国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第35届）

http://www.mathschina.com 彰显数学魅力！演绎网站传奇！ 国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第35届） 1. m和n都是正整数，a1，a2，...，am是{1，2，...，n}中不同的数，只要有ai +aj≤ n（i，j可能相同）那么就有某个k使ai +aj=ak， 求证(a1+...+am)/m≥(n+1)/2． 2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中点，O是线AM上的点且OB⊥AB，Q为线段BC上不同于B，C 的任意一点，E，F分别在AB，AC上使得E，Q，F不同并共线． 求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF． 3. 对任何正整数k，定义f(k)为集合{k+1，k+2，...，2k}中的用二进制表示后恰有3个1的元素的个数， 求证对于每个正整数m，存在至少一个k使f(k)=m；并求出使得恰有一个k的所有m值． 4. 试求出所有的正整数对(m，n)使得(n3+1)/(mn-1)是整数． 5. S是所有大于-1的实数集，试找出所有的从S到S的函数f满足对所有x，y，f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)，并且对于-1