《線性代數的幾何意義》之三(行列式的幾何意義)

--------图图解解线线性性代代数数-------- 线线线性性性代代代数数数的的的几几几何何何意意意义义义 之之之（（（333））） 任任广广千千 胡胡翠翠芳芳 编编著著 -2 2-1 1 -1 y x0 22001100..0066..0011 《线性代数的几何意义》 ================================================================================= 第 2 页， 共 2 页 几几何何意意义义名名言言录录 没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方 式来表达事物是非常有意义的。 -------笛卡尔 算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式； 没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。 --------希尔伯特 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓 慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展， 则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是 行尸走肉。 --------柏拉图 无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。学习一条数 学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思 路弄明白了, 我才认为真正懂了。--------中国当代数学家徐利治 第三章 行列式的几何意义 在中国古代，用筹算表示联立一次方程未知量的系数时，就有了行列式的萌芽-----排列的方 式。日本吸收了这种思想，在 1683 年，日本学者关孝和（Seki Takakusu）对行列式的概念和它的 展开已有了清楚的叙述。到 18 世纪，瑞士数学家克莱姆（G.Gramer）和法国数学家拉普拉斯 （P.S.Laplace）建立了行列式理论。 行列式的几何意义具有深刻的含义。它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有 向体积。这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。在我们逐步地讨论这个几何 意义之前，先来回顾一下行列式的定义。 3.1. 行列式的定义 行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算而得到的一个数。当然，如果行列式中 含有未知数，那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。矩阵 只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。 行列式分阶，比如二阶行列式、三阶行列式直至 n 阶行列式。下面我们罗列了各阶行列式的定 义（以拉普拉斯展开定理的形式给出了定义，这样可以使各阶行列式看起来有规律），以方便后面 的论述： z 一阶行列式： 1 1a a= 一阶行列式就等于元素a 自己。各位看官注意啊，a 值可正可负，行列式两条竖线的记号不要 当成绝对值的符号。 1 1 z 二阶行列式 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 a a a b a b a b a b b b = ⋅ − ⋅ = − 1 这个结果是不是很面熟？有点像三维向量叉积的第三个元素。你看， 。注意叉积是和有向面积联 系在一起的。 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , ) ( , , ) ( , , )a a a b b b a b a b a b a b a b a b× = × = − − −a b z 三阶行列式 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 a a a b b b b b b b b b a a a c c c c c c c c c = ⋅ − ⋅ + ⋅ 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1a b c a b c a b c a b c a b c a b c= + + − − − 《线性代数的几何意义》 三阶行列式的计算比较常用，务必记住上式。上式帮助记忆之经典的展开运算法是对角线法， 这个大家都知道，不再多讲。但为使对角线法看起来更有规律，这里稍稍改变了一下，图如下： a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 把行列式的元素依序排在圆柱体的外圆上，沿右下方向的乘积顺序得到正符号（左图），沿左 下方向的乘积顺序得到负符号（右图）。