不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系

不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系 黄小琳 (安康学院数学系 陕西 安康 725000) 摘 要: 非零复数Z有三种表示方法:代数形式、三角形式、指数形式。这几种表示方法可以相互转换，以适应讨论不同问的需要，且用起来各有其便。 在将复数转化成三角形式时，由于任意非零复数有Z无穷多个辅角，故因规定的取值范围的不同，将会产生不同的主辅角。本文将在不同定义一下，探讨辅角主值与反三角函数正切的关系。 关键字:主辅角;反正切;关系; 预备知识:1.复数Z的辅角:实轴正向到非零复数Z?x?iy所对应的向量OZ间的夹角合于tan??y x称为复数的Z辅角，记为??ArgZ. 2. 复数Z的主辅角:复数Z的辅角在某一特定范围内的一个特定值称为ArgZ的主值，即Z的主辅角，记为argZ。 对于一个复数Z?x?iy我们可以借助于平面上横坐标为x,纵坐标为y的点来表示，于是能够建立平面上全部的点合全体复数的一一对应关系。当然我们也可以用极坐标r与?来确定复数Z在平面中的位置:用向量OZ来表示复数Z?x?iy，其中x,y顺次等于OZ沿x轴与y轴的分量。则向量OZ的长度称为复数的模，用r表示;实轴正向与非零向量OZ间的夹角记为?，对于每一确定的(r,?)都有唯一的复数Z与之对应。 我们定义?为复数的辅角，显然对于任意复数Z有无穷多个辅角。于是 有规定在某一特定范围内复数Z的辅角的一个特定值为Z的主辅角。然而在不同定义范围内，辅角主值与反三角函数正切又有不同的关系。(注意:当Z?0时，辅角无意义。) 1. 对于任意非零复数 Z?x?iy，当 ???argZ??时，主辅角argZ与反正切Arctany x的关系 当向量OZ在平面第一，四象限时 ?arctan???????????,? arg???,? x?22??22?y ?arctany x?argZ 当向量OZ在平面第二象限时，如图: ?arctan?????????,0? arg??,?? x?2??2?y y x?? ?argZ?arctan 当向量OZ在平面第三象限时，如图: ?arctan?????0,? arg????,0? x?2?y y x???argZ?arctan 当OZ指向x轴正向时，??0;当OZ指向x轴负向时，???; ??? 2当OZ指向y轴正向时，;当OZ指向y轴负向时，???? 2; ? ?arctan ? ???x??2?argZ???arctan?Z?0?? ? ?arctan ? ????x??2yxx?0,y???0?;0,y?0?;yxyx???x?0,y?0?; ???x?0,y?0?;?0,y?0?. 2. 对于任意非零复数 Z?x?iy，当 0?arg?2?时，主辅角与argZ反正切 Arctany x的关系 y?x?0,y?0?;arctan?x? ???x?0,y?0?;?2?argZ??yarctan???x?0,y??0?; ??Z?0??x y?arctan?2??x?0,y?0?;?x? ?3??x?0,y?0?.??2 例1 设z??3?2i，且argZ????,??，则argz?_________________. A) arctan2 3 B) arctan3 2 C) arctan2 3?? D) arctan2 3?? 由题我们可判断出复数Z??3?2i所形成的向量OZ在平面的第三象限，又因为argZ????,??，由1的图表可得argZ?arctany x??，故选C. y x例2 设复数Z?3?4i,且argZ??0,2??,argZ与arctan 若argZ????,??，那么argZ与arctany x的关系为 _________;的关系又为_________。 由题我们可判断出复数Z?3?4i所形成的向量OZ在平面的第四象限，又因为argZ??0,2??，由2的图表可得则argZ?arctany x??;当argZ????,??，由 1的图表可得argZ?arctany x. 参考文献: [1]王彩凤. 多值函数单值连续分支的研究[J]. 运城学院学报 , 2004,(02) [2]刘宅成. 辐角函数与复多值函数[J]. 泰安师专学报 , 1996,(06) [3]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2000. [4]谢娟,邱剑锋.复变函数与积分变换教学改革研究与实践[J].合肥师范学院学 报,2009. [5]张元林.积分变换[M].第四版.北京:高等教育出版社,2006. [6]麻桂英.用Matlab 提高复变函数教学质量[J].阴山学刊,2009. [7]韩流冰. 关于复变函数几个问题的师生讨论[J]. 大学数学 , 1993, (S2)