索洛模型

1 索洛模型 1．假定 投入与产出 索洛模型包含四个变量：产量（Y ），资本（ K ），劳动（ L ）和“知识”或“劳动的 有效性”（ A）。在任一时间，经济有一定量的资本、劳动和知识，而这些被结合起来生产 产品。生产函数的形式为：         tLtAtKFtY , （1） 其中 t 示时间。 该生产函数的两个特点值得注意。首先，时间并不直接进入生产函数，只是通过K 、L 和 A进入。这就是说，仅在生产投入变化时，产量才随时间变化。具体而言，从一定的资 本和劳动量中得到的产品量随时间增加——有技术进步——的唯一前提是知识量增加。 第二，A和 L 以相乘形式进入。AL 被称为有效劳动，而此种形式引入的技术进步被称 为劳动增进型或哈罗德中性的。对 A进入生产函数的这种设定方式，与该模型的其他假定 一起，将意味着资本－产量比 LK 最终将稳定下来。实际上，就较长期限来看，资本—产 量比未表现出任何明显的向上或向下的趋势。另外， 在建立模型时，若能使这一比例最终 不变，将使得分析远为简单。因此，假定 A与 L 相乘是很方便的。 索洛模型的核心假定涉及生产函数的性质和三种生产投入品（资本、劳动和知识）随时 间的变动。我们将依次讨论它们。 关于生产函数的假定 该模型中关于生产函数的关键假定是，该生产函数对于其两个自变量资本和有效劳动是 规模报酬不变的。这就是说，如果资本和有效劳动的数量加倍（例如， K 和 L 加倍而 A 不 变），则产量加倍。更一般地说，对两个自变量同乘以任意非负常数c 将使产量同比例变动：    ALKcFcALcKF ,,  ，对于所有 0c 。 （2） 规模报酬不变的假定可被认为结合了两个假定。第一个假定是，经济足够大，从而从专 业中可得到的收益已被穷尽。在一个很小的经济中，进一步专业化很可能有益：资本和劳动 数量加倍将使产量加倍还多。不过，索洛模型假定，经济足够大，从而在资本和劳动加倍时， 对新投入品的使用方式实际上与对已有投入品的使用方式一样，因而产量加倍。 第二个假定是，资本、劳动和知识以外的投入品是相对不重要的。具体而言，该模型忽 视了土地和其他自然资源。如果自然资源是重要的，那么资本和劳动加倍可能使产量小于加 倍。然而，实际上，自然资源的可得性对于增长似乎不是一个主要的约束。因此，假定仅对 资本和劳动规模报酬不变看来就是一个合理的近似。 规模报酬不变的假定使我们得以使用密集形式（intensive form）的生产函数。在方程中， 令 ALc 1 ，得  ALKF ALAL K F , 1 1,       （3） ALK 是每单位有效劳动的平均资本数量，而   ALALKF , 就是 ALY ，即每单位有 效劳动的平均产量。定义 ALKk  ， ALYy  ，    1,kFkf  。那么我们可将（3）写 2 为：  kfy  （4） 也就是说，我们可以把每单位有效劳动的平均产量写成每单位有效劳动的平均资本量的函 数。 为了解（4）背后的直观含义，考虑将经济分为 AL 个小经济，每个小经济中有 1 单位 有效劳动和 ALK 单位的资本。由于生产函数具有规模报酬不变的性质，每一小经济的产 量是大的、未分割经济产量的 AL1 。这样，每单位有效劳动的平均产量仅仅取决于每单位 有效劳动的平均资本数量，不取决于经济的总规模。这就是方程（4）以数学形式表现出来 的东西。如果我们想得到总产量，即与每单位有效劳动的平均产量对应的总产量，对该平均 产量乘以有效劳动量即可：  kALfY  。 假定密集形式的生产函数  kf 满足   00 f ，   0 kf ，   0 kf 。很容易  kf  是 资 本 的 边 际 产 品 ： 由 于    ALKALfALKF , ， 所 以       kfALALKfALKALKF  1, 。因此，这些假定意味着：资本的边际产品 是正的，但随着（每单位有效劳动的平均）资本的增加而递减。此外，我们还假定  kf 满 足稻田条件（Inada，1964）：    kfk 0lim ，   0lim  kfk 。稻田条件表明，当资 本存量足够小时，资本的边际产品很大；而当资本存量变得很大时，资本的边际产品变得很 小。稻田条件的作用是保证经济的路径不发散。图 1 所示为一个满足   0f ，   0f ， 和稻田条件的生产函数。 f(k) k 图 1 生产函数一例 生产函数的一个具体例子是柯布－道格拉斯生产函数： 3     10,, 1    ALKALKF （5） 这一生产函数易于应用，且似乎是对实际生产函数的一个好的初步近似。 