如果把圆柱体拓扑变形为圆锥体，它的顶视图如下，运算 顺序很有规律和美感，如下： ================================================================================= 第 2 页， 共 32 页 - - - + + + c3 b3 a3 b1 a1c1 a2 b2 c2 图中，行向量沿圆的逆时针方向排列元素，列向量沿原的半径方向排列。乘积项的元素分布在 各个半圆弧上。 z 四阶行列式 11 12 13 14 22 23 24 21 23 24 21 22 2321 22 24 21 22 23 24 11 32 33 34 12 31 33 34 13 31 32 34 14 31 32 33 31 32 33 34 42 43 44 41 43 44 41 42 44 41 42 43 41 42 43 44 a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ a 11 22 33 44 11 22 34 43 11 23 34 42 11 23 32 44 11 24 32 43 11 24 33 42 12 21 33 44 12 21 34 43 12 23 34 41 12 23 31 44 12 24 31 43 12 24 33 41 13 21 32 44 13 21 34 42 13 22 34 41 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + − + − + − − + − + − + + − + − 22 31 44 13 24 31 42 13 24 32 41 14 21 32 43 14 21 33 42 14 22 33 41 14 22 31 43 14 23 31 42 14 23 32 41 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + − − + − + − + 《线性代数的几何意义》 可惜，在四阶以上的行列式中，没有了以上三阶行列式的特有美感的运算图解。这说明行列式 的几何本质远没有如三阶行列式的图解一样简单。再者，手算四阶行列式很是恐怖，在 MATLAB 横行的年代也没此必要。把四阶行列式的展开算式罗列在此，只是给诸位一个感性认识。 z N 阶行列式 11 12 13 1 22 23 2 21 23 2 21 22 2 1 21 22 23 2 1 11 12 1 2 3 1 3 1 2 3 ... ... ... ... ... .................. ...................... ... ( 1) ..... ...................... ... ... ... n n n n n n n n nn n n nn n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n− += ⋅ − ⋅ + + − ⋅ 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ... ) ............... ... ( 1) ... . n n n n nn t j j nj j j j a a a a a a − = −∑ 式中， 1 2... nj j j 是1 的一个排列，, 2,...n 1 2( ... )nj j j ∑ 表示对 1 2... nj j j 取遍1 的一切, 2,...n 1 2( ... n )j j j 排列求和， 为排列t 1 2... nj j j 的逆序数。 N 阶的行列式的展开有 个乘积项，这些乘积项具有统一的表达式，因而具有统一的规律。通 过观察以上各阶行列式的定义式，我们至少看到有两个小规律。一个规律是 n 阶行列式可以化为更 低一阶的 n-1 阶行列式的和，这将会帮助我们简化行列式的计算。另一个规律是 n 阶行列式实际上 是不同行不同列的 n 个元素的乘积项的代数和（和或差，每项符号由置换的逆序数的奇偶性决定）。 在前面的向量一章中，我们介绍了向量的张量积，现在看来，行列式实际上是 n 个行向量的张量积 中的部分结果。这个部分项的和具有独立的代数及几何意义，因而在线性代数中占有一席之地。 !n 行列式的几何意义是什么呢？概括说来有两个解释：一个解释是行列式就是行列式中的行或列 向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；另一个解释是矩阵 A 的行列式 detA 就是线性 变换 A 下的图形面积或体积的伸缩因子。 这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。但具有相同的几何本质， 因为矩阵 A 表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵 E 的所表示的单位面积或体积（即 正方形或正方体或超立方体的容积等于 1）的几何图形而言，伸缩因子本身就是矩阵矩阵 A 表示的 几何图形的面积或体积，也就是矩阵 A 的行列式。 一个 2×2 矩阵 A 的行列式，是 A 的行向量（或列向量）决定的平行四边形的有向面积。 