经过复杂的去噪、速度以及偏移成像处理等手段得到反映地下的地质结构的地震剖面。实际的地震剖面见图1-3和1-4。null*图1-3 陆上某区地震剖面null*图1-4 海上某区地震剖面null* 地震波场模拟即地震正演，是指已知模型结构，通过物理或数值计算的方法模拟该地质结构下的地震波的传播，最终合成地震记录，也可以认为其是野外数据采集过程的室内再现。物理模拟花费昂贵，人们一般采用比较经济的数值模拟技术。地震波场数值模拟是在给定数学模型（如弹性波方程，声波方程等）、震源和地下几何界面、物性参数（岩层密度、速度等）情况下，研究弹性波或声波的传播规律。 一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟* 一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟内 容 提 纲null*二、波动方程类型及其局限性1、声波方程： 一阶压力-速度方程组：二阶标量声波方程：null*二、波动方程类型及其局限性 能够描述且只能描述纵波的传播规律，包括直达波、反射波、透射波、折射波等，但不能描述转换波传播规律。 需要的已知条件包括： 1）震源函数 2）地层速度/密度 3）边界条件null*2、弹性波方程：null* 能够描述纵、横波的传播规律，包括直达波、反射波、透射波、折射波以及转换波等。 需要的已知条件包括： 1）震源函数 2）地层速度或根据方程的类型需要提供的地层的其它弹性参数 3）边界条件null*3、粘声波/弹性波方程 前面讨论的是理想弹性介质，波在其中传播时，没有能量的损耗，介质中应力和应变关系严格遵循胡克定律（这种理想介质称虎克固体），但波在实际介质中传播时，是有能量损耗的，这就是所谓的弹性波吸收。波在传播过程中，实际介质的不同部位之间会出现某种摩擦力，称为内摩擦力或粘滞力。这种力导致机械能向其他形式能量转换，最终转化为热能消耗掉。null* 在地震勘探中，地震波传播的实际介质是十分复杂的。在一定条件下，即震源作用时间短，作用力微小，地球介质可以看作完全弹性模型，但随着地震勘探技术的发展，勘探精度要求提高，面临复杂地质目标时，要求地震勘探采用更加符合实际的介质模型进行研究。粘弹性介质模型更符合实际。 但是到目前为止，在地震资料反演处理中应用最多的还是声波方程，弹性波以及粘弹性波方程的应用还只是停留在模拟层次上。 一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟* 一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟内 容 提 纲null*三、数值算法类型及其优缺点 地震波波动方程数值模拟方法主要包括克希霍夫积分法、傅里叶变换法、有限元法和有限差分法等。 克希霍夫积分法引入射线追踪过程，本质上是波动方程积分解的一个数值计算，在某种程度上相当于绕射叠加。该方法计算速度较快，但由于射线追踪中存在着诸如焦散、多重路径等问题，故其一般只能适合于较简单的模型，难以模拟复杂地层的波场信息。 null* 傅里叶变换法是利用空间的全部信息对波场函数进行三角函数插值，能更加精确地模拟地震波的传播规律，同时，利用快速傅里叶变换(FFT)进行计算，还可以提高运算效率，其主要优点是精度高，占用内存小，但缺点是计算速度较慢，对模型的适用性差，尤其是不适应于速度横向变化剧烈的模型。null* 波动方程有限元法的做法是：将变分法用于单元分析，得到单元矩阵，然后将单元矩阵总体求和得到总体矩阵，最后求解总体矩阵得到波动方程的数值解；其主要优点是理论上可适宜于任意地质体形态的模型，保证复杂地层形态模拟的逼真性，达到很高的计算精度，但有限元法的主要问题是占用内存和运算量均较大，不适用于大规模模拟，因此该方法在地震波勘探中尚未得到广泛地应用。null* 相对于上述几种方法，有限差分法是一种更为快速有效的方法。虽然其精度比不上有限元法，但因其具有计算速度快，占用内存较小的优点，在地震学界受到广泛的重视与应用。 