正交异性双材料反平面界面端应力场分析

正交异性双反平面界面端应力场 () 文章编号 :100020887 20090921078207 Ζ 应用数学和力学编委会 , ISSN 100020887 Ξ 正交异性双材料反平面界面端应力场分析 李俊林 , 王小丽 ()太原科技大学 应用科学学院 ,太原 030024 ()郭兴明推荐 摘要 : 研究了正交异性双材料反平面平板搭接界面端问题 1 采用复合材料断裂复变方法 ,构造 了特殊应力函数 ,通过求解一类广义重调和方程组的边值问题 ,推导出平板搭接界面端的应力场 、 位移场及应力强度因子的达式 . 结果显示 :反平面搭接界面端只有一个奇异性 ,上下材料常数比 Γ Γ > 0 时 ,应力场具有幂次奇异性 ,且随着 增长 ,奇异指数趋于 - 1/ 2 ,并利用有限元算例分析验 证 了理论结果的正确性 1 : O346 文献标识码 : A 中图分类号 关 键 词 : 正交异性 ; 反平面 ; 平板搭接 ; 界面端 ; 应力场 ; 有限元DOI : 10. 3879/ j . issn. 100020887. 2009. 09. 009 引 言 文献 1 采用 Mellin 变换法研究了各向同性双材料界面端问题 ,得出界面端的应力场具有 奇异性 1 文献 2 应用 Goursat 复变应力函数法 ,对具有任意几何结合形状的界面端的应力和 位移场进行推导 ,得到均匀材料平板搭接界面端有两个特征值 ,并且当材料 1 的弹性模量远远 大于材料 2 时 ,还会出现振荡应力奇异性 . 研究发现界面端奇异性远比界面裂纹情况复杂 1 文 献 3 运用复合材料断裂复变方法 ,通过构造特殊应力函数 ,推出了正交异性复合材料 ?型界 面裂纹尖端附近应力场 、位移场的理论解 ,其应力场没有振荡奇异性 1 文献 4 对各向同性双 材料反平面问题界面端奇异应力场进行了分析 ,利用位移函数的级数展开 ,得出了一些重要结 论 1 本文主要利用复合材料断裂复变方法 ,构造新的应力函数 ,讨论了正交异性双材料反平面 平板搭接界面端问题 ,得到平板搭接界面端的应力场 、位移场及应力强度因子的解析表达式 , 并利用有限元计算比较 ,验证理论的正确性 1 1 力 学 模 型 如图 1 所示 , x > 0 , y = 0 为材料粘接界面 1 y > 0 部分为第 1 种正交异性复合材料 , 其 ( ) ( ) 材料工程常数为 G, G, 而 y < 0 为 第 2 种 正 交 异 性 复 合 材 料 , 其 材 料 工 程 常 数 为 231 311 ( ) ( ) G, G1 232 312 Ξ 收稿日期 : 2009204210 ; 修订日期 : 2009207218 () 基金项目 : 山西省自然科学基金资助项目 2007011008 () ( 作者简介 : 李俊林 1963 —,男 ,山西芮城人 ,教授 ,博士 联系人 . Tel : + 86235126998309 ; E2mail : lijun2 ) lin9726 @yahoo . com. cn. 1078 由弹性力学可知 ,控制方程为 2 2 5w5w jj( ) ) ( = 0 Q+ Q 55j 44j225 x 5 y ()( ) 1 j = 1 , 2, ( ) 其中 wj = 1 , 2是位移函数 ,边界条件为 j θ = 0 : ()2 (τ) (τ) = , w= w, θz 1θz 2 1 2 π() θ(τ) 3 = 0 , = / 2 : θ1z 1 ()θ(τ) π4 = - : = 0 1 θ1z 2 5由弹性力学可知 ,其相应的应力分量为 5 w j ()(τ) 5 ( ) = Q ,rz j55j 1 正交异性双材料界面端模型 图 5 r 5 w j(τ) ()( ) 6 = Q; θz j44j θr5 位移分量为 ( )) ( u= v= 0 , w= wx , y j = 1 , 2, j j j j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θr 和为从裂纹边缘起度量的极坐标 , 常数 Q= G, Q= G, G, G为 44j 23j 55j 31j 23j 31j 剪切模量 1 2 应 力 函 数 ( )将 wx + sy ( ) ( ) 假设位移为 w= wx + sy, wx + sy对固定的 j 是任一复变函数 1 j j j j j j j () 带入控制方程 1,得到特征方程 2 ( ) ()( ) ( j = 1 , 21 7 Qs+ Q ) = 0 44j j 55 j () 方程 7有一对共轭虚根 ,取其虚部大于 0 的根如下 : ( ) Q 55jβ ( j = 1 , 2 1 ()s= i= i ) 8 j j ( )Q 44j () 由方程 1选取特殊应力函数如下 : λλλ λ+1+1+1+1 z1 + z z - z j jj j) ()( ( θ)j = 1 , 21 9 = wr , a+ b j j j λ + 12 2i 其中 ( θ θ)z = x + sy = r co s+ ssin jj j ( ) ()j = 1 , 21 10 ( θ θ)z = x + s y = r co s+ ssin jj j () ( θ) () () () () () 91,91056式 给出的 wr ,满足偏微分方程 将式 、分别代入式 、可得 j 5 w j(τ) ) ( = = Q rz j 55j5 r λ+1 λ+1 ( θ θ) ( θ θ) co s+ ssin+ co s+ ssin j j λ( ) Qr a + 55j j 2 λ+1 λ+1 ( θ θ) ( θ θ) co s+ ssin- co s+ s sin j j ()11 , b j2i 5 w j(τ) ( ) = Q= θ44j z jθ r5λ λ ( θ θ) ( θ θ) ( ) co s+ ssin- sin+ sco s+ Qr 44j j j 正交异性双材料反平面界面端应力场分析 1080 λ( θ θ) ( θ θ)co s+ s sin- sin+ sco s a / 2 + j jj λ ( θ θ) ( θ θ) co s+ ssin- sin+ sco s- j j λ ( θ θ) ( θ θ)( ) ()co s+ s sin- sin+ sco s b/ 2i j = 1 , 21 12 j jj φ i j () () ( θ βθ) θ βθ ρ注意到式 8及式 10有 z= r co s+ isin, 记 co s+ isin= e, j j j j 其中 22 2( ) ρθ βθφ βθj = 1 , 21 = co s+ sin, tan= tan j j j j () () ( ) 将式 11、12分别带入边界条件 ,可得一组关于 a, a, b, b的四阶齐次线性方程组 : 1 2 1 2 a- a= 0 , 1 2 ) β( ( ) βQb-= 0 , Qb 4422 24411 1 () 13 π π λλco s a ? + sin b ? = 0 ,1 1 2 2 πλπλsina?+ co sb?= 0 1 2 2 为使该齐次线性方程组有一组非零解 ,其系数行列式必须为 0 1 πλ πλ 2 (Γ) ()Γ 14 - = 0 , co s 2 1 + sin2 2 其中 β( ) Q 1 441Γ = 1 β ( ) Q2 44 2 (πλ) λ λ若 co s / 2= 0 , 则 = ?1 , ?3 , ?, 因与复合材料工程常数无关 , 舍去此 1 Γ 当 > 0 时 ,有 πλ 2 Γ ( Γ) () 2 1 + sin-15 = 0 ,2 可得 Γ 2 ()( ) λ 16 k = 0 , ?1 , ?2 , ?1 = 4 k ? arcsinπ (Γ ) 2 + 1 λ( ) 考虑到界面端 , 在 - 1 ,0范围内 ,有 Γ 2 λ ()= - arcsin17 , (Γ )π 2 + 1 即正交异性双材料反平面平板搭接界面端应力存 在唯一幂次奇异性 1 () λ由式 17可以看出 , 随材料参数的不同而 λΓ变化 1 图 2 给出了特征值随材料参数比变化 的 Γ 关系图 1 从图 2 可以看出 , 随着材料参数比 的 增大 ,应力奇异指数趋于 - 1/ 2 1 () () 由式 13、15可得 πλ 1 2 - 1 cscb= b 1 2 λΓ 图 2 随的变换图 2 2 ()18 (πλ) a= a= - cot b 1 2 2 ( ) b为自由变量1 2 3 应力场和位移场 () () () 由式 11、12、18,正交异性双材料反平面平板搭接界面端应力场为 λ+1 λ+1 5 w( θ θ) ( θ θ) co s+ ssin+ co s+ ssin 11 1 λ (τ) ( ) ) ( = Q= Qr rz 1551551 a+ 1 5 r 2 λ+1 λ+1 ( θ θ) ( θ θ) co s+ ssin- co s+ s sin 1 1 = b 12i λ+1 λ( ) ρφ(λ ) φ(λ ) Qr[ co s+ 1a?