圆锥曲线的谢国芳定理——继帕斯卡定理之后又一朵射影几何的奇葩

圆锥曲线的谢国芳定理 ——继帕斯卡定理和布列安桑定理之后又一朵射影几何的奇葩 谢国芳（Roy Xie） Email: roixie@163.com 摘要： 本文在帕斯卡定理和布列安桑定理的基础上得到了关于圆锥曲线的一个美妙深刻的新定理，作为推论证明了双心六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点。 关键词： 帕斯卡定理 布列安桑定理 极线 配极原理 双心六边形 Abstract: In this article we derive an elegant and deep new theorem concerning conic sections based on Pascal’s theorem and Brianchon’s theorem, and prove that the three diagonals and the three lines connecting two tangent points on each pair of opposite sides of a bicentric hexagon are concurrent as a corollary. Key words: Pascal’s theorem, Brianchon’s theorem, polar line, polar reciprocation, bicentric hexagon 帕斯卡（Pascal）定理和布列安桑（Brianchon）定理是关于圆锥曲线的两个基本定理，帕斯卡定理断言，圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线（见图1），其逆定理也同样成立，即如果一个六边形的三组对边的交点共线，则它的六个顶点在一条圆锥曲线上。 图1 帕斯卡（Pascal）定理 布列安桑定理是帕斯卡定理的对偶定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点[1]（见图2），其逆定理亦同样成立，即如果一个六边形的三条对角线共点，则它的六条边和一条圆锥曲线相切。 图2 布列安桑（Brianchon）定理 把帕斯卡定理和布列安桑定理合在一起，引发人思考这样一个有趣的问题（不知道之前有没有人想到过这一点呢）： 如果一个六边形既外接于一条圆锥曲线，同时其六条边又和另一条圆锥曲线相切，又将有怎样的结论呢？ 请读者务必先独立思考这个问题，一定要动手用几何画板或其他几何作图软件画几个图，做一些探索性的实验之后才看下面一页（倘若你不会画圆锥曲线，没关系，可以全部用圆代替），只有这样你才能切身感受到几何的巨大魅力和下面这个定理的神奇绝妙，匪夷所思： 定理1圆锥曲线的谢国芳定理 若一个六边形的六个顶点在一条圆锥曲线上，六条边和另一条圆锥曲线相切，则它的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点（见图3和图4）。 图3 图4 实际上，定理1中所描述的六边形可以称为“彭赛列六边形”，因为它正是满足著名的彭赛列闭合定理（Poncelet's Closure Theorem or Poncelet's porism）的六边形。法国人把该定理称为“le grand théorème de Poncelet”，译成中文即“伟大的彭赛列定理”或“彭赛列大定理”，可见其重要，实际上，它堪称是整个几何中最深刻伟大的定理，这并不是我个人的私见，像Richard Schwartz 等大数学家就是这么认为的，参见Dynamiser la géométrie élémentaire - introduction à des travaux de Richard Schwartz 一文（百度文库http://wenku.baidu.com/view/e39d9e09f78a6529647d536c.html），可惜国内对这个伟大的定理介绍极少。 关于彭赛列闭合定理的一个中文介绍参见 《伟大的彭赛列闭合定理的一个绝妙证明 — An Ingenious Proof of Poncelet's Closure Theorem》 网址：http://www.xieguofang.cn/Maths/GeometryTheorems/Poncelet_porism.htm 英文介绍参见 http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html 我们于是也可以把定理1等价地述为： 一个彭赛列六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点。 作为定理1的特例，我们有下面这个优美的平面几何定理：[2] 谢国芳双心六边形定理 一个双心六边形即既有外接圆又有内切圆（或旁切圆）的六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点（见下图）。 为了证明定理1，我们需要下面这个关键的引理。 引理1 谢国芳四边形引理 若一个四边形的四条边和一条圆锥曲线相切[3]，则两条对边切点的连线和两条对角线四线共点（见下图）。 该引理揭示了圆锥曲线的另一个重要的基本性质，可以找到很多应用，下面将它归结为布列安桑定理的极限情形加以证明。 证明： 如图7，设四边形 的四条边 , , , 分别和圆锥曲线 相切于点 ，在 上点 的邻近取两点 , 设过 的切线和过 的切线交于点 , 交 于点 , 交 于点 ；同样在 上点 的邻近取两点 , 设过 的切线和过 的切线交于点 , 交 于点 , 交 于点 。 应用布列安桑定理于六边形 ，可知其三条对角线 , , 共点，当点 和 无限趋近于点 , 点 和 无限趋近于点 时，点 分别无限趋近于点 ，点 和 分别无限趋近于四边形 的对边 和 上的切点 和 ，直线 , , 分别无限趋近于直线 , , , 由 , , 三线共点可推知 , , 三线共点。 同理可证 , , 三线共点，设 为 和 的交点，则 , , , 四线共点于 。证毕。 图7 有了引理1，我们就可以完成对定理1的证明了。 定理1（圆锥曲线的谢国芳定理）的证明： 如图8，设六边形的六个顶点 , ， , , , 在圆锥曲线 上，边 和另一条圆锥曲线 相切，切点依次为 ,由帕斯卡定理可知直线 和 的交点 、 和 的交点 、 和 的交点 三点共线[4]，注意到直线 , , 正好分别是点 关于 的极线，根据配极原理可知 , , 三线共点，设该点为 ,在由直线 , , , 围成的四边形中应用引理1，可知 亦通过点 ，同理可证 和 也通过点 。证毕。 图8 完全类似地，应用配极原理和帕斯卡定理的逆定理，可以证明定理1的“逆”： 圆锥曲线的谢国芳定理之逆定理 若一个六边形的六条边和一条圆锥曲线相切，其三条对边切点的连线三线共点，则该六边形的六个顶点必在另一条圆锥曲线上。 [注1] 本文中的对角线都指主对角线，若六边形的六个顶点记作 , ， , , , ，则三条（主）对角线为 , , 。 [注2] 从表面上看这完全是一个平面几何问题，但笔者觉得用传统的平面几何方法或者解析几何方法是极难甚至几乎是不可能证明的，尽管如此，仍很希望看到这方面的尝试，若有人取得成功，务请发函至roixie@163.com告知，不胜感谢。 [注3] 和五条直线相切的圆锥曲线唯一，和四条直线相切的圆锥曲线有无穷多个，构成带一个参数的曲线族。 [注4] 这三个交点中的一个或三个都可能为无穷远点（若两个为无穷远点，通过这两个无穷远点的直线就是无穷远直线 ，帕斯卡定理保证了第三个交点也在无穷远直线上，即也是一个无穷远点）。 作者简介： 谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，复旦大学物理系本科毕业，曾获李政道奖学金赴美就读于哥伦比亚大学物理系研究生院攻读理论物理，后来兴趣转向语言学和外语学习，回国从事独立的语言学和外语学习方法研究，创立了“外语解密学习法”，近年来也进行独立的数学和数学史研究，致力于外语文化和大众数学普及和网络数学教育工作，通晓英、法、德、西、俄、日、韩等多国外语。著有《解密英语——学外语从零点到绝顶的最速路经》、《日语汉字读音规律揭秘》、《破解韩国语单词的奥秘》等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。已发表的数学和物理论文有： 　　1. 《D 函数的一种初等推导及应用》（1996年01期《大学物理》） 　　2. 《量子角动量理论新探》（1998年06期《大学物理》） 　　3. 《球坐标D函数与 的傅里叶级数表示》 （2001年01期《大学物理》） 4. 《一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则》​ （2012年第21期《数学学习与研究》） _1424084450.unknown _1424084482.unknown _1424084498.unknown _1424084514.unknown _1424084522.unknown _1424084530.unknown _1424084534.unknown _1424084536.unknown _1424084538.unknown _1424084539.unknown _1424084540.unknown _1424084537.unknown _1424084535.unknown _1424084532.unknown _1424084533.unknown _1424084531.unknown _1424084526.unknown _1424084528.unknown _1424084529.unknown _1424084527.unknown _1424084524.unknown _1424084525.unknown _1424084523.unknown _1424084518.unknown _1424084520.unknown _1424084521.unknown _1424084519.unknown _1424084516.unknown _1424084517.unknown _1424084515.unknown _1424084506.unknown _1424084510.unknown _1424084512.unknown _1424084513.unknown _1424084511.unknown _1424084508.unknown _1424084509.unknown _1424084507.unknown _1424084502.unknown _1424084504.unknown _1424084505.unknown _1424084503.unknown _1424084500.unknown _1424084501.unknown _1424084499.unknown _1424084490.unknown _1424084494.unknown _1424084496.unknown _1424084497.unknown _1424084495.unknown _1424084492.unknown _1424084493.unknown _1424084491.unknown _1424084486.unknown _1424084488.unknown _1424084489.unknown _1424084487.unknown _1424084484.unknown _1424084485.unknown _1424084483.unknown _1424084466.unknown _1424084474.unknown _1424084478.unknown _1424084480.unknown _1424084481.unknown _1424084479.unknown _1424084476.unknown _1424084477.unknown _1424084475.unknown _1424084470.unknown _1424084472.unknown _1424084473.unknown _1424084471.unknown _1424084468.unknown _1424084469.unknown _1424084467.unknown _1424084458.unknown _1424084462.unknown _1424084464.unknown _1424084465.unknown _1424084463.unknown _1424084460.unknown _1424084461.unknown _1424084459.unknown _1424084454.unknown _1424084456.unknown _1424084457.unknown _1424084455.unknown _1424084452.unknown _1424084453.unknown _1424084451.unknown _1424084434.unknown _1424084442.unknown _1424084446.unknown _1424084448.unknown _1424084449.unknown _1424084447.unknown _1424084444.unknown _1424084445.unknown _1424084443.unknown _1424084438.unknown _1424084440.unknown _1424084441.unknown _1424084439.unknown _1424084436.unknown _1424084437.unknown _1424084435.unknown _1424084426.unknown _1424084430.unknown _1424084432.unknown _1424084433.unknown _1424084431.unknown _1424084428.unknown _1424084429.unknown _1424084427.unknown _1424084422.unknown _1424084424.unknown _1424084425.unknown _1424084423.unknown _1424084420.unknown _1424084421.unknown _1424084419.unknown