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海伦公式

2017-09-20 8页 doc 21KB 58阅读

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海伦公式海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦,秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=? 而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2 ——————————...
海伦公式
海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦,秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发(未查证)。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=? 而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以 S=? 和S=?两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。 —————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出。 证明(1): 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*?(1-cos^2 C) =1/2*ab*? =1/4*? =1/4*? =1/4*? =1/4*? 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=? =? 所以,三角形ABC面积S=? 证明(2): 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积,直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”, 开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”。以?、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 q=1/4 当P,1时,? 2,q, S?=?{1/4} 因式分解得 1/16 =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得: S?=? 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦,秦九韶公式”。 S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a. 根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下: 已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边) 代入解得s=8? 3 海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有: 设?ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为?ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则 S?ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中,S?ABC = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 S= = ? = ? = ? = ? = ? 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析:先从三角形最基本的计算公式S?ABC = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。 证明:如图ha?BC,根据勾股定理,得: x = y = ha = = = ? S?ABC = aha= a× = 此时S?ABC为变形?,故得证。 证二:斯氏定理 分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:?ABC边BC上任取一点D, 若BD=u,DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明:由证一可知,u = v = ? ha 2 = t 2 = , ? S?ABC = aha = a × = 此时为S?ABC的变形?,故得证。 证三:余弦定理 分析:由变形? S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 ,2abcosC 对其进行证明。 证明:要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式,故得证。 证四:恒等式 分析:考虑运用S?ABC =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的 恒等式。 恒等式:若?A+?B+?C =180?那么 tg ? tg + tg ? tg + tg ? tg = 1 证明:如图,tg = ? tg = ? tg = ? 根据恒等式,得: + + = ???代入,得: ?r2(x+y+z) = xyz ? 如图可知:a,b,c = (x+z),(x+y),(z+y) = 2x ?x = 同理:y = z = 代入 ?,得: r 2 ? = 两边同乘以 ,得: r 2 ? = 两边开方,得: r ? = 左边r ? = r?p= S?ABC 右边为海伦公式变形?,故得证。 证五:半角定理 半角定理:tg = tg = tg = 证明:根据tg = = ?r = × y ? 同理r = × z ? r = × x ? ?×?×?,得: r3 = ×xyz ?由证一,x = = ,c = p,c y = = ,a = p,a z = = ,b = p,b ? r3 = ? r = ?S?ABC = r?p = 故得证。 三、 海伦公式的推广 由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三 角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S 四边形= 现根据猜想进行证明。 证明:如图,延长DA,CB交于点E。 设EA = e EB = f ??1+?2 =180? ?2+?3 =180? ??1 =?3 ??EAB,?ECD ? = = = 解得: e = ? f = ? 由于S四边形ABCD = S?EAB 将?,?跟b = 代入公式变形?,得: ?S四边形ABCD = 所以,海伦公式的推广得证。 四、 海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合 题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 例题:如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求:四边形可能为等腰梯形。 解:设BC = x 由海伦公式的推广,得: (4,x)(2,x)2 =27 x4,12x2,16x,27 = 0 x2(x2—1),11x(x,1),27(x,1) = 0 (x,1)(x3,x2,11x,27) = 0 x = 1或x3,x2,11x,27 = 0 当x = 1时,AD = BC = 1 ? 四边形可能为等腰梯形。 在程序中实现(VBS): Dim a,b,c,p,s a=inputbox("输入三角形第一边") a=cint(a) b=inputbox("输入三角形第二边") b=cint(b) c=inputbox("输入三角形第三边") c=cint(c) p=(a+b+c)/2 s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) msgbox s, ,"三角形面积"
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