用几何观点来看，二阶行列式 1 2 1 2 a , a D ,b b = 是xoy平面上以行向量 ( )1 2a a=a ， ( )1 2b b=b 为邻 边的平行四边形的有向面积：若这个平行四边形是由向量 沿逆时针方向转到b 而得到的，面积取 正值；若这个平行四边形是由向量a 沿顺时针方向转到 而得到的，面积取负值；若 与 张成的平行四边形的有向面积符号相同，称他们有相同定向。所以平面上平行四边形有两种定向。 a b a,b ' 'a ,b 类似地，三阶行列式的值就是它的三个向量在Oxyz空间上张成的平行六面体的有向体积。这里 空间平行六面体也有两种定向：当 构成右手系时，体积正值；当 构成左手系时，体积,a,b c ,a,b c ================================================================================= 第 3 页， 共 32 页 《线性代数的几何意义》 取负值。这同时启发我们可以把n阶行列式定义为n个n维平行多面体的有向容积。 关于伸缩因子的几何解释，需要引入矩阵的概念。行列式被看作对矩阵的某种运算，并反映了 矩阵的特定性质。实际上也是这样。 假设 A 是一个列向量（或行向量）为 的 2×2 矩阵。那么，这里的线性变换 A 是指将,a b 2R 中 的单位正方形变成 2R 中以 为邻边的平行四边形；如果原图形为一个园，则线性变换 A 将之变 成一个椭圆。 ,a b 同样，在 3×3 的情形下，A 将 3R 中的一个单位立方体映射成 3R 中由 A 的列向量确定的平行 六面体；如果原图形为一个球，则线性变换 A 将之变成一个椭球。 一般地，一个 n×n 矩阵 A 将 nR 中的单位 n 立方体变成 nR 中由 A 列向量确定的 n 维平行体。 对非单位正方形(立方体或超立方体)以同样的方式变换，即伸缩因子为 原域的容积 像域的容积 而 n×n 矩阵 A 的行列式 detA 就是这个伸缩因子。 下面我们主要从向量及其张成的面积和体积的几何图像的角度分别就二阶和三阶行列式给出 其几何意义，为了较深入的理解其几何含义，我们逐个地解释了行列式的主要性质。（从矩阵的线 性变换的角度讲解行列式的伸缩因子的几何意义的内容放在了矩阵一章“矩阵的行列式”一节里 面）。 3.2. 二阶行列式的几何意义 二阶行列式的几何意义 顺便先把一阶行列式的意义说一下。 一阶行列式 1a a= 1 。意思就是 的一阶行列式就是数 或者讲是向量 的本身，这个数 的 本身是一维坐标轴上的有向长度。这里我强调的是有向的，长度是有向的，是个向量，这一直是个 很重要的概念。 1a 1a 1a 1a 0 a1 再回来，我们继续讨论二阶行列式。 ================================================================================= 第 4 页， 共 32 页 《线性代数的几何意义》 二阶行列式 1 2 1 2 a , a D ,b b = 的几何意义是xoy平面上以行向量 ( )1 2a a=a ， ( 1 2 )b b=b 为邻边的平 行四边形的有向面积。为什么？其实，我们可以推导出来这个几何意义的： 我们来考察这个平行四边形与构成它的两个向量之间的关系。 S(a,b) β α b a y x0 a1 a2 b2 b1 我们在二维几何空间 2R 中取定一个直角坐标系 [ ]1 20; ;e e ，设 ， ，则以 为边的平行四边形的面积为： 1 1 2 2a a= +a e e 1 1 2 2b b= +b e e ,a b (S abSin= 〈 〉a,b) a,b 这里： 2 21 2a a a= + ， 2 21 2b b b= + ， Sin〈 〉a,b 为向量 之间的夹角正弦。 ,a b ( )Sin Sin Sin Cos Cos Sinα β α β α〈 〉 = − = −a,b β ， 参照图中的关系把三角式用坐标值表示出来： 则 2 1 1 2 1 2 2 1, b a b a a b a bSin b a b a ab −〈 〉 = ⋅ − ⋅ =a b 把上式整理得： 。 1 2 2 1,abSin a b a b〈 〉 = −a b 又 1 2 1 2 2 1 1 2 , , a a a b a b b b = − ================================================================================= 第 5 页， 共 32 页 《线性代数的几何意义》 因此 ( ) 1 2 1 2 , , a a S b b =a,b 至此可以得到，二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积。另外， 两个向量的叉积也是这个公式。在向量一章中向量叉积的一个公式就是 0( sin )ab θ× =a b n 这里， 是垂直于a 和b 展成的平面的单位向量。 0n 因此，二阶行列式的另一个意义就是是两个行向量或列向量的叉积的数值，这个数值是 z 轴上 （在二维平面上，z 轴的正向想象为指向读者的方向）的叉积分量。如果数值是正值，则与 z 坐标 同向；负值就与 Z 坐标反向。如果我们不强调叉积是第三维的向量，也就是忽略单位向量 ，那 么二阶行列式就与两个向量的叉积完全等价了。 