+ sin+ 1b?] = 5511 1 λ+1 λ ( ) ρφ(λ ) (πλ) Qr- co s+ 1cot + 551 πλ 1 2 ()φ(λ )19 b , csc- 1sin+ 12 2 2 5 w 2(τ) ( ) =Q = rz 2 5525 r λ+1 λ+1 ( θ θ) ( θ θ) co s+ s sin+ co s+ s sin 2 2 λ( ) Qr 552 a + 2 2 λ+1 λ+1( θ θ) ( θ θ) co s+ ssin- co s+ s sin 1 1 = b 22i λλ+1 ( ) ρφ(λ ) φ(λ ) Qr[ co s+ 1a?+ sin+ 1b?] = 5522 2 λ+1 λ ()( ) ρφ(λ ) (πλ) φ(λ ) 20 Qr- co s+ 1cot + sin+ 1b, 5522 5 w1λλ θ θ)( θ θ) ( (τ) ( ) - sin+ s co s( ) + co s + ssin = Qr θQ=1 1 z 1441 441 θ r5λθ θ)( θ θ) ( sin+ s co s co s+ s sin- a / 2 + 1 11 λ ( θ θ) ( θ θ) co s+ ssin- sin+ sco s- 1 1 λ( θ θ) ( θ θ)co s+ s sin- sin+ s co s b / 2i =1 11 λλθφλ βθφλ( ) ρ[ - sinco s- co ssin] a+ Qr 11 441 βθφλ θφλ[co sco s- sinsin] b = 11 λλθφλ βθφλ(πλ) ( ) ρ[ sinco s+ co ssin]cot +Qr 1441 1 πλ 2 ()βθφλ θφλ21 csc- 1 [co sco s- sinsin] b, 12 2 2 5 w2λλ θ θ)( θ θ) ( (τ) - ( ) co s + ssinsin+ s co s( ) = + = Qr θQ2 z 22 442 442 θ r5λθ θ)( θ θ) ( sin+ s co s co s+ s sin- a / 2 + 2 22 λ ( θ θ) ( θ θ) co s+ ssin- sin+ sco s- 2 2 λ( θ θ) ( θ θ)co s+ s sin- sin+ s co s b / 2i = 2 22 λλθφλ βθφλ[ - sinco s- co ssin] a+ ( ) ρQr 22 442 βθφλ θφλ[co sco s- sinsin] b = 22 λλθφλ βθφλ(πλ) [ sinco s+ co ssin]cot + ( ) ρQr 2442 βθφλ θφλ()[co sco s- sinsin] 22 b1 22 位移场为 正交异性双材料反平面界面端应力场分析 1082 λ+1 ( ρ) r ( θ) (λ ) φ(λ ) φwr ,=[ co s + 1?a+ sin + 1b?] = 1 1 1 λ + 1 λ+1πλ( ρ) 1 r 2 (λ ) φ(πλ) (λ )() φ 1 23 - co s + 1cot + sin + 1csc- b, 2 λ 2 2 + 1 λ+1 ( ρ) r ( θ) (λ ) φ(λ ) φwr ,= [ co s + 1?a+ sin + 1b?] 2 = 2 2 λ + 1 λ+1 ( ρ) r (λ ) φ(πλ) (λ ) φ()[ - co s + 1cot + sin + 1] b1 24 2 λ + 1 4 应力强度因子的计算 定义 λλ- - ()( π) (τ)| β ( ( π) 25 ) K = lim 2r = Q 2b , θθ z j = 0 2 44 