容易验证，该柯布－道格拉斯生产函数是规模报酬不变的。对两投入品同乘以 c ，得      cALcKcALcKF   1,  ALKcc    11  ALKcF , （6） 要得到该生产函数的密集形式，对两投入品同除以 AL ，得          1, AL K Fkf        AL K  k  （7） 方程（7）意味着   kkf 1    。易于验证这一表达式是正的，当 k 趋于 0 时它趋于无穷 大，当趋于无穷大时它趋于 0。最后，     Kkf 2 1     ，它是负的。 生产投入品的变动 该模型的其余假定涉及劳动、知识和资本三个存量随时间如何变动。在该模型中，时间 是连续的；也就是说，该模型中的各个变量均定义每一时间上。 资本、劳动和知识的初始水平被看作是既定的。劳动和知识以不变速度增长：    tnLtL  （8）    tgAtA  （9） 其中 n 和 g 为外生参数，一个变量上加一点表示其对时间的导数（也就是说，  tX 是   dttdX 的简写）。方程（8）和（9）意味着 L 和 A是指数增长。也就是说，如果  0L 和  0A 表示其在 0 时的值，则（8）和（9）意味着    e nt LtL 0 ，    e gt AtA 0 。 产量分为消费和投资。产量中用于投资的比例 s 是外生的和不变的。用于投资的一单位 产品产生一单位新资本。另外，现存资本的折旧率为 。这样，      tKtsYtK  （10） 尽管对n 、g 和 没有单独给予约束，但三者之和被假定为正。这就完成了对该模型的 4 描述。 2．索洛模型的动态学 我们希望确定我们刚刚描述过的这个经济的行为。三种投入品中的两个，即劳动和知识 的变动是外生的。这样，为描述该经济的行为特征，我们必须分析第三个投入品即资本的行 为。 k 的动态学 由于经济可能随时间增长，那么着重考虑每单位有效劳动的平均资本存量 k 而非未经 调整的资本存量 K 就较为方便了。由于 ALKk  ，用链锁法则可得                        tAtLtLtAtK tLtA tK tk tLtA     2                          tA tA tLtA tK tL tL tLtA tK tLtA tK   （11） ALK 正是 k 。由于（8）和（9）可知， LL 和 AA 等于 n 和 g。K 由（10）给定。将这 些情况代入（11），得              gtkntk tLtA tKtsY tk                tgktnktk tLtA tY s   （12） 最后，应用  kfALY  这一事实，有         tkgntksftk  （13） 方程（13）是索洛模型的关键方程。它表明，每单位有效劳动的平均资本存量的变动是 两项之差。第一项  ksf 是每单位有效劳动的平均实际投资：每单位有效劳动的平均产量为  kf ，该产量中用于投资的比例为 s 。第二项  kgn  是持平投资（break-even investment），即使得 k 保持在其现有水平上所必须的投资量。为防止 k 下降，必须进行一些 投资。其原因有二。第一，现有资本有折旧；这一部分资本必须予以补足以防止资本存量下 降。这就是（13）中的 k 项。第二，有效劳动的数量是增长的。这样，恰好足以使得资本 存量（ K ）不变的投资并不足以保持每单位有效劳动的平均资本存量（ k ）不变。相反， 由于有效劳动的数量以 gn  增长，资本存量也必须以 gn  增长以保持 k 稳定。这是（13） 中的  kgn  项。 5 如果每单位有效劳动的平均实际投资大于所需要的持平投资，则 k 上升。如果实际投资 低于所持平投资，则 k 下降。如果二者相等则 k 不变。 图 2 把 k的表达式中的两项表示为 k 的函数。持平投资  kgn  与 k 成正比。实际 投资  ksf 等于一个常数乘以每单位有效劳动的平均产量。 每单位有效劳动的平均投资 持平投资 (n+g+δ )k sf(k) 实际投资 k k * 图 2 实际投资与持平投资 由于   00 f ，因此，当 0k 时，实际投资与持平投资相等。稻田条件意味着当 0k 时，  kf  很大，因而曲线  ksf 陡于  kgn  线。这样，如果 k 的值较小，则实际投 资大于持平投资。