特征根求数列

浅谈特征根法在求递推数列通项中的运用 高三数学组 徐朝生 以往浙江每年高考理科数学都会考数列，而且往往以压轴题出现，难度都比较大， 09年浙江高考理科没有考数列大题，文科考了等差数列，题目相对简单，但在全国其它省市中（如安徽、山东、广东、宁夏、海南、天津、江西等）经常考数列大题，题目有难有易，比如广东和江西的较难。而各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。如： （08年广东高考）设p、q为实数，α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……) 1）…………… 2）求数列{xn}的通项公式。 3）若 ， ，求数列{xn}的前n项的和sn (09年江西高考)各项均为正数的数列 中 ， EMBED Equation.3 ， 1）当 EMBED Equation.3 。 像上述两道题，如果不能顺利求出数列的通项公式，就不能继续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学的绩优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——特征根法的运用，希望能对部分同学有帮助。 类型一、递推公式为 （其中p，q均为非零常数）。 先把原递推公式转化为 ，其中 满足 ，显然 是方程 的两个非零根。 1） 如果 ，则 ， 成等比，很容易求通项公式。 2） 如果 ，则{ }成等比。公比为 ， 所以 ，转化成： ， ( I )又如果 ，则{ }等差，公差为 ， 所以 ， 即： 可以整理成通式： Ii)如果 ，则令 ， ， ,就有 ，利用待定系数法可以求出 的通项公式 所以 ，化简整理得： ， 小结特征根法：对于由递推公式 ， 给出的数列 ，方程 ，叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根，当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）；当 时，数列 的通项为 ，其中A，B由 决定（即把 和 ，代入 ，得到关于A、B的方程组）。 简例应用（特征根法）：数列 ： ， 的特征方程是： EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。又由 ，于是 故 下面再看特征根法在08年广东高考题中的应用： 设p、q为实数，α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……) 1）…………… 2）求数列{xn}的通项公式。 3）若 ， ，求数列{xn}的前n项的和sn 解：2）显然xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,5……)的特征根方程就是x2-px+q=0，而α、β是方程x2-px+q=0的两个实数根，所以可以直接假设： 1 当α=β时，设 ，因为x1=p,x2=p2-q，所以 解得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 2 当 时，设 ，因为x1=p,x2=p2-q，所以 解得 ， EMBED Equation.3 + 3） ， 时， ，由第2）小题的⑴项可以直接得到 ，可以用错位相减法求和顺利拿下第3）小题。 本题是08年广东高考真题，开始前两问均以字母的形式出现，给考生设置了接题障碍，如果在考前曾经学过特征根法，记住公式，那本题对这同学来说无疑是几分种的事情，或对特征根法有一定的了解，也许是多花点时间的问题，至少是接题思路和方向明确，绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法的来龙去脉、公式、以及运用也是学生能力拓展的一种表现。特征根法还能应用于下面一种数列题型的解答： 类型二、 解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 ,当特征方程有且仅有一根 时,如果 则 ；如果 则 是等差数列。当特征方程有两个相异的根 、 时，则 是等比数列。（证明方法如同类型一，从略） 例：已知数列满足性质：对于 且 求 的通项公式. 解: 数列的特征方程为 变形得 其根为 故特征方程有两个相异的根，则有 ∴ ∴ 即 例：已知数列 满足：对于 都有 （1）若 求 （2）若 求 （3）若 求 （4）当 取哪些值时，无穷数列 不存在？ 解：作特征方程 变形得 特征方程有两个相同的特征根 (1)∵ 对于 都有 (2)∵ ∴ EMBED Equation.3 令 ，得 .故数列 从第5项开始都不存在， 当 ≤4， 时， . (3)∵ ∴ ∴ 令 则 ∴对于 ∴ (4)、显然当 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知， 时，数列 是存在的，当 时，则有 令 则得 且 ≥2. ∴当 （其中 且N≥2）时，数列 从第 项开始便不存在。 于是知：当 在集合 或 且 ≥2}上取值时，无穷数列 都不存在。 变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列 记 （Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列 的通项公式及数列 的前n项和 解：由已知,得 ,其特征方程为 解之得, 或 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 下面再欣赏用特征根法解决09年江西高考真题 各项均为正数的数列 中 ， EMBED Equation.3 ， 1）当 EMBED Equation.3 解：由 EMBED Equation.3 得 EMBED Equation.3 化间得 ，作特征方程 ， ， 。 所以 EMBED Equation.3 从上面的解答不难看出特征根法在某些特殊的数列递推题型中有比较轻巧灵活简便的运用，而离开特征根法，这些题目不仅难度较大，运算较烦，许多同学只能是望题兴叹！其实从网络上搜索便知特征根法在许多的数学分支领域、科学应用领域都有着广泛的应用。 6 _1210531022.unknown _1318172876.unknown _1318661188.unknown _1318690454.unknown _1318691172.unknown _1318693237.unknown _1318693839.unknown _1318694412.unknown _1318694581.unknown _1318694678.unknown _1318694677.unknown _1318694490.unknown _1318694353.unknown _1318694386.unknown _1318694198.unknown _1318693291.unknown _1318693817.unknown _1318693279.unknown _1318691405.unknown _1318693208.unknown _1318691374.unknown _1318690887.unknown _1318690935.unknown _1318690978.unknown _1318690906.unknown _1318690594.unknown _1318690809.unknown _1318690536.unknown _1318662536.unknown _1318675567.unknown _1318690329.unknown _1318690412.unknown _1318675596.unknown _1318675043.unknown _1318675495.unknown _1318675542.unknown _1318663301.unknown _1318661518.unknown _1318662082.unknown _1318662306.unknown _1318661614.unknown _1318661440.unknown _1318661483.unknown _1318661386.unknown _1318176040.unknown _1318176300.unknown _1318176630.unknown _1318176675.unknown _1318176706.unknown _1318176668.unknown _1318176614.unknown _1318176188.unknown _1318176203.unknown _1318176123.unknown _1318175257.unknown _1318175503.unknown _1318175582.unknown _1318175336.unknown _1318175091.unknown _1318175149.unknown _1318172977.unknown _1225889109.unknown _1318060901.unknown _1318086570.unknown _1318087076.unknown _1318087213.unknown _1318087283.unknown _1318172653.unknown _1318172736.unknown _1318172838.unknown _1318086985.unknown _1318086055.unknown _1225889140.unknown _1225889263.unknown _1225889488.unknown _1318060883.unknown _1225889498.unknown _1225889410.unknown _1225889222.unknown _1225889256.unknown _1225889133.unknown _1225607492.unknown _1225889063.unknown _1225889091.unknown _1225888977.unknown _1220300710.unknown _1225607472.unknown _1220301016.unknown _1220300685.unknown _1210576486.unknown _1062998247.unknown _1210241113.unknown _1210241917.unknown _1210241939.unknown _1210242020.unknown _1210242200.unknown _1210366640.unknown _1210242104.unknown _1210241984.unknown _1210241445.unknown _1210241779.unknown _1210241827.unknown _1210241304.unknown _1210241345.unknown _1210241389.unknown _1210241160.unknown _1210241225.unknown _1210240931.unknown _1210240997.unknown _1210241042.unknown _1210240976.unknown _1063084540.unknown _1180030497.unknown _1180030501.unknown _1180287682.unknown _1210240861.unknown _1180287706.unknown _1180287719.unknown _1180030774.unknown _1180030775.unknown _1180030772.unknown _1180030499.unknown _1180030500.unknown _1180030498.unknown _1063084824.unknown _1063084848.unknown _1063084795.unknown _1063084240.unknown _1063084349.unknown _1063084449.unknown _1063084263.unknown _1063084183.unknown _1063084216.unknown _1062999696.unknown _1062999848.unknown _1062999847.unknown _1062998308.unknown _1062681411.unknown _1062681856.unknown _1062682118.unknown _1062682418.unknown _1062682829.unknown _1062682878.unknown _1062998209.unknown _1062998232.unknown _1062682902.unknown _1062682917.unknown _1062682856.unknown _1062682870.unknown _1062682842.unknown _1062682722.unknown _1062682793.unknown _1062682669.unknown _1062682201.unknown _1062682389.unknown _1062682172.unknown _1062681915.unknown _1062682075.unknown _1062682092.unknown _1062681979.unknown _1062681888.unknown _1062681899.unknown _1062681877.unknown _1062681717.unknown _1062681774.unknown _1062681818.unknown _1062681741.unknown _1062681643.unknown _1062681667.unknown _1062681620.unknown _1062680678.unknown _1062681288.unknown _1062681395.unknown _1062681396.unknown _1062681393.unknown _1062681394.unknown _1062681297.unknown _1062681266.unknown _1062681277.unknown _1062681208.unknown _1062675887.unknown _1062680649.unknown _1062680665.unknown _1062676042.unknown _1062675697.unknown