中考压轴题:由比例线段产生的函数关系问题1
例 2008年上海市长宁区中考模拟第25题
如图1,在?ABC中,?C,90?,点O为AB的中点,以O为坐标原点,x轴与AC平行,y轴与CB平行,建立直角坐标系,AC与y轴交于点M,BC与x轴交于点N( 将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O处,绕点O旋转三角尺,三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q (
(1)证明:?OMP??ONQ(
(2)若?A,60?,AB,4,设点P的横坐标为x, PQ的
L,当点P在边AC上运动时,求L与x的函数关系式及定长为
义域(
3(3)若?A,60?,AB,4,当?PQC的面积为时,试2
求CP的长(
图1 动感体验
请打开文件名“08长宁25”(拖动点P在从A向C慢慢运动,观察L随x象可以变化的图P
M,L;在P从M到C,L( 体验到,在P从A到的过程中越来越小的过程中越来越大
拖动点P运动,可以体验到,?POQ的大小虽然在变,但是形状不变(
拖动点P在射线CA上运动, 观察面积PQC的度量值, 可以体验到,有三个时刻,
3?PQC的面积为( 2
思路点拨
1(证明?OMP??ONQ可以得到丰富的结论,例如?POQ的三边比为2?1?,3
x等,这些结论在第(2)、(3)题中都会用到( NQ,3
2(用勾股定理可以写出O关于Px的关系式,再用?POQ的三边比可以求出PQ关于x的
( 关系式
3(用含有x的式子
示线段CQ的长是本题的难点和关键,不仅要分类讨论,而且要数形结合(
满分解答
(1)证明:??MOP,?PON , 90?,?NOQ,?PON , 90?,
??MOP,?NOQ(
又?OMP ,?ONQ,90?,
??OMP??ONQ(
3(2)解:在Rt?ABC中, ?A , 60?,AB,4,所以OM, ,ON,1(
22222OPOMMPx,,,,3在Rt?ABC中,,所以OPx,,3(
??OMP??ONQ,
—1—
OPOMCB?( ,,,3OQONCA
又?POQ ,?BCA,90?,
??POQ??BCQ(
OPCB3?( ,,PQBA2
223293,x232?( 3,x,,LPQOP,,333
定义域是,1?x?1(
OMMPx(3) 由?OMP??ONQ,知,所以( ,,3NQ,ONNQ3
x?当点Q在BN上时,在PMC上,?0,所以; xCQ,,33
x?当点Q在NC上时,P在CM的延长线上,,0,所以( xCQ,,33
13因此,当点Q在BC上时,由, SCPCQ,,,,,CPQ22
13x,,得( ,,,,,(1)3x,,223,,
解得( x,0,x,,212
3所以当CP,1或3时, ?CPQ的面积是( 2
x?如图2,当点Q在B的延长线C上时,, CQ,,,3
3
1x3S,于是( (1,x)(,3,),,CPQ223
77解得x, ,1,,x, ,1,(舍去) ( 12
37所以当CP,2,时, ?CPQ的面积是( 2图2
考点伸展
在第(3)题中,按点Q的位置进行分类,在分类计算以后,?和?的结果是相同的(如
果在第(2)题中就这样分类的话,求L关于x的函数关系式,也可以在Rt?PCQ中用勾股
定理求得(
—2—
例 2008年上海市上海市部分学校抽样测试第
25题
已知:在正方形ABCD中,MBC的中点(如图1所示),EAB上的一个动是边是边
点,MF?ME,交射线CD于点F,AB,4,BE,x,CF,y(
(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域(
(2)当点F在边CD上时,四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化,请说明理
由(
(3)当DF,1时,求点A到直线EF的距离(
AADD
CCBBMM
图1 (备用图)
动感体验
请打开文件名“08抽样25”(拖动点E在上运动AB,从图形中可以看到y随x的增大而减小,当E与B重合时,点F就不存在了(从图象可以体验到,是yx的反比例函数(
从图形中还可以体验到,MN既是直角?EFM的斜边上的中线,也是梯形EBCF的中位线,因此EF的长等于BE,CF(
拖动点E在AB上运动,可以体验到,?AEF的边AE上的高是定值4(点A到直线EF的距离,就是?AEF的边EF上的高AH(双击按钮“DF,1,CF,3”和“DF,1,CF,5”可以准确显示DF,1的两种情况(