稻田条件也意味着随着 k 变大  kf  趋向于 0。在某一点上，实际投资线 的斜率将低于持平投资线的斜率。随着  ksf 线变得比  kgn  线平坦，这两条线最终 将相交。最后，   0 kf 意味着在 0k 是这两条线只相交一次。我们用 k 表示当实际投 资与持平投资相等时 k 的值。 k · k k * 图 3 索洛模型中的 k相图 6 图 3 以相图的形式对此作了。在相图中，k被表示为 k 的一个函数，如果 k 最初小 于 k ，实际投资大于持平投资，因而 k为正——也就是说，k 在增加。如果 k 大于 k ，k是 负的。最后，如果 k 等于 k ， k为零。因此，不管 k 从何处开始，它都向 k 收敛。 平衡增长路径 由于 k 向 k 收敛，很自然人们要问：当  kk 时，该模型的各变量如何变动。按假定， 劳动和知识分别以速率 n 和 g 增长。资本存量 ALkK  ；由于 k 在 k 处不变，因此 K 以 gn  增长（也就是说， gnKK  ）。由于资本和有效劳动二者均以 gn  增长，规模 报酬不变的假定意味着产量Y 也以这一比例增长。最后，每工人平均资本 LK 和每工人平 均产量 LY 以比例 g 增长。 这样，索洛模型意味着：不管出发点如何，经济向一平衡增长路径收敛，在平衡增长 路径上，该模型中的每个变量的增长率都是常数。在该路径上，每工人平均产量的增长率仅 仅决定于技术进步率。 索洛模型中的平衡增长路径符合卡尔多（1961 年）描述过的关于增长的几个主要特 征事实（stylized facts）。对于大多数主要工业化国家而言，在过去一个世纪中，劳动、资本、 产量的增长率大体上是常数，这一说法是一个合理的初步近似。产量和资本的增长率大致相 等（从而资本－产量比近似为都是常数），且大于劳动的增长率（从而每工人平均产量和每 工人平均资本是上升的）。索洛模型中的平衡增长路径有这些性质。 3．储蓄率变化的影响 在索洛模型中，政策最有可能影响的参数是储蓄率。政府购买在消费品和投资品之间的 分配，政府收入中税收和借款所占比例以及政府对储蓄和投资的课税都有可能影响产量中用 于投资的比例。因此，就有必要考察一下储蓄率变化。的效应。 具体一点，我们考虑一个处于平衡增长路径上的索洛模型，并假定 s 有一永久性增加。 除了表明该模型中储蓄的作用以外，这一试验还将表明当经济不在平衡增长路径上时该模型 的特性。 对产量的影响 s 的增加使实际投资线向上移动，因此 k 上升。如图 4所示。不过 k 并未立即跳至 k 的 新值。开始时， k 等于 k 的旧值。在这一水平上，实际投资现在超过持平投资——用于投 资的资源多于维持 k 不变所需的水平——因此 k是正的。这样 k 开始上升。它将继续上升， 直至达到 k 的新值，在这一值上它将保持不变。 7 每单位有效劳动的平均投资 (n+g+δ )k s 新 f(k) s 旧 f(k) k k * 旧 k * 新 图 4 储蓄率提高对投资的影响 每工人平均产量 LY 的变动是我们特别感兴趣的东西。 LY 等于  kAf 。若 k 不变， 则 LY 以速率 g 增长，g 为 A的增长率。若 k 递增，则 LY 同时由于 A和 k 的增长而增长。 这时其增长率超过 g 。然而，如果 k 达到新的 k 值，又只有 A的增长对 LY 的增长有贡献， 则 LY 的增长率又是 g 了。因此，储蓄率的一个永久性增加产生了每工人平均产量增长率 的暂时性增加：k 在一定时期内上升，但最终将增加到一定水平，在这一水平上增加的储蓄 被全部用于维持 k 的较高水平。 这些结果总结于图 5。 0t 表示储蓄率增加的时间。按假定，s 在 0t 跳升并从此保持不变。 k 从 k 的原值逐渐上升至其新值。每工人平均产量的增长率开始时为 g ，在 0t 时向上跳升， 随后逐渐回到其初始水平。因此，每工人平均产量从 0t 开始高于其原来路径，并逐渐达到与 原路径平行的一更高路径上。 s t t0 k t t0 8 Y/L 的增长率 t t0 lnY/L t c t t0 图 5 储蓄率增加的影响 总之，储蓄率的变化有水平效应，但没有增长效应：它改变经济的平衡增长路径，因而 改变任一时点上每工人的平均产量水平，但并不影响处于平衡增长路径时每工人平均产量的 增长率。的确，在索洛模型中只有技术进步率的变化有增长效应；所有其他变化都只有水平 效应。 对消费的影响 若将家庭引入模型，其福利将取决于消费，而非产量；投资只是未来生产中的一种投入 品。