0n 二阶行列式性质的几何解释 下面，我们仍然从向量的角度来解释或证明二阶行列式的几个主要性质。 性质 1 1, 2 1 2 2 21 2 , ,, a a ka ka k b bb b = ，k 为实数； 这个性质是说，一个实数乘以行列式等于一个行向量乘以这个实数的行列式。几何解释就是 两个行向量 所张成的平行四边形的有向面积的 k 倍面积等于这样两个 向量 所张成的平行四边形的面积，也就是 。 1 2 1 2( , ), ( , )a a b b= =a b 1 2 1 2( , ), ( ,k ka ka b b= =a b ) ( , ) ( , )S k kS=a a a b 通过下面的图例容易得到几何解释。 s(ka,b) s(a,b)S(a,b) b a b a ka 0 0 图中， 可以看作以a 为底的平行四边形的面积， 是以 为底的平行四边形的( , )S a b ( , )S ka b ka ================================================================================= 第 6 页， 共 32 页 《线性代数的几何意义》 面积，高相同。因此，向量a 变化了 k 倍，面积也变化了 k 倍。 性质 2 1, 2 1, 21 2 1 1 2 ================================================================================= 第 7 页， 共 32 页 看图之温馨提示 2c 1 2 1 2 , , , , a a a aa a b c b b b c c = ++ + 对于三个向量 1 2 1 2 1 2( , ), ( , ), ( , )a a b b c c= = =a b ，那么向量 a 和 b 张成的平行四边形有向面 积与向量 a 和 c 张成的平行四边形有向面积之和等于向量 a 和 b+c 张成的平行四边形有向面积，即 c ( , ) ( , ) ( , )S S S+ = +a b c a b a c 。 下面的三个图形对此进行了图解说明。 s(a,c) s(a,b)s(a,b) s(a,c) b c a b a c c0 0 s(a,b+c) s(a,c) s(a,b) b a c b+c FE 0 A C G 我们在“向量叉积的分配律的几何解释 2”中应用有向面积的概念解释了叉 积的分配率。因为二阶行列式等同于叉积运算，因此具有类同的几何意义， 它们都是一个意义：有向面积满足三角形法则。 性质 3 1, 2 1 2 0 , a a ka ka = 此行列式是说两行对应元素成比例，则行列式为零。 对于两个向量 1 2 1 2 1 2( , ), ( , ) ( , )a a ka ka k a a= = =a b ，显然成比例，比例系数为 k。如果把成比 《线性代数的几何意义》 列的两个向量的始端都移动到原点，则两向量会在同一条直线上，显然围成的四边形的面积为零， 即 ，因此行列式为零。 ( , 0S =a b) 当然如果两个向量相同，同样道理，行列式的值也为零。 b a y x00 a2 ka2 a1 ka1 性质 4 1, 2 1 2 1, 21 2 , , a a b b a ab b = − 交换行列式的两行则行列式换号。 这个性质由行列式的叉积特性得到，交换行列式的两行，就是改变了向量 a 和向量 b 的叉积顺 序，根据 ，因此行列式换号。由此我们得到一个印象：就是一个给定的行列式，它的 行向量顺序也给定了，不能随意改变其顺序。 × = − ×a b b a 性质 5 1, 2 1 2 1 1 21 2 , ,, a a a a b a b ab b 2λ λ= + + 把行列式的一行的 k 倍加到另一行，则行列式值不变，即 ( , ) ( , )S S k= +a b a a b 。 ================================================================================= 第 8 页， 共 32 页 《线性代数的几何意义》 S(a,ka+b) S(a,b) b a ka ka+b 0 I H 由图，两个平行四边形阴影的面积相等，因为这两个平行四边形同底（都等于 ）同高。显然， 把行列式的一行的 k 倍加到另一行的操作，相当于把原平行四边形在保持同底同高的情况下发生了 切变。 a 性质 6 1, 2 1 1 2 21 2 , ,, a a a b a bb b = 矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。 如果要讲清楚转置行列式的几何意义必须再一次使用行列式叉积的定义。另外，我们要回顾向 量一章中两个向量的叉积的解析定义及意义。从前面的分析知道，两个向量的叉积等于这两个向量 的各个分量（各坐标轴方向的分量）分别进行叉积的求和。 各个分量互相垂直，因而进行叉积运算张成的四边形是方形的面积。 对于二阶矩阵的行列式 1, 2 1 2, a a b b ， 和1a i 2b j叉乘得到的四方形 的有向面积是 ， 和1 2Oa Bb 1 2a b 2a i 1b j叉乘得到的 的有向面积是- （注意是负值！）。 