思路点拨
1(证明?EBM??MCF,根据对应边成比例可以求出y关于的函数解x析式( 2(构造以EF为斜边的直角三角形,用勾股定理可以求得EF,x,y,在这个式子的变形过程中,要用到第(1)的结论变形xy,4(
3(用几何法证明EF,BE,CF,做EF的中点N,MN既是直角?EFM的斜边上的中线,也是梯形EBCF的中位线,因此EF的长等于BE,CF(
4(分类讨论DF,1,按照F与D的位置关系,可以分为CF,3和CF,5两种情况( 5(点A到直线EF的距离,就是?AEF的边EF上的高AH,用面积法求AH( 满分解答
A解:如图2, ??EMB,?CMF,90?, D
?CMF,?CFM,90?, F
??EMB,?CFM(
EG又?B,?C,90?,
??EMB??MFC( CBM
—3—
yCFBM2?,即( ,,图2 CMBE2x
4因此所求的函数解析式为0,x,4( () y,x
(2)不变(理由如下:
如图2,作EG?CDG,那么 于点
2222222( EF,(y,x),4,y,2xy,x,16,y,8,x,(x,y),x,y
所以四边形AEFD的周长,AE,EF,DF,AD,4?x,x,y,4?y,4,12(
(3)当DF,1时,CF,3或CF,5(
联结AF,设点A到直线EF的距离为d(
4?如图3,当CF,3时,BE,( 3
41348此时,( EF,,3,AE,4,,3333
81311因此S,,即( AE,AD,EF,d,4,d?AEF2233
32所以( d,13
4?如图4,当CF,5时,( BE,5
64同理可得( d,29
3264综上所述,点A到直线EF的距离为或( 1329
FAAADADDD
FFNFPH
EEHEE
CCCCBBBBMMMM
图3 图4 图5 图6 考点伸展
第(2)题几何解法的思路是:如图5,作EF的中点N,连结MN,那么MN既是直角?EFM的斜边上的中线,也是梯形EBCF的中位线,因此EF的长等于BE,CF(
事实上,如图6,以BC为直径的圆与直线EF相切,根据切线长定理可知EF,BE,CF(
在本题中可以证明?EMB??MFC??EFM,因此EM、FM分别平分?BEF、?CFE,从而证明EB,EP,FC,FP(
—4—
例 2008年上海市虹口区中考模拟第24题
1如图1,在直角梯形ABCD中,AB?CD,?ABC,90?,,BC,3,CDABa,,2四边形BEFG,点E、FBC、AD上,点G在AB上(设FG , ,FE,( 是矩形分别在腰yx
(1)求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围( yxx
1(2)矩形BEFG的面积能否等于梯形ABCD面积的,若能,请求出的值;若不能,x3
请说明理由(
,,,ADCDAB2(3)当时,矩形BEFG是否能成为正方形,若能,求其边长;若不能,请说明理由(
图1
动感体验
请打开文件名“08虹口24”(拖动点E在BC上运动,从图形和图象中都可以看到,y随x的增大而减小,y是x的一次函数,图象是直线的一部分(
拖动点D左右运动,观察函数的图象,可以体验到,CD的长影响直线的斜率和截距(
双击按钮“?ADC,2?DAB”,从度量值可以观察到,此时?DAB,60?(
拖动点E在BC上运动,可以体验到,矩形BEFG能成为正方形( 思路点拨
y1(第(1)题求关于的函数关系式时,由于的不确定,因此解析式中含有字母( xaa
2(解决直角梯形常用的策略是把直角梯形分割为一个矩形和一个直角三角形(
3(根据邻边相等的矩形是正方形列方程,方程的解在自变量的取x值范围内,正方形就存在,否则就不存在(
满分解答
解:(1)如图2,过点D作DH?AB于H(
AGFGAGx,,因为FG?DH,所以,即( AHDH23aa,
axaxAG,BGABAGa,,,,2解得,所以( 33
ayxa,,,2因此所求的函数关系式为. 3
xx自变量的取值范围是0,?3(
1a11SS,xxaaa(2)(2)3,,,,,,(2)如果,则( 矩形BEFG梯形ABCD3332
—5—
2a,0因为,原方程可化简为( 21290xx,,,
33解得,. xx,,,,32,321222
3由于0,?3,因此. x,,32x2
13所以,矩形BEFG的面积能等于梯形ABCD面积的,此时的值为( 32,x32
图2 图3 图4 (3)如图3,矩形BEFG能成为正方形.
