高中数学必修2知识点归纳

必修2知识点归纳 第一章 空间几何体 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、 空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 （1）定义： 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系 （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系 ，使 =450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半； 一般地，原图的面积是其直观图面积的 倍，即 4、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； ⑵圆锥侧面积： ⑶圆台侧面积： ⑷体积公式： ； ； ⑸球的表面积和体积： .一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。 第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理1的作用：判断直线是否在平面内 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面 推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面 若 ，则点A和 确定平面 推论2：过两条相交直线有且只有一个平面 若 ，则 确定平面 推论3：过两条平行直线有且只有一个平面 若 ，则 确定平面 公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）点共线、线共点等。 4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行. 公理4作用：证明两直线平行。 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 （1）没有任何公共点的两条直线平行 （2）有一个公共点的两条直线相交 （3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 7、线面位置关系： （1）直线在平面内，直线与平面有无数个公共点； （2）直线和平面平行，直线与平面无任何公共点； （3）直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点； 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点） ⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 （只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以） 证明两直线平行的主要方法是： ①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半； ②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行； ③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行； ④平行线的传递性： ⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行； ⑥垂直于同一平面的两直线平行； ⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的③） 10、面面平行：（即两平面无任何公共点） （1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行 （2）两平面平行的性质： 性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行； 性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行； 性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等； 性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行； 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。 性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 （只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直） ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 证明两直线垂直和主要方法： ①利用勾股定理证明两相交直线垂直； ②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； ③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）； ④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”） ④利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。 空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面 的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面 上射影， 为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角 ，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 （求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”） 4. 异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的 公垂线段的长度。如图 是两异面直线间的距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的 射影的连线段的长度。 如图：O为P在平面 上的射影， 线段OP的长度为点P到平面 的距离 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥 中有： 第三章 直线与方程 1.直线方程的概念：一条直线 与一个二元一次方程 有如下两个对应： ①直线 上任意一点的坐标 都满足方程 ； ②以方程 的解为坐标的点 都在直线 上。 则称方程 为直线 的方程，直线 为方程的直线。 2.直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与 轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。 3.直线倾斜角的范围： ，当直线与 轴平行或者是重合时，倾斜角为 4.直线斜率的定义：倾斜角不为 直线，倾斜角的正切值叫直线的斜率。 记作 当倾斜角为 时直线的斜率不存在。 5、直线 过点 ，则直线的斜率为： 6、直线方程的表示形式： ⑴点斜式： ， 当斜率不存在时，直线与 轴垂直，倾斜角为 ， 此时直线方程为： ，如右图，特别地 轴所在 直线方程为 。 当直线斜率 时，直线与 轴平行或者是重合 直线方程为： ， 轴所在的直线方程为 。 ⑵斜截式： （ 为直线在 轴上的截距） 当直线过 轴上一定点 时，通常设直线方程为： ，例如直线 过定点 ，设 。 当直线过 轴上一定点（ ）时，，通常设直线方程为： ，例如直线 过定点 ，设 ⑶两点式： ⑷截距式： ， 一般地，问题中出现两个截距时，通常设直线方程为 。 