1 2Oa Bb 2 1a b 所以矩阵的行列式 1, 2 1 2, a a b b =“ 的有向面积”+“ 的有向面积”= 。从 几何图形上看，行列式等于大四方形的面积减去小四方形的面积（因为小四方形是负向面积）。 1 2Oa Bb 1 2Oa Bb 1 2 2 1a b a b− ================================================================================= 第 9 页， 共 32 页 《线性代数的几何意义》 b a y x b a x a' b' y AA 00 B 0 B 0 C a2 b2 a1b1 a2 b2 a1b1a'2 b'1 行列式 1 2 1 2 , , a a b b =a b 转置后得到 1 1 2 2 ,' ' , a b a b =a b 。重新对这个新的行列式进行分量叉积运算。 我们会发现，大四方形没有变化，而小四方形进行了基于 xy 角平分线的镜像变化。有向面积 的绝对值和方向都没有变化。因而 1 2 2 1 ' ' a b a b= = −a a b b 性质得证。 下面是上述转置行列式的具体数据，用于帮助读者得到具体感知。数据如下： 1, 2 1 2 5, 2 5 7 2 3 29 3,7, a a b b = = × − × = 。 大长方形的面积是 35，小长方形的面积是 6，差为行列式的值。行列式转置后， 1 1 2 2 , 5,3 5 7 3 2 29 , 2,7 a b a b = = × − × = 。 大长方形的面积是仍然是 35，小长方形经过基于 y=x 直线的镜像或者对折，面积仍然是 6，差 为行列式的值不变。 ================================================================================= 第 10 页， 共 32 页 《线性代数的几何意义》 y=x b a x a' b' y A B 0 C 2 7 532 3 矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式这条性质同时揭示了一个认识就是：按矩阵行向量构成 的平行四边形的有向面积等于列向量构成的平行四边形的有向面积；换句话讲，对于矩阵的行列式 几何意义，处理成行向量的图形与处理成列向量的图形是等效的。 一下，前面的行列式的性质在变换时总可以归结到下面的的三个变换性质： （1）用一个数k乘以向量 中之一的a ，则平行四边形的面积就相应地增大了k倍； ,a b （2）把向量 中的一个乘以数k之后加到另一个上，则平行四边形的面积不变； ,a b （3）以单位向量(1，0)，(0，1)构成的平行四边形(即单位正方形)的面积为1。 这三条性质，便是我们用公理化的方法定义行列式的几何背景。 3.3. 三阶行列式的几何意义 一个 3×3 阶的行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。这个结论可以从 两个向量所张成的平行四边形推知。如下图所示。 S b c a p h 0 由两个向量 张成的平行四边形为,a b 0 Pa b ，面积 S 为 构成的行列式。那么沿着第三个向,a b ================================================================================= 第 11 页， 共 32 页 《线性代数的几何意义》 量 方向生长出无数个平行于原四边形的新的平行四边形来，直至到向量 的末端为止。显然，所 有的这些平行四边形构成一个以向量 为棱的平行六面体，这些四边形的面积叠加起来正是平 行六面体的体积。 c c , ,a b c 下面我们对 3×3 阵的行列式基本性质的几何意义进行解释。为了书写及描述方便，我们以 det （列向量）的方式表述三阶行列式。列向量用大写的a, 来表示。那么，b,c,d 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , det( ) , , , , a b c a b c a b c =a,b,c 。 性质 1 det( ) det( ) det( )= +a,b,c + d a,b,c a,b,d 一个行列式可以通过拆分某一个列向量得到两个行列式的和。 看看这个性质的数学表达式，把 det 看作算子，有点像分配律的公式什么的。几何解释如下图 示。 ================================================================================= 第 12 页， 共 32 页 c+d a b c+d c a b c d d 0 0 这里，把行列式 的第三列拆分，变成两个行列式det 和det 。三 阶行列式可以看作是平行六面体的有向体积。上图左表示由向量 张成的平行六面体代表行列 式 ，上图右表示由向量a, 张成的平行六面体代表行列式det 。这两个平行六 面体共有一个底面积 。这两个平行六面体的和就是由向量a, 张成的粗实线平行六 面体de 。 det( )a,b,c + d ( )a,b,c ( )a,b,d a,b,c det( )a,b,c b,d ( )a,b,d det( )a,b b,c +d t( )a,b,c + d 实际上，我们把灰色的六面体 上移，摞在六面体 上，刚好得到六面体 。