因此，在许多情况下，我们很可能更关心消费的变动而非产量的变动。 每单位有效劳动的平均消费等于每单位有效劳动的平均产量  kf 乘以该产量中用于消 费的比例 s1 。因此，由于 s 在 0t 发生非连续性变化，而 k 却不是这样，所以每单位有效 劳动的平均消费开始时猛烈下降。然后，随着 k 的上升，在 s 的更高值不变的情况下，消费 将逐渐上升。如图 5中最后一图所示。 消费最终是否会超过 s 上升的原来水平并非一目了然的。令 c 表示处于平衡增长路径 上的每单位有效劳动的平均消费。 c 等于每单位有效劳动的平均产量  kf 减去每单位有 效劳动的平均投资  ksf 。在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资    kgn  。这 样，       kgnkfc  （14） k 决定于 s 和该模型中的其他参数 n 、 g 和 ；因此我们可写出  ,,, gnskk   。这样 9 （14）意味着         s gnsk gngnskf s c          ,,, ,,, （15） 我们知道，s 的增加提高 k 。因此，s 的增加是否在长期提高消费，取决于资本的边际 产品   kf 是大于还是小于  gn 。直观地看，如果 k 上升，要使 k 的这种上升得以维 持，（每单位有效劳动的平均）投资必须上升  gn 乘以 k 的变化量。如果   kf 小于  gn ，那么从增加的资本上获得的增加的产量不足以将资本存量维持在其较高水平上。 此时，消费必须下降以维持较高的资本存量。另一方面，如果   kf 大于  gn ，增加 的产量大于将 k 维持在较高水平上所需的产量增加，因而消费上升。   kf 可能大于也可能小于  gn ，如图 6 所示。该图不仅给出了  kgn  和  ksf ，还给出了  kf 。在平衡增长路径上，消费等于产量减去持平投资；因此c 为  kf 和  kgn  之间的距离。在上图中，   kf 小于  gn ，因此，即使当经济已达到新 的平衡增长路径时，储蓄率的增加也降低消费。在中图中，相反的情况出现，储蓄率的增加 在长期内提高消费。 最后，在下图中，   kf 恰好等于  gn ，也就是说，在  kk 处，  kf 和  kgn  两条线平行。此时， s 的一个边际变化在长期内对消费没有影响，且消费在所 有可能的平衡增长路径中达其可能取的最大水平。这一 k 值就是所谓的黄金律资本存量水 平。 当然，在索洛模型中，储蓄是外生的，平衡增长路径中的资本存量等于黄金律水平的理 由，并不多于平衡增长路径中的资本存量等于任意其他可能值的理由。 每单位有效劳动的平均产量和平均投资 f(k) (n+g+δ )k sf(k) k k * 10 每单位有效劳动的平均产量和平均投资 f(k) (n+g+δ )k sf(k k k * 每单位有效劳动的平均产量和平均投资 f(k) (n+g+δ )k sf(k) k k * 图 6 平衡增长路径中的产量、投资和消费 4.定量含义 我们常常不仅关心一个模型的定性含义，还关心其定量预测。例如，如果储蓄率的一个 不大的增加对增长的影响在几个世纪之后仍然较大，那么如果得出结论说，该影响是暂时的， 就没有太大意义。 对于大多数模型来说（包括本模型），要得到严格的定量结果，就得对函数形式和各参 数值予以设定；通常也得用数字例子进行分析。但在许多情况下，通过考虑对长期均衡的近 似，有可能得到大量信息。这就是我们在此所要采用的方法。 对产量的长期影响 储蓄率上升对产量的长期影响为     s gnsk kf s y        ,,, （16） 其中    kfy 为处于平衡增长路径上的每单位有效劳动的平均产量水平。这样，要得到 sy   ，我们需要得到 sk   。为此，注意 k 是由 0k 定义的；因此 k 满足        ,,,,,, gnskgngnsksf   （17） 11 方程（17）对所有的 s 值（以及所有的n ， g 和 值）都成立。因此，方程两端对 s 的导数 相等：       s k gnkf s k kfs            （18） 其中为了简单起见省略了 k 的自变量。整理之，可得            kfsgn kf s k  （19） 将（19）代入（16），得               kfsgn kfkf s y  （20） 进行两个变化有助于解释这一表达式。