当?ADC,2?DAB时,?DAB,60?.
DH33a,3在Rt?AHD中,tan60:,,,所以,此时. yx,,,23AHa3
3x,,333若四边形BEFG是正方形,则xy,,即,解得. xx,,,233
03333,,,333,由于,所以矩形BEFG能成为正方形,且边长为.
考点伸展
第(3)可以用解直角三角形的方法:
,,:FBA45当四边形BEFG为矩形时,.
3BGx,如图4,在Rt?AFG中,;在Rt?BFG中,. AGx,3
3ABAGBG,,,23x,,333由,得,解得. (1)23,,x3
—6—
例 2008年上海市卢湾区中考模拟第24题
如图1,已知点是轴上一点,过点作轴的垂线,垂足为点,点是yA0,4C4,6xD,,,,
OODACCD上一动点(不与、重合),连结、,过点作,交于DBt,0ABBBEAB,,,
AC点,过点作?,交于点. EEEFABF
(1)设点的纵坐标为,求关于的函数关系式,并写出的取值范围. yyttEEE
(2)若存在一点,使四边形是矩形,求的值( tBABEF
图1
动感体验
请打开文件名“08卢湾24”(拖动点B在OD上运动,从随变化的图象中可以看到,ytE是的二次函数,抛物线的开口向下( ytE
,,:CAB90拖动点B在OD上运动,可以体验到,当时,四边形ABEF是矩形,此时
?CMA??AOB(
思路点拨
AOB1(证明???,根据对应边成比例,得到关于的函数关系式( ytBDEE
,,:CAB902(根据有三个角是直角的四边形是矩形,假设,那么?CMA??AOB,根
据对应边成比例,列关于的方程( t
满分解答
::?,,,,ABOEBD90,,,,OABABO90解:(1),,
,,,OABEBD?(
:,,,,AOBEDO90又,
AOB????( BDE
4tAOOB,? ,即( ,4,tyBDDEE
—7—
24tt,12?( y,,,,,,ttt04,,yE44MC,,:CAB90(2)当时,四边形是矩形( ABEFF过点C作CM?y轴,垂足为M( A
此时?CMA??AOB(
CMAO44? ,即( ,,E2tMAOBxODBt,2解得(
图2 考点伸展
在图2中,当四边形是矩形时,图中的4个直角三角形都是相似的,请您写出它ABEF
们的相似比(
5解:?CMA、?AOB、?BDE与?EFC的相似比为2?2?1?(
—8—
例 2008年上海市浦东新区中考模拟第25题
AD23如图1,已知在梯形ABCD中,AD?BC,AB,CD,5,,,P是边,cosB,BC55BC上的一个动点,?APQ,?B,PQADQ(设点P到点Bx,点Q到交射线于点的距离为点D的距离为y(
(1)用含x的代数式表示AP的长(
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域(
(3)?CPQ与?ABP能否相似,如果能,请求出BP的长;如果不能,请说明理由(
ADQ
BCP
图1
动感体验
请打开文件名“08浦东25”(拖动点P在BC上运动,观察y随x变化的函数图象,可以
C程中,DQ由大变小,再由小变大;当P达到BC体验到,点P从B向运动的过的长先的
,D、Q重合(当P与B重合时,点Q不存在了( 中点时
双击按钮“相似1”和“相似2”,可以体验到,四边形APCQ是平行四边形(
双击按钮“相似3”,可以体验到,D、Q重合(
思路点拨
1(用含x的代数式表示AP的长,是为求y关于x的函数解析式作准备(
2(证明?ABP??QPA,根据对应边成比例可以得到y关于的函数解x析式(
3(把?CPQ与?ABP相似的问题,转化为?CPQ与?QPA相似的问题(
4(分类讨论?CPQ与?QPA相似,按对应角相等分两种情况,再讨论每种情况下四边形APCQ的特殊性,从而列出关于x的方程(
满分解答
解:(1)如图2,作AE?BC于点E(
3AB,5ABE中,在Rt?,,所以BE,3,AE,4( cosB,5
222,x,6x,25在Rt?APE中,( AP,(3,x),4
ADQAD2AD2,(2)?,?( ,BC56,AD5
BC,10?,( AD,4
?AD?BC,??PAQ,?APB( BCEP又?APQ,?B,
??APQ??PBA( 图2
—9—
2,,,y4x6x25AQAP?,即 ,,2xAPBP,,x6x25
2x10x25,,因此,定义域为0