外心、重心、垂心

8．外心、重心、垂心：O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心，则 证明 按重心定理 G是△ABC的重心 EMBED Equation.DSMT4 按垂心定理 ，由此可得 . 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”； (2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。 【例1】 在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。 【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有： 由设可设 , ， 即 ，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2 二．练习 1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足 = EQ \f(1,3)(+ +2 ),则点P一定为三角形ABC的( B) A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB边的中点 分析：取AB边的中点M，则 ， 由 = EQ \f(1,3)(+ +2 )可得3 ， ∴ ，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。 2．在同一个平面上有 及一点Ｏ满足关系式： 2+ 2= 2+ 2＝ 2＋ 2，则Ｏ为△ABC的( D ) A.外心 B.内心 C．重心 D．垂心 3．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足： ，则P为△ABC的( C ) A.外心 B. 内心 C．重心 D．垂心 4．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足： ，则P的轨迹一定通过△ABC的(C ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D．垂心 5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足： ，则P点为三角形的 ( D ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 6．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足： ，则P点为三角形的(B  ) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 7．在三角形ABC中，动点P满足： ，则P点一定通过△ABC的(A) A.外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 8.非零向量 与 满足( + )· =0且 · = ,则△ABC为(D) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D．等边三角形 解析：非零向量与满足( )· =0，即角A的平分线垂直于BC， ∴AB=AC，又 EMBED Equation.DSMT4 = ，∠A= ，所以△ABC为等边三角形. 9.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则实数m= 1 10.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是△ABC的(D) (A)三个内角的角平分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高的交点 11.如图1，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且 ， ，则 。 证 点G是△ABC的重心，知 ，得 ，有 。 又M，N，G三点共线(A不在直线MN上)， 于是存在λ，μ，使得 ， 有 = ，得 ，于是得 。 G H Q D A y C(x2,y2) F E B(x1,0) x A B C M N G 图1 _1259690079.unknown _1259690146.unknown _1259691182.unknown _1259691341.unknown _1259691425.unknown _1260629394.unknown _1260629429.unknown _1399442960.unknown _1260629411.unknown _1259691479.unknown _1259691542.unknown _1259748447.unknown _1259691537.unknown _1259691436.unknown _1259691369.unknown _1259691389.unknown _1259691356.unknown _1259691233.unknown _1259691310.unknown _1259691224.unknown _1259690183.unknown _1259691139.unknown _1259691148.unknown _1259690184.unknown _1259690157.unknown _1259690164.unknown _1259690169.unknown _1259690171.unknown _1259690166.unknown _1259690162.unknown _1259690153.unknown _1259690155.unknown _1259690148.unknown _1259690120.unknown _1259690130.unknown _1259690136.unknown _1259690143.unknown _1259690134.unknown _1259690125.unknown _1259690127.unknown _1259690122.unknown _1259690088.unknown _1259690113.unknown _1259690118.unknown _1259690090.unknown _1259690083.unknown _1259690086.unknown _1259690081.unknown _1259690052.unknown _1259690065.unknown _1259690070.unknown _1259690072.unknown _1259690067.unknown _1259690056.unknown _1259690063.unknown _1259690054.unknown _1259690013.unknown _1259690047.unknown _1259690049.unknown _1259690022.unknown _1259690045.unknown _1259690027.unknown _1259690015.unknown _1259690009.unknown _1259690011.unknown _1259690006.unknown _1237267057.unknown