.隐函数及参数方程求导（精）

.隐函数及参数方程求导（精） 第四节 隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数、相关变化率 一、隐函数的导数 定义: 由方程所确定的函数y,y(x)称为隐函数. y,f(x)形式称为显函数. 隐函数的显化 F(x,y),0,y,f(x) 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. dydyxy求由方程xyee所确定的隐函数y的导数例1,，,0,. x,0dxdx解: 方程两边对x求导, dydyxyy，x,e，e,0 dxdx xdye,y,,解得 由原方程知x,0,y,0,ydxx，e xdye,y？,=1 x,0x,0ydxx，ey,0 3333设曲线C的方程为x，y,3xy,求过C上点(,)的切线方程,例2: 22 并证明曲线C在该点的法线通过原点. 22,,解: 方程两边对x求导,3x，3yy,3y，3xy 2y,x,？y,,,1. 33233(,)(,)y,x2222 33y,,,(x,)所求切线方程为即x，y,3,0. 22 33法线方程为y,,x,即y,x,显然通过原点. 22 44,,例3 设x,xy，y,1,求y在点(0,1)处的值. 方程两边对x求导得解: 33,, 4x,y,xy，4yy,0(1) 1, 代入x,0,y,1得y,;x,04y,1 将方程(1)两边再对x求导得 2223,,,,,, 12x,2y,xy，12y(y)，4yy,0 11,,, y,,.代入x,0,y,1,y,得x,0x,0164y,1y,1 二、对数求导法 3(x，1)x,1sinx观察函数 y,,y,x.2x(x，4)e 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 v(x)适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u(x)的情形. 3(x1)x1，,, 例4:y,y.设,求2x(x，4)e 解:等式两边取对数得 1lny,ln(x，1)，ln(x,1),2ln(x，4),x 3 ,y112 上式两边对x求导得,，,,1yx，13(x,1)x，4 3(x，1)x,1112, ？y,[，,,1]2x(x，4)ex，13(x,1)x，4 sinx,例5 yx(x0),y.设,,求 解:等式两边取对数得 lny,sinx,lnx 11,y,cosx,lnx，sinx,上式两边对x求导得 yx x1sinsinx,xxx？y,y(cosx,lnx，sinx,),(cos,ln，) xx v(x)一般地 f(x),u(x)(u(x),0) ？lnf(x),v(x),lnu(x) d1d 又？lnf(x),,f(x)dxf(x)dx d, ？f(x),f(x),lnf(x)dx ,vxux()()v(x),, fxuxvxux()()[()ln()]？,,，ux() 三、由参数方程所确定的函数的导数 ,x,(t),若参数方程确定y与x间的函数关系,称此为, y,(t),, 由参数方程所确定的函数. ,2,xt,x例如消去参数 ,t,t,22,,yt, 2xx122,？y,t,()？y,x, 224 问题: 消参困难或无法消参如何求导? ,x,(t),,1 在方程中,设函数x,,(t)具有单调连续的反函数t,,(x),,,y,(t), ,1 ？y,,[,(x)] 再设函数x,,(t),y,,(t)都可导,且,(t),0,由复合函数及反函数的求导法则得 dy ,,dy1dydydydt(t)dt,,,,即,,， dxdx,dxdtdxdxdt,(t) dtdt ,x,(t),若函数二阶可导, ,,y,(t), 2,,,,,,,,,,,,dyddy(t)(t),(t)(t)1d(t)dt,(),,(), 22,,,dxdxdxdt,(t)dx,(t),(t) 2,,,,,,,,,,dytt,tt()()()()即,. 23,dx,t() x,a(t,sint),,求摆线在t,处的切线方程.例6 ,y,a(1,cost)2, ,dysindysintasintdy2dt解: =1 ,,？,,,t,,dxa,acost1,costdxdx21,cos2dt ,, 当t,时,x,a(,1),y,a.22 ,,所求切线方程为 y,a,x,a(,1)即y,x，a(2,)22 例7: ,不计空气的阻力,以初速度v,发射角发射炮弹,0 ,x,vtcos,,0,其运动方程为1,2y,vtsin,gt,, 0,2, 求(1)炮弹在时刻t的运动方向;0 (2)炮弹在时刻t的速度大小.0 解: yvyv v0vx ox (1)在t时刻的运动方向即轨迹在t时刻的切线方向,00 可由切线的斜率来反映. 12,,(vtsin,gt)0,,dyvgtdyvsin,gtsin,0020,,. ？,t,t0,dx(vtcos,)vcos,dxv,cos000(2)炮弹在t时刻沿x,y轴方向的分速度为 0 dx,v(vtcos,),,,vcos, xt,t0t,t000dt dy12,v(vtsin,gt),,,,vsin,,gt ,,ytt0tt0000dt2 22222,v,2vgtsin,，gt？在t时刻炮弹的速度为v,v，v 00000xy 3,xat,cos求由方程示的函数的导数.例8 ,3yat,sin, dy23asintcostdydt,,tant解: ,,2dxdx3acost(,sint) dt 四、相关变化率 设x,x(t)及y,y(t)都是可导函数,而变量x与y之间存在 dxdy某种关系,从而它们的变化率与之间也存在一定关 dtdt 系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率.相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直上升,其速率为140米/秒. 当气球高度为500米时,观察员视线的仰角增加率是多少?解: 设气球上升t秒后,其高度为h,观察员视线的仰角为,,则 htan,, 500 d1dh,2sec,,, 上式两边对t求导得,dt500dt dh2？,140米/秒, 当h,500米时,sec,,2dt d,？,0.14(弧度/分) dt 例10 3河水以8米/秒的体流量流入水库中,水库形状是长为4000米, 0顶角为120的水槽,问水深20米时,水面每小时上升几米? 4000 m 060 解:设时刻t水深为h(t),水库内水量为V(t),则 2 V(t),40003h dVdh,80003h,上式两边对t求导得 dtdt dV3 ？,28800米/小时,？当h,20米时,dt dh ,0.104米/小时dt 五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.