显然，他们的棱向量 ，d ，c + 满足向量和的三角形法则。 det( )a,b,d det( )a,b,c det( )a,b,c + d c d 《线性代数的几何意义》 c+d a b c d d 0 看图之温馨提示 和前面的有向面积满足三角形法则类似，这里的有向体积同样满足三角形法则。为了更清楚地表达有向面积的三角形法则，把上图变形，得到下面的明显的立 方三角形图形。 ================================================================================= 第 13 页， 共 32 页 c+d a c b d 0 性质 2 det( ) 0=a,a,c 行列式的有两行或者两列元素相同，它对应的空间平行六面体的两条邻边重合，相当于三维空 间中六面体被压成了高度为零的二维平面，显然， 这个平面的三维体积 为零。如下图 所示。 det( )a,a,c 《线性代数的几何意义》 a c b b' 0 上图中，我们把平行六面体det 中的棱向量b 以坐标原点为轴沿一弧线下压（六面保持 对应面平行）切变为det ，显然六面体的高度变小了，行列式值变小了。继续下压，直到 重合与 ，即变成了 ，平行六面体变成了一个平行四边形平面。 ( )a,b,c ( ' )a,b ,c 'b a det( )a,a,c 性质 3 det( ) det( )= −a,b,c b,a,c 一个行列式对应着一个数值，这个数值是对行列式中的元素经过运算得到的。这个运算是与元 素的位置有关系的，因此你改变了行列式中列向量或行向量的位置当然会改变行列式的结果。幸而 只改变结果的符号。一般地， 一个行列式的值对应矩阵 A 的列向量的一个固定顺序。当 detA 为负 值时，它确定原象的一个反射。所以，这种变换改变了原象的定向。 实际上，de ， 因此如果交换 了向量 的位置，也就是改变了叉乘的顺序，因此叉乘结果改变了方向，也即改变符号。 t( ) ( ) ( ) det( ) det( )= × ⋅ = − × ⋅ = − = −a,b,c a b c b a c b,a,c b,a, c a,b a b c -c axb bxa 0 如图，阴影的平行六面体 ，det( )a,b,c ×a 的方向与向量 同向（据右手法则）；当向量 的 位置交换后，b 的方向与 相反，因而与向量c 点乘后得到向下的平行六面体。所以平行六 b c a,b ×a ×a b ======== ===== === ==== ======================== 第 14 页， 共 32 页 ======= =================== ===== === === 《线性代数的几何意义》 ============ =================================================== 第 15 页， 共 32 页 ( )b,a,c ( )a,b,c b k ================== 面体det 和det 以a, 张成的平面为镜面互为反射。 性质 4 det( ) det( ) det( ) det( )k k k= = =a,b,c a,b,c a, b,c a,b, c 这就是说，平行六面体的体积的 k 倍等于六面体的三条棱中一条棱长的 k 倍。这是显然的。因 为立方体的体积增大可以沿着立方体某一棱方向增大相同的倍数。如下图： a b c kb ka kc 0 性质 5 det( ) det( )k= +a,b,c a,b, a c 此性质表述了以 为底面积的平行六面体在 方向上进行了切向变换，变换的后的六面体 因为底面积不变，高也不变，因此体积不变。 ×a b a 下图中，原有六面体 ，是由向量a, 张成。向量 乘以一个负值的 k 值后与向量 相加后得到新的向量 ，三个向量 det( )a,b,c b,c a c k +a c k +a,b, a c构成了一个新的平行六面体det( )k +a,b, a c ， 这个六面体与原六面体det 同底等高，因而体积相同。 ( )a,b,c b ka+c c aka 0 《线性代数的几何意义》 右图向量a 乘以一个正值的 k 值后与向量c 相加的结果，与作图类似。 a b ka+c c ka0 通过观察，我们发现，切变后的平行六面体与 k 值无关。K 值不同，向量 终端在始终在 一条与向量 平行的直线上滑动，因而保持了六面体的等高。 k +a c a 性质 6 det det=A A' 矩阵 A 的行列式等于矩阵 A 转置的行列式。 为了便于讨论，我们把三阶行列式及其转置行列式的按照第一行元素展开式列举在这里： 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 det( ) a a a b b b b b b A b b b a a a a b c a b c a b c a b c a b c a b c c c c c c c c c c = = ⋅ − ⋅ + ⋅ = + + − − − 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 det( ') a b c b c a c a b A a b c a b c a b c b c a c a b a c b b a c c b a b c a c a b a b c = = ⋅ − ⋅ + ⋅ = + + − − − 显然，上述两式是相等的。