第一个变化是对两边同乘以 ys ，从而把它转化为 弹性形式。第二个变化是应用       kgnksf  以代换 s 。在这些变化后，可得                    kfsgn kfkf kf s s y y s                    kfkfkgngnkf kfkgn                kfkfk kfkfk 1 （21）      kfkfk 为  kk 处的产出 资本弹性。把它用  kK 表示，我们有           k k s y y s K K   1 （22） 如果市场是竞争性的，且无外部性，那么资本将获得其边际产品。在此情况下，在平衡 增长路径上（每单位有效劳动的平均）资本获得的总收入为    kfk 。这样如果资本获得 其边际产品，那么在平衡增长路径上资本收入的份额为      kfkfk ，或  kK 。 在大多数国家，资本收入所占份额大约为 1/3。如果我们把它作为对  kK 的一个估 12 计值，可知在长期，产出的储蓄率弹性大约为 1/2。这样，比如说储蓄率增加 10％（从产量 的 20％增加到 22％），将使每工人平均产量在长期内提高大约 5％（与储蓄率不变时相比）。 即使储蓄率增加 50％，也仅使 y 增加大约 22％。这样，储蓄率的显著变化对于平衡增长路 径上的产量水平只有较小影响。 直观地说，  kK 值较小时，储蓄对产量的影响之所以较小，其原因有两个。首先， 它表明实际投资曲线  ksf 弯曲得相当厉害；其结果，该曲线上移使其与持平投资曲线的交 点只发生较小的移动。因而 s 的变化对 k 的影响较小。第二，小的  kK 值意味着 k 的变 化对 y 的影响较小。 收敛的速度 实际中，我们不仅关心某种变化（如储蓄率的变化）的最终效果，也关心这种效果出现 的快慢。我们仍可利用对长期均衡的近似来探讨这一问题。 为简单起见，我们着重考虑 k 的行为，而非 y 的行为。我们的目的是确定 k 以多快的速 度趋近 k 。我们知道， k决定于 k （见（13））；因此，我们可以写出  kkk   。如果 k 等 于 k ， k为 0。因此，在  kk 处对  kk 作一阶泰勒级数近似，可得                  kk k kk k kk   （23） 也就是说， k近似等于 k 与 k 之差与  kk 处 k对 k 的导数值的乘积。 就表达式（13）对 k 求导，并对所得表达式在  kk 处赋值，得            gnkfs k kk kk                gn kf kfkgn       gnkK 1 （24） 其中第二行又应用了       kgnksf  以代换 s ，第三行应用了 K 的定义。将（24） 代入（23），得           ktkgnktk K 1 （25） 方程（25）表明，在平衡增长路径的邻近，每单位有效劳动的平均资本向 k 收敛的速度 13 与其与 k 的距离成比例。也就是说，定义      ktktx 和     gnK1 ，（25） 意味着    txtx  ： x 的增长率为常数且等于  。 x 的路径因而为     textx  0 ，其 中  0x 为 x 的初始值。用 k 表示，这就成为          kkektk tgnK 01  （26） 可 以 证 明 ， y 趋 近 y 的 速 度 与 k 趋 近 k 的 速 度 相 同 ， 也 就 是 说 ，       yyeyty t 0 。 我们可就（26）作一校准试验，看看经济实际上以多快的速度趋近其平衡增长路径。  gn 一般为每年 6％（比如，若人口增长率为 1－2％，每工人平均产量增长 1－2％， 折旧率为 3－4％）。若资本的收入份额大致为 1/3，则     gnK1 大致为 4％。因此， k 和 y 每年向 k 和 y 移动剩余距离的 4％，要走完其平衡增长路径值的距离的一半约需 18 年时间。因此在我们的例子中，如果储蓄率增加 10％，那么 1年后产量高于其以前路径 0.04 （5％）＝0.2％；18年后高出 0.5（5％）＝2.5％；且此比例渐趋近 5％。这样，不仅储蓄 率变化较大时的总体影响较小，而且其作用的出现也不很快。 5．索洛模型与增长理论的中心问题 索洛模型确定了每工人平均产量发生变动的两个可能来源：每工人平均资本（ LK ） 的变动和劳动的有效性（ A）的变动。