一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟* 一、地震勘探基本原理 二、波动方程类型及其 局限性 三、数值算法类型及其局限性 四、声波方程的有限差分法数值模拟内 容 提 纲null*四、声波方程的有限差分法数值模拟 对于二维速度-深度模型，地下介质中地震波的传播规律可以近似地用声波方程描述：是介质在点（x , z）处的纵波速度，为描述速度位或者压力的波场，为震源函数。(4-1)null*空间模型网格化（如图4-1所示）：图4-1 差分网格划分示意图null*网格间隔长度，时间采样步长表示(i,j)点k时刻的波场值 null* 时间二阶、空间二阶差分格式推导如下：将在(i,j)点k时刻用Taylor展式展开：(4-2)(4-3)null* 将上两式相加，略去高阶小量，整理得(i,j)点k时刻的二阶时间微商为：(4-4)null*同理可得(i,j)点k时刻的二阶空间微商分别为：(4-5)(4-6)null* 这就实现了用网个点波场值的差商代替了偏微分方程的微商，将上三个式子代入(4-1)式中得：(4-7) 式中为介质速度的空间离散值 是空间离散步长 为时间采样率 null*同理可得空间四阶精度的差分格式为：null* 同理可得时间二阶、空间四阶精度的声波方程差分格式为：null*为震源函数，一般使用一个理论的雷克型子波代替，即：为时间为中心频率，一般取为20-40HZ 为控制频带宽度的参数，一般取2-5 确定震源位置 null*4.1 稳定性条件 对于特定的偏微分方程只有特定的几种有限差分格式是无条件或有条件稳定的，（4-7）、（4-8）式即是已被证明的有条件稳定格式，其稳定性条件分别为：(4-9) (4-10) null*4.2 频散关系式 同时，在差分计算过程中，如果空间和时间采样间隔不当，就会导致波形畸变，甚至派生出多个同相轴，这种现象称为频散现象。 偏微分方程本身没有频散，网格频散是由于差分方程近似替代微分方程引起的。当波场按照波动方程所表示的微分方程传播时，波场的传播速度就是波动方程中的速度，但当波场按照波动方程离散化后的差分方程传播时，波场的传播速度就不再是波动方程中的速度了，而是与波的频率和波数有关的函数，具有不同频率和波数的波有不同的传播速度，因而在传播过程中会出现频散，发生畸变，且随走时的增加而增加。 null*Dablain给出了一个能有效减少频散的经验为： 为Nyquist频率，一般取为 主频的两倍G为每个波长所占的网格点数，时间、空间为两阶差分的情况G取8，而时间、空间为四阶差分的情况G取4。(4-9) null* 当所给震源函数、空间网格间隔、时间采样间隔以及地下介质的波速满足稳定性条件及频散关系式时，就可以应用(4-7)式递推求得所给的速度—深度模型内任意时刻、任何采样点的波场值，并可最终得到一个人工合成的地震记录。 null**4.3 边界条件 在地震波场正演模拟中，必须引入人工边界来界定计算区域。人工边界若不做特殊处理，就会随着波场的递推计算在边界上产生虚假反射波从而扰乱波场，人工边界的处理是地震波场正演数值模拟的一个重要课题。 本次作业不涉及边界条件的使用，可通过增大模型来避免边界反射干扰，有精力的同学可通过查阅资料获得解决边界问题的方法。 null*本次大作业的具体要求为： 1、应用声波方程作为正演模拟的波动方程； 2、将所提供震源函数离散后绘图； 3、给定两个二维速度-深度模型（一个小模型；一个大模型），绘出图形来； 4、对于小模型，整个区域的速度值可设为常数，即只有一种介质，将震源点放在模型中间，分别记录两个时刻的波前快照（即该时刻区域内所有网格点的波场值）。第一时刻为地震波还未传播到边界上的某时刻，第二时刻为地震波已经传播到边界上的某时刻，体会其人工边界反射； null*5、对于大模型，定义为水平层状速度模型（至少两层）；做两个实验，一是将震源点放在区域表层任一点，记录下某些时刻的波前快照，体会地震波在两种介质的分界面上传播规律；二是合成一个地震记录，即记录下与震源同一深度点的各点所有时刻的波场值，并指出记录上的同向轴分别对应哪些波？6、要附有实验报告，格式不固定，内容主要涉及实验分析、对 波动方程描述地震波传播规律的认识以及通过实验所发 现的 问题等等。 null*无扰动的波场null*中心扰动产生的的波场null*中心扰动产生的的波场null*中心扰动产生的的波场null*三层速度模型合成的地震记录