这个相等有里外两层几何意义可以解释。先说外层的几何解释： 对照一下这两个图片： 左图是行列式展开时元素相乘的计算图，右图是行列式转置时以 为反射轴的元素交换 图。行列式转置顺序与计算顺序多么一致，怪不得不改变结果呢。 1 2 3a b c ================================================================================= 第 16 页， 共 32 页 《线性代数的几何意义》 行列式和它的转置相等还有一个深层次的几何意义，可以在下面逆序数的几何意义中得到体 现。行列式的乘积项及其逆序数的几何意义实际上是行列式最根本的几何意义，因而可以解释所有 的行列式的定义及其性质。后面的章节我们会逐步探讨到这个重要的课题。 ：什么是向量张成的平行四边形及平行六面体？ 以两个从原点出发的向量为邻边可以画出一个平行四边形；以三个从原点出发的不同方向向量 为相邻的棱可以画出一个平行六面体，这个平行六面体与立方体仿射等价。 ================================================================================= 第 17 页， 共 32 页 α2 α1 0 p0.5α1 0.5α2 上图中是以两个向量α 张成的平行四边形0 ，在这个平行四边形中有无数的向量， 这些向量统统满足线性组合 k k 的定义。比如，对角线向量 0P 是最大的向 量，满足 k k 的条件；α 上的向量满足 ,1 2α 2 k k+ ≤ ≤1 2α α = = 2 P1α α 1 2 1 2(0 , 1) 1 2 1 P1 1 1, 0 1k k= ≤ ≤ 的条件等等。 我们可以推广到 n维欧几里德空间中的 m个向量张成的 m维超平行多面体。如果这 m个向量表 示为α ，那么这个 m维超平行多面体是由以下无穷个向量 1 2 m,α ...α 1 2 1 2... (0 , ... 1)m mk k k k k k+ + ≤ ≤1 2 mα α α 组成的。 在后面的章节中，我们还要讨论由向量张成的空间的概念。这时候，实数 的范围不是在区间 之上了，而是整个实数域 ，因此空间的范围也将变得无穷大的了。 ik [0,1] R 3.4. 行列式化为对角形的几何解释 一个行列式的第 i 行加上 j 行的 K 倍，可以使第 i 行的某一个元素变为 0，而这个行列式的值不 变。这个性质在化简行列式时非常有用。在前面的二阶和三阶行列式的性质中我们也已看到了它的 《线性代数的几何意义》 几何意义。不过前面对它的几何解释一般都是使用向量的“箭头”的图形形式给出的，没有考虑向 量的元素的变化的几何意义。在本阶中我们就此性质的应用过程中来探究行列式中每一个元素的几 何意义。 ================================================================================= 第 18 页， 共 32 页 ) 把一般二阶行列式化为上对角形式的行列式，只要把行列式第二行第一列化为 0 就可以了。因 此，第一行向量元素 乘以-1 2(a a 1 1 b a (设 1 0a ≠ )后加到第二行上，即可得到如下的三角式： 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 a a a a a b a b b b a = − 继续化简，把第二行的元素 1 2 2 1 1 (0 )a b a b a − 乘以 1 2 1 2 2 1 a a a b a b − − 后加到第一行上，得到如下的 对角形行列式： 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 0 a a a a b a b b b a = − 这个化简的过程我们可以有一个很形象的几何变化过程。 顺 序 描述 对应的几何图形 1．1 一个二阶行列式 1 2 1 2 a a b b 。 其值等于右图阴影平行四边形的有 向面积。 5 x1 6 4 2 x2 aa2 a1 b1 b b2 0 《线性代数的几何意义》 1．2 化简到如下的三角式： 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 a a a a a b a b b b a = − 。 其几何变化过程是向量b 沿着 的平行线 ，滑行到 0a 'b b 2x 坐标轴 上，此时 化为 0。显然两个阴影平 行四边形面积不变。 1b 5 x1 6 4 2 x2 a b' b1 b2 a2 a1 b 0 继续化简到对角形： 1．3 x2 ================================================================================= 第 19 页， 共 32 页 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 0 0 a a a a b a b b b a = − 。 