无论是每工人平均产量随时间变动还是随地域变动， 上述两个变动之源都是适应的。然而，我们已经看到，只有劳动的有效性的增长才能导致每 工人平均产量的永久性增长，而且在合理情形下，每工人平均资本的变动对每工人平均产量 的影响不大。其结果，只有劳动的有效性的差异才有希望解释财富在不同时间、不同地区的 巨大差异。具体而言，索洛模型的中心结论是，如果资本取得的市场收益大致体现了其对产 量的贡献，那么实物资本积累的变动既不能很好地解释世界经济增长，也不能很好地解释国 家间的收入差别。 在以资本的差异为基础解释收入的较大差别时，会遇到两个问题。首先，所需要的资本 差别实在太大。比如，考虑每工人平均产量相差 10 倍的情形。例如美国现在的每工人平均 产量是 100年前的 10 倍，也是现在的印度的 10倍。注意 K 是产出的资本存量弹性。这样， 若以资本差异为基础解释每工人平均产量的 10 倍的差别，则要求每工人平均资本间存在 K110 倍的差别。如果 K ＝1/3，这个倍数就是 1000。即使 K ＝1/2，所需倍数也为 100； 而 K ＝1/2 远远高于资本收入份额数据所反映的情况。 没有证据表明资本存量有如此大的差别。2节提到的关于增长的特征事实之一是，资本 －产量比随时间大体保持不变。因此，美国的每工人平均资本存量大约也是 100 年前的 10 14 倍，而非 100 倍或 1000 倍。同样，尽管资本－产量比在不同国家有所不同，但差别不十分 大。比如，美国的资本－产量比大约为印度的 2－3 倍；因此，美国的每工人平均资本大约 “仅”为印度的 20－30 倍。总之，每工人平均资本的差别远远不足以解释每工人平均产量 的差别。 第二个困难是，如果不考虑劳动有效性的差别，而将产量差别仅仅归因于资本差别，那 就意味着资本，报酬率应有巨大的差别（卢卡斯，1999 年 a）。如果市场是竞争性的，资本 的报酬率就等于其边际产品  kf  减去折旧率 。假定生产函数为柯布－道格拉斯函数（见 方程（5）），且其密集形式为   kkf  。据此生产函数，产出的资本弹性就是 K 。资本 的边际产品为   kkf 1      y   1  （27） 方程（27）表明，资本的边际产品对产出的弹性为    1 。如果 ＝1/3，那么，要由 每工人平均资本的差别导致每工人平均产量 10倍的差别，就意味着资本的边际产品应有 100 倍的差别。而且，由于资本报酬率为    kf ，资本报酬率的这种差别甚至应更大。 同样，也没有证据表明资本报酬率有如此大的差别。比如，关于金融资产报酬率的直接 测量表明，资本报酬率在不同时间和不同国家间差别不太大。更有说服力的是，通过考察资 本持有者希望在哪里投资，我们可以较好地了解资本报酬率的跨国差别。如果穷国的资本报 酬率是富国的 10 倍或 100 倍，那么人们往穷国投资的激励就应十分强。资本报酬率的这种 差别应该压倒如下因素：资本市场不完美性、政府税收政策、对被没收的担心等等，从而我 们应观察到从富国向穷国的巨额资本流动。但我们却没有看到这种流动。 因此，每工人平均实物资本存量的差别不能解释我们所观察到的每工人平均产量的差 别，至少当资本对产量的贡献大致由其私人收益所反映时如此。 在索洛模型中，每工人平均产量差异的另一可能来源是劳动的有效性。将生活水平的差 异归因于劳动的有效性的差异，并不需要资本或其报酬率的巨大差别。比如，沿着一平衡增 长路径，资本以与产量相同的速率增长：且资本的边际产品  kf  不变。 然而，索洛模型对劳动有效性的处理是很不完善的。最明显的是，劳动有效性的增长是 外生的：索洛模型把劳动有效性这一变量的行为看作是给定的，但劳动有效性恰恰是索洛模 型认定的增长的驱动力。因此，夸张点说，索洛模型是通过假定增长来解释增长的。 更带根本性的是，该模型并未“劳动的有效性”是什么；它只是劳动和资本以外的、 影响产量的其他因素的一个总称。为便于进一步分析，我们必须弄清楚，劳动的有效性指的 是什么，是什么导致了它的变动。一个自然的可能是，劳动的有效性对应于抽象的知识。为 理解世界范围内的增长，就有必要理解是哪些因素决定了知识存量随时间的变动。为理解真 实收入在国家间的差别，我们必须解释为什么有些国家的厂商比其他国家的厂商获得更多的 知识，以及为什么更好的知识未能迅速传播到穷国。 对 A 还有其他可能的解释：劳动力的教育和技能，产权的严格程度，基础设施的质量， 一种文化对企业经营活动和工作的态度，等等。或者 A 可能反映多种因素的共同作用。