2 2 ? r ?0 则 λλ+1( ) (π ρ)K Q2r ?551 (τ) (λ ) φ(πλ) = - co s + 1cot +rz 1 β ( ) Q 2 442 πλ 1 2 (λ )φ csc() 26 sin + 1- 1 , 2 2 λλ +1 ()(τ) βρ ( π) (λ ) φ(λπ) (λ ) φ27 = K 2r[ - co s + 1cot + sin + 1, rz 2 ?2 λ( ) (πρ) K Q2r ?441 θ(φλ) βθ(φλ) (πλ)(τ) [ sinco s + co ssin ]cot + θ1= z 1) β ( Q 2 442 πλ 1 2 βθ(λφ) θ(φλ) csc()[co sco s - sinsin ] 28 - 1 , 12 2 λ(πρ) K 2r ?(τ) θ(φλ) βθ(φλ) (πλ)[ sinco s + co ssin ]cot + = θz 22β 2 βθ(λφ) θ(φλ) [co sco s - sinsin ] ()29 , 2 λλ+1(π) ( ρ) K 2r ?(λ ) φ(πλ)( θ) wr ,=- co s + 1cot + 1 ) (λ )β ( + 1Q2 44 2 πλ 1 2 (λ )() cscφ 30 - 1 sin + 1, 2 2 λλ+1 (π) ( ρ) K 2r ?()(λ ) φ(πλ)( θ) (λ ) φ31 wr ,=+ sin + 1] 1 [ - co s + 1cot 2 (λ )β ( ) + 1Q2 44 2 5 有限元算例 上述过程推导了正交异性双材料反平面搭接问题的界面端的应力场理论 1 为验 证该组理论公式计算的正确性和精度 ,这里同有限元的结果进行比较 1 比较用的算例模型见 6图 3 1 材料 1 的弹性常数 为 μμE= 9 . 5 GPa , = 9. 5 GPa , = 0. 263 , = 0. 263 , E= 150 GPa , E 22 12 23 1133 μ= 3. 5 GPa , = 3 . 5 GPa , = 3. 5 GPa 1 = 0 . 016 7 , GGG 31 12 2331材料 2 的弹性常数为 μμE= 135 GPa , E= 10 . 3 GPa , E= 10 . 3 GPa , = 0. 21 , = 0 . 21 , 11223312 23 = 0 . 11 , = 6 . 6 GPa , = 2 . 6 GPa , = 6. 6 GPa 1 μGGG 12233131 用有限元软件 ANSYS 中的 Shell93 号单元 ,进行界面端应力分析 ,网格见图 4 1 图 3 力学模型 图 4 裂纹尖端网格 θ τ进行理论求解和有限元分析 ,表 1 、表 2 分别给出了反平面搭接界面端 = 0 方向应力 rz的比较结果 1 从结果来看 ,理论解和有限元解结果接近 1 (τ) 材料 1 中 理论值与有限元结果的比较 表 1 rz 1 (τ) (τ) 理论解 / MPa 有限元解 / MPa r/ mm ( )相对误差 e/ % rz1 rz1 0. 3 - 2 . 72 - 3 . 02 10 . 6 0. 4 - 2 . 49 - 2 . 62 5. 2 0. 5 - 2 . 32 - 2 . 31 0. 4 0. 6 - 2 . 19 - 2 . 06 5. 9 (τ) 材料 2 中 理论值与有限元结果的比较 表 2 rz 2 (τ) (τ) r/ mm 理论解 / MPa 有限元解 / MPa ( ) 相对误差 e/ % rz2 rz2 0. 4 - 4 . 70 - 4 . 98 6. 0 0. 5 - 4 . 37 - 4 . 38 0. 2 0. 6 - 4 . 13 - 3 . 91 5. 3 0. 7 - 3 . 93 - 3 . 51 10 . 