其几何变化过程是向量a 沿着 的平行线 ，滑行到 0b 'a a 1x 坐标轴上， 此时 化为 0。显然三个阴影平行 四边形面积相同。 2a 5 x1 6 4 2 a' b' b2 a1 a b 0 1．4 至此，一个二阶行列式所表示的平行四边形被变成了一个对角行列式所表示的正（长）方 形。 三阶行列式有类似的变换情形，对角化的过程会把一个平行六面体变化为一个等体积的立方体 或长方体。具体的图形不再绘出。 那么 n 阶行列式我们亦不怀疑的认为也可以被表示成一个 n 维的长方体的几何图形。这个结论 对于我们理解行列式的展开式很有帮助。 3.5. 行列式乘积项的几何意义 n 阶行列式的展开式是乘积项 1 21 2 ( 1) ... n t j j na a a− j 的和，这些乘积项其实也可以有几何解释的。 下面我们详细的了解一下各阶行列式的情况。 《线性代数的几何意义》 二阶行列式乘积项的几何意义 对于二阶行列式而言，既然二阶行列式的几何图形是一个有方向的面积，那么从二阶行列式公 理化定义 1 2 1 2 2 1 1 2 , , a a a b a b b b = − 看，又是如何构成这个面积的呢？显然，式中 项和 项的和 构成了这个面积。 项和 项又是什么呢？易知， 是向量 在 1 2a b 2 1a b− 1 2a b 2 1a b− 1a a 1x 轴上投影， 是向量 在2b b 2x 轴上投影， 项是a 在1 2a b 1x 轴上投影和 在b 2x 轴上投影所围成的长方形面积。同样知道， 2 1a b− 项是a 在 2x 轴上投影和b 在 1x 轴上投影所围成的长方形面积，不过这个面积表达式表现为负数的 表达式。如下如图中长方形阴影的面积： ================================================================================= 第 20 页， 共 32 页 a1b2 -a2b1 6 x2 4 2 -2 a b x1 b2 b1 0 a1 a2 这里有两个问题要注意： 1、 因为二阶行列式表达的是向量a 和b 所围成的面积，因此向量 自己的分向量 和 围成的面积 不在统计范围之内，向量b 自己的分向量围成的面积 也不在统计 范围之内； a 1a 2a 1 2a a 1 2b b 2、 向量 的分向量 和向量 的分向量 围成的面积 要统计，但可惜的是a 1a b 1b 1 1a b 1 1 0a b = ， 因为两个分向量投影到同一根坐标轴 1x 上。同样的理由， 。 2 2 0a b = 前面我们在解释二阶行列式的转置时讲过，两个向量的叉积等于这两个向量的各个分量（各坐 标轴方向的分量）分别进行叉积的求和。各个分量互相垂直，因而进行叉积运算张成的四边形是方 形的面积。向量 的叉积（有向面积）等于每个向量的分向量所有可能的叉积之和。因为在直角 坐标系下，向量 落在同一坐标轴上的分量叉积显然为零。因此进行叉积的分量必然是不在的坐 ,a b ,a b 《线性代数的几何意义》 标轴上。 1 2a b 项和 项都是有向面积， 项的面积和此二阶行列式的面积方向相同，因此符号为 正， 项的面积和此二阶行列式的面积方向相反，因此符号为负。 2 1a b− 1 2a b 2 1a b− 那么二阶行列式的面积及其乘积项的面积的方向如何确定呢？对二阶行列式来说，有不同的方 法可以确定，我们这里使用叉积的右手法则来判断。这里，我们把行列式 1 2 1 2 , , a a b b 看作由两个行向量 所组成，其中排在第一行的元素组成第一个向量,a b 1 2( , )a a=a ，排在第二行的元素组成第二个向 量 ，（看成两个列向量也有类似的结果，因为转置行列式值不变）。这是一个顺序，不 要错了。那么行列式 2 2( , )b b=b 1 2 1 2 , , a a b b 的面积方向就是由第一向量转向第二向量时右手大拇指所确定的方向。 ================================================================================= 第 21 页， 共 32 页 -S+S a b x1 x2 a b x1 x2 00 上图左，行列式的方向为指向读者；图右，行列式的方向指向页面内，背向读者。下图中，行 列式的方向是指向读者，那么，分向量 和 张成的长方形（右上角图块）面积的方向也是指向 读者的，因此面积为正，故记为 ；分向量 和 张成的长方形（左下角图块）面积的方向指 向页面内，背向读者，与行列式方向相反，因此面积为负，故记为 1a 2b 1 2a b 2a 1b 2 1a b− 。 《线性代数的几何意义》 + +a1b2 -a2b1 6 4 2 -2 x2 a b x1a1 a2 b2 b1 0 三阶行列式乘积项的几何意义 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3 a a a b b b a b c a b c a b c a b c a b c a b c c c c + + − − −＝依据三阶行列式的公式 ，与二阶行 列式的乘积项的几何解释类似，三阶行列式的乘积项如 等，可以看成具有有方向的 小长方体的体积。也就是说，在三阶方阵张成的三维平行六面体可以分解为一个个由各