不 管人们认为 A 代表什么，都须说明如下问题：它如何影响产量，它随时间怎样变动，以及 15 它在世界各地为何有差别。 进行进一步分析的另一可能方式是考虑如下可能性：资本的重要性大于索洛模型所认为 的那样。如果资本不仅仅包括实物资本，或者，如果实物资本有正的外部性，那么，实物资 本的私人收益就不能精确地反映资本在生产中的重要性。在这种情况下，我们所做的这些计 算可能是错误的，如下观点有可能复活：资本的差别对于收入差别有重要意义。 6.经验应用 增长因素分析 在索洛模型中，每工人平均产量的长期增长仅仅取决于技术进步。但短期增长则可能 或取决于技术进步，或取决于资本积累。因此，索洛模型表明，确定短期增长的来源是一经 验问题。由阿布拉莫维茨（1956 年）和索洛（1957 年）首开先河的增长因素分析，为解决 这一问题提供了一条途径。 为了解增长因素分析，再次考虑生产函数         tLtAtKFtY , 。这意味着                    tA tA tY tL tL tY tK tK tY tY           （28） LY  和 AY  分别表示   AALY  和   LALY  。两边同除以  tY ，并重写上述公 式的右端，得                                                      tR tL tL t tK tK t tA tA tA tY tY tA tL tL tL tY tY tL tK tK tK tY tY tK tY tY LK              （29） 这 里  tL 为 t 时 产 出 的 劳 动 弹 性 ，  tK 为 t 时 产 出 的 资 本 弹 性 ， 且                 tAtAtAtYtYtAtR  。 两 边 同 时 减 去    tLtL ， 并 应 用     1 tt KL  ，可得每工人平均产量增长率的一个表达式：                    tR tL tL tK tK t tL tL tY tY K          （30） Y 、L 和 L 的增长率易于测量。且我们知道，如果资本获得其边际产品， K 就可用资 本的收入份额数据来计算。  tR 用（30）的剩余来衡量。因此，（30）把每工人平均产量的 增长分解为每工人平均资本增长的贡献和一个余项即索洛剩余。索洛剩余有时被解释为对技 术进步的贡献的测度。然而，正如推导过程中可以看出的那样，它反映了所有的其他增长源 泉——除资本积累通过其私人收益所做贡献之外的所有其他增长源泉。 这种基本框架可以多种方式予以扩展（例如，参见丹尼森，1967 年）。最常见的扩展方 式是考虑不同类型的资本和劳动，并就投入品质量的变化作出调整。但更复杂的调整也是可 能的。比如，如果有不完全竞争存在的证据，我们可以试图调整收入份额数据，以更好地估 16 计产出对于不同投入品的弹性。 增长因素分析已被用于许多问题。比如，杨（1994）应用详尽的增长因素分析论证到， 过去 30 多年来中国的香港、新加坡、韩国和中国的台湾异常迅速的增长几乎全部是由于投 资增加、劳动力参与率提高，和劳动力素质的改善（用教育程度衡量），而不是由于技术进 步或影响索洛剩余的其他因素。 另举一例。增长因素分析已被广泛应用于研究生产率增长的放慢——自 20 世纪 70 年代 初开始的美国和其他工业化国家每工时平均产量增长率的下降（例如，参见丹尼森，1985； 贝利和戈登，1988；格里利克斯，1988；和乔根森，1988）。依据这些研究得出的一些备选 解释包括：工人技能增长更为缓慢，20 世纪 70 年代油价造成的混乱，发明活动增长率的放 慢以及政府管制的影响。 与哈罗德－多马模型的比较 哈罗德（1939）－多马（1946）模型。假定生产函数是里昂惕夫生产函数：       tLectKctY gtLK ,min 其中 Kc 、 Lc 、 g 均为正。 与索洛模型一样，    tnLtL       tKtsYtK  最后，假定    00 LcKc LK  生产函数       tLectKctY gtLK ,min 也是一个劳动增进型的生产函数，表明等产量 曲线为直角凸的形状。 