方程中 分别表示直线的横截距和纵截距， 一般地，在直线方程中，令 可求得横截距 ，令 可求得纵截距 ⑸一般式： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，所有直线方程都可化为一般式。 当 ，直线的斜率 ，当 时，直线斜率不存在，方程可化为 7、 两直线的位置关系的判定： 当两直线倾斜角相等时，即 时，两直线平行； 当两直线倾斜角满足 时，两直线垂直； 当两直线倾斜角不相当时，两直线相交。 对于直线 有： ⑴ ；⑵ 和 相交 ； ⑶ 和 重合 ；⑷ . 对于直线 有： ⑴ ；（2） 和 相交 ； ⑶ 和 重合 ；⑷ . 8、交点与距离公式 （1）两直线 的交点坐标需将两直线方程组成方程组求解，即： EMBED Equation.3 ① 当①有唯一解时，两直线相交；当①无解时，两直线平行；当①有无数个解时，两直线重合。 （2）过两直线 交点的直线系方程为： 将含有一个参数的直线方程化为直线系方程 的样式就可解决直线恒过定点问题。 （3）两点间距离公式： （4）点 到直线 距离公式： （5）两平行线间的距离公式：对于直线 ， 与 间的距离为： （6）线段中点坐标公式： ， ， 是线段AB的中点。 第四章 圆与方程 1、圆的第一定义：到定点的距离等于定长的点的集合. 圆的第二定义：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合。 2、 圆的标准方程： ，圆心为 ，半径为 。 3、圆的一般方程： 。 圆心为 ，半径 。 当 时，方程 表示点 当 时，方程 不表示任何图形。 4、点 与圆 的位置关系的判定： （1）当 满足 时点P在圆上； （2）当 满足 时点P在圆内； （3）当 满足 时点P在圆外； 5、求圆方程的方法，主要有两种： （1）待定系数法：使用待定系数法求圆方程的一般步骤： ①根据提设，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。 （2）利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标； ①三角形外心的定义 ：三角形三边垂直平分线的交点就是外心； ②垂径定理：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧； ③弦的垂直平分线必经过圆心，因此求出两条弦的垂直平分线方程，联立解方程组求 得圆心坐标，而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，最终写出圆的标准方程。 6、直线与圆的位置关系的判定： 几何法（1）相切：圆心到直线的距离 ＝ ； （2）相交：圆心到直线的距离 ； （3）相离：圆心到直线的距离 。 代数法：将直线方程与圆的方程联立组成方程组 ① （1）若方程①有唯一一个解，直与圆相切； （2）若方程①有唯两个不等实数个解，直线与圆相交； （3））若方程①有无解，直线与圆相离。 特别地，当直线 与圆 相离时， 为圆上 的动点， 为点 到直线 的距离，设 为圆心到直线 的距离，则 注意解决直线与圆位置关系问题时，经常需要设定直线方程，设直线方程的技巧： ①若直线 过轴上的定点 则可设直线 ②若直线过定点为 ,则一般设直线 ；③若直线过点 ，则设直线 。 7、两圆位置关系的判定：设圆心距 几何法⑴相离： ； ⑵外切： ； ⑶相交： ⑷内切： ； ⑸内含： . 代数法;将两圆的方程组成方程组 （1）若方程有一个解，两圆相切（内切或外切）； （2）若方程有两个不同解，两圆相交； （3）若方程有无解，两圆外离或内含 特别地，方程 表示过两圆交点的圆系方程。 在这个方程组中 用①－②消去平方项后得一个直线方程，该直线方程过两圆的交点，因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方程。 若圆心 到公共弦的距离等于半径 ，或者是圆心 到公共弦的距离等于半径 ，则两圆相切（外切或者内切）； 若圆心 到公共弦的距离等于小于 ，或者是圆心 到公共弦的距离小于半径 ，则两圆相交； 8、坐标法是解决几何问题的重要方法，其步骤是： 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 9、 空间直角坐标系 确定空间直角坐标系中点的坐标的知识要点: 1.空间直角坐标系：从空间某一个定点 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系 ，点 叫做坐标原点， 轴、 轴、 轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 平面、 平面、 平面. 请注意：在写空间中点的坐标遇到困难时，通常先写出该点在 平面上的射影点的的坐标，然后加上相应的竖坐标即可。 2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，若中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴 轴、 轴、 轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标. 4.坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点： 轴上的点的坐标的特点： ，纵坐标和竖坐标都为零． 轴上的点的坐标的特点： ，横坐标和竖坐标都为零． 轴上的点的坐标的特点： ，横坐标和纵坐标都为零． 坐标平面内的点的特点： ），竖坐标为零． 坐标平面内的点的特点： ，纵坐标为零． 坐标平面内的点的特点： ，横坐标为零． 6、空间中两点间距离公式： � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � EMBED Equation.DSMT4 ��� � � � EMBED Equation.DSMT4 ��� �� � EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� ��� � � �� �� �� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � 如图：边长为2的正方体各顶点坐标分别为： � EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ���� EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ��� � � � - 3 - - 1 - _1234567956.unknown _1234568020.unknown _1234568052.unknown _1234568084.unknown _1234568100.unknown _1234568124.unknown _1234568132.unknown _1234568136.unknown _1234568140.unknown _1234568142.unknown _1234568144.unknown _1234568145.unknown _1234568146.unknown _1234568143.unknown _1234568141.unknown _1234568138.unknown _1234568139.unknown _1234568137.unknown _1234568134.unknown _1234568135.unknown _1234568133.unknown _1234568128.unknown _1234568130.unknown _1234568131.unknown _1234568129.unknown _1234568126.unknown _1234568127.unknown _1234568125.unknown _1234568116.unknown _1234568120.unknown _1234568122.unknown _1234568123.unknown _1234568121.unknown _1234568118.unknown _1234568119.unknown _1234568117.unknown _1234568104.unknown _1234568108.unknown _1234568110.unknown _1234568112.unknown _1234568114.unknown _1234568115.unknown _1234568113.unknown _1234568111.unknown _1234568109.unknown _1234568106.unknown _1234568107.unknown _1234568105.unknown _1234568102.unknown _1234568103.unknown _1234568101.unknown _1234568092.unknown _1234568096.unknown _1234568098.unknown _1234568099.unknown _1234568097.unknown _1234568094.unknown _1234568095.unknown _1234568093.unknown _1234568088.unknown _1234568090.unknown _1234568091.unknown _1234568089.unknown _1234568086.unknown _1234568087.unknown _1234568085.unknown _1234568068.unknown _1234568076.unknown _1234568080.unknown _1234568082.unknown _1234568083.unknown _1234568081.unknown _1234568078.unknown _1234568079.unknown _1234568077.unknown _1234568072.unknown _1234568074.unknown _1234568075.unknown _1234568073.unknown _1234568070.unknown _1234568071.unknown _1234568069.unknown _1234568060.unknown _1234568064.unknown _1234568066.unknown _1234568067.unknown _1234568065.unknown _1234568062.unknown _1234568063.unknown _1234568061.unknown _1234568056.unknown _1234568058.unknown _1234568059.unknown _1234568057.unknown _1234568054.unknown _1234568055.unknown _1234568053.unknown _1234568036.unknown _1234568044.unknown _1234568048.unknown _1234568050.unknown _1234568051.unknown _1234568049.unknown _1234568046.unknown _1234568047.unknown _1234568045.unknown _1234568040.unknown _1234568042.unknown _1234568043.unknown _1234568041.unknown _1234568038.unknown _1234568039.unknown _1234568037.unknown _1234568028.unknown _1234568032.unknown _1234568034.unknown _1234568035.unknown _1234568033.unknown _1234568030.unknown _1234568031.unknown _1234568029.unknown _1234568024.unknown _1234568026.unknown _1234568027.unknown _1234568025.unknown _1234568022.unknown _1234568023.unknown _1234568021.unknown _1234567988.unknown _1234568004.unknown _1234568012.unknown _1234568016.unknown _1234568018.unknown _1234568019.unknown _1234568017.unknown _1234568014.unknown _1234568015.unknown _1234568013.unknown _1234568008.unknown _1234568010.unknown _1234568011.unknown _1234568009.unknown _1234568006.unknown _1234568007.unknown _1234568005.unknown _1234567996.unknown _1234568000.unknown _1234568002.unknown _1234568003.unknown _1234568001.unknown _1234567998.unknown _1234567999.unknown _1234567997.unknown _1234567992.unknown _1234567994.unknown _1234567995.unknown _1234567993.unknown _1234567990.unknown _1234567991.unknown _1234567989.unknown _1234567972.unknown _1234567980.unknown _1234567984.unknown _1234567986.unknown _1234567987.unknown _1234567985.unknown _1234567982.unknown _1234567983.unknown _1234567981.unknown _1234567976.unknown _1234567978.unknown _1234567979.unknown _1234567977.unknown _1234567974.unknown _1234567975.unknown _1234567973.unknown _1234567964.unknown _1234567968.unknown _1234567970.unknown _1234567971.unknown _1234567969.unknown _1234567966.unknown _1234567967.unknown _1234567965.unknown _1234567960.unknown _1234567962.unknown _1234567963.unknown _1234567961.unknown _1234567958.unknown _1234567959.unknown _1234567957.unknown _1234567921.unknown _1234567939.unknown _1234567948.unknown _1234567952.unknown _1234567954.unknown _1234567955.unknown _1234567953.unknown _1234567950.unknown _1234567951.unknown _1234567949.unknown _1234567944.unknown _1234567946.unknown _1234567947.unknown _1234567945.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567942.unknown _1234567940.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567937.unknown _1234567938.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown 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