7 6 结 论 本文采用建立在 z平面上的复变函数方法 ,研究了正交异性双材料反平面平板搭接界面 j 端问题 ,通过建立新的应力函数 ,问题最终归结为求解一组四阶齐次线性方程组的边值问题 , 给出了正交异性双材料反平面平板搭接界面端应力场 、位移场以及应力强度因子的解析表达 Γ 式 1 结果显示 :反平面搭接界面端只有一个奇异性 ,上下材料常数比 > 0 时 ,应力场具有幂 Γ 次奇异性 ,且随着 增长 ,奇异指数趋于 - 1/ 2 1 通过有限元算例比较 ,与理论值结果比较接 近 1 正交异性双材料反平面界面端应力场分析 1084 [ 参 考 文 献 ] [ 1 ] B ogy D B . Tw o e dge bonde d elas tic w e dges of diff e re nt mat e rials a nd w e dge a ngles unde r s urf ace () t racti ons J . J Appl Mech , 1971 , 38 7:3772386. 2 ] [ 许金泉. 界面力学 M . 北京 :科学出版社 , 2006. [ 3 ] ( ) 李俊林 , 张少琴 , 杨维阳 . 正交异性双材料界面裂纹尖端应力场 J . 应用数学和力学 , 2008 , 29 8: 9472953. [ 4 ] 郑百林 , 戴瑛 , 嵇醒 , 等 . 双材料反平面问题界面端奇异应力场分析 J . 应用力学学报 , 1992 , 16 () 4:21226. [ 5 ] 杨维阳 , 李俊林 , 张雪霞 . 复合材料断裂复变方法 M . 北京 :科学出版社 , 2005. [ 6 ] 邵小军 , 岳珠峰 , 李立州 , 等 . 复合材料中厚层合板在轴压位移和剪切作用下的稳定性研究 J . 机 () 械强度 , 2006 , 28 5:7162720. S t r e s s Fi e l d A n a l ys i s o n A n t i2Pl a n e O r t h o t r op i c B i2M a t e r i a l s of I n t e rf a c e E n d LI J u n2li n , WAN G Xia o2li ( School of Appli ed Sci e nce , Ta i y u a n U n i ve rs i t y of Sci e nce a n d Tech n ology , )Ta i y u a n 030024 , P. R. Chi n a A bs t r a c t : Ort hot r opic bi2mat e rials a nti2pla ne i nt e rf ace e nd of flat lap w as s t udie d by c ons t r ucti ng new s t res s f uncti on a nd usi ng c omp osit e c omple x f uncti on met hod of mat e rial f ract ure . The e xp res si on of s t res s fiel ds , displace me nts fiel ds a nd s t res s i nt e nsit y f act or a r ound flat lap i nt e rf ace e nd , a re de rive d by s olvi ng a clas s of ge ne ralize d bi2ha r monic equati ons . The res ult s hows : t his t yp e of p r oble ms has Γ one si ngula rit y , t he s t res s fiel ds has no si ngula rit y w he n t w o mat e rials c ons t a nt rati o > 0 , t he s t res s Γ fiel d has p ow e r si ngula rit y , a nd si ngula rit y i nde x t re nds t o - 1/ 2 as i nc reas es . F EM a nalysis w as done t o ve rif y c orrecti on of t he de rive d equati on . Ke y w o r ds : ort hot r opic ; a nti2pla ne ; flat lap ; i nt e rf ace e nd ; s t res s fiel ds ; F EM