1． k 的动态学，均衡的存在性 由 ALKk  ，用链式法则可得， AL AL K K k k )(   如果均衡存在，应该有 0 dt dk k 即 0 )(  AL AL K K k k  即 17 AL AL K K )(      tK tK （均衡的定义式） )]([ ])([ tKc tKc K K   )]([ )]([ tKc tKc K K      tK tK       tK tKtsY        tK tsY ——实际增长率 )()( ])()([ tLtA tLtA  （均衡的定义式） )]([ ])([ tLec tLec gt L gt L   )]([ )]()([ tLec tLetgLec gt L gtgt L        tL tLtgL        tL tnLtgL   ng  ——自然增长率 要达到平衡增长路径，必须满足：两个增长率相等。 ∴     )()( ])()([ tLtA tLtA tK tK       gn tK tsY  18 实际增长率＝自然增长率 这意味着，两种要素不能自由替代，沿着固定的路径扩张产量是最优的。 即，两种要素投入的技术系数是固定的，     K gt L c ec tL tK  为一个固定的常数。 2．直角凸的等产量曲线的性质 如果对于所有 t ，有：    tLectKc gtLK  成立 则：      tLectKctY gtLK  意味着按照最优路径增加产量。 实际增长率      tK tsY      tK tKscK  Ksc ——有保证的增长率、满意的增 长率 如果按照最优路径增长，则意味着      tLectKctY gtLK  K L 直角凸的等产量曲线 19       Kscgn tK tsY 实际增长率＝自然增长率＝有保证（满意）的增长率  Kscgn 如果 Kc 、 g 、 s 、 和n 由不同因素决定，无理由期望这一条件成立。 “刃锋”上的增长 3．如果偏离最优增长路径，则意味着劳动力： 按照最优增长路径：      tLectKctY gtLK  需要的劳动力数量为：     gt L K ec tKc tL  实际失业量为     gt L K ec tKc tL   tL u 实际失业量 实际失业率     tLec tKc gt L K1    tLec tKc u gt L K1 )]([ ])([ )]([ ])([ )1( )1( tLec tLec tKc tKc u u gt L gt L K K     ∵ 如果 )]([ ])([ )]([ ])([ tLec tLec tKc tKc gt L gt L K K   即， 0 )1( )1(    u u 如果 01 u 即， 20 0)1(  u 0u ∴ 0 dt du ——→u 与 t 同方向变动，随着时间的推移，失业率会不断上升。 4．如果偏离最优增长路径，则意味着资本： 按照最优增长路径      tLectKctY gtLK  ， 需要的资本数量为：     K gt L c tLec tK  资本的利用率为    tKc tLec r K gt L )( ])([ )]([ ])([ tKc tKc tLec tLec r r K K gt L gt L   如果 )]([ ])([ )( ])([ tLec tLec tKc tKc gt L gt L K K   即， 0 r r 如果 0r 即： 0 r r ∴ 0 dt dr ——→ r 与 t 反方向变动，随着时间的推移，资本利用率会不断下降。 哈罗德－多马模型的结论：只要市场机制不完善（要素不能自由替代），经济依靠自身 的力量就很难实现稳定增长。 21 与索洛模型相关的几个问题 索洛模型中的要素收入 在索洛模型中，生产函数  ALKFY , ，产出 Y 对 K 、 AL 的规模报酬不变， ALKk  。假定对资本和劳动均按其边际产品支付报酬。用w表示   LALKF  , ，r 表 示   KALKF  , 。则： （1）劳动的边际产品为     kfkkfA  ；资本的边际产品为  kf  产出Y 对 K 、 AL 的规模报酬不变， ALKk       ALKALfkALfALKFY  , 因此，                   kfkkfA kfkfALKA kAfALKkfALLALKF    2,       kfALkfALKALKF  1, （2）如果劳动和资本均按其边际产品取得报酬w、 r ，规模报酬不变意味着：生产要素总 收入等于总产量。也即在规模报酬不变的情形下，  ALKFrKwL , 对劳