第十二章 液体运动的流场理论

第26讲（2课时） 第十二章 液体运动的流场理论 流束理论：一元流；流场理论：三元流。 ★12-1 流速、加速度 水力学中常采用欧拉法。 流速场： ； ； 若x，y，z为常数，t为变数，则可得到不同时刻通过某一空间定点时液体质点的流速变化； 若t为常数，x，y，z为变数，则可求得同一瞬时不同空间点的液体质点的流速分布（流速场）。 加速度： ； ； 上式中，等号右边第一项为时变加速度（即当地加速度）；第二至四项之和为位变加速度（位移加速度）。 例水库由坝身的泄水孔泄水。 上述概念同样实用于液体的密度与压强： ； 恒定流：满足： ； ； 。 即： ； ； ★12-2 流线、迹线及其微分方程 拉格朗日法对应于迹线；欧拉法对应于流线。 流线方程： ； ； 即： ，式中 、 、 都是变量x, y, z和t的函数。t是参变数。 迹线方程： ； ； 即： ，式中，t是自变数。 恒定流时（流线与迹线重合）： ， 特别地，二元平面流动： 。 ★12-3 液体质点运动的基本形式 刚体的运动：平移及转动。液体更为复杂。 1．平移： 、 、 是微分六面体在x, y, z各方向的位移速度。 2．线变形：线变形速率（单位时间单位长度的伸长）： x方向： ；y方向： ；z方向： 3．边线偏转（角变形和旋转）： 以平面为例：z边偏转： ，即： 同理：x边偏转： ，即 （1） 角变形：z边角变形与x边角变形相等，即： ，则： , , 绕y方向直角边的变形角速度为： 即： ； ； （2） 旋转运动：纯旋转角为 ，旋转角速度为： ， 即： ； ； 所以：液体质点的运动是由平移、线变形、角变形及旋转运动等四种基本形式所组成。 第27讲（2课时） ★12-4 无涡流与有涡流 无涡流：每个液体质点都不存在绕自身轴的旋转运动，即： （无势流）。 有涡流：有液体质点存在绕自身轴的旋转运动（有势流）。 注意：涡是指液体质点绕自身轴旋转的运动，不要把涡与通常的旋转运动混淆起来。 无涡流满足： ，即： ， ， 若存在 ，使得： ， ， ，则称函数 为流速势函数。 显然无涡流满足上式，即：如果流场中所有液体质点的旋转角速度等于零，既无涡流，则必有流速势函数存在，所以无涡流又称势流。 ，由此可求出势流的流速势函数。 ★12-5 液体运动的连续性方程式 由流场中任取一封闭曲面，流入与流出的质量差应等于液体密度变化产生的质量变化。 取一微分平行六面体，边长为dx，dy，dz，中心点A（x,y,z）的流速为 ，密度为 。 在x方向在dt时间内，流入与流出的液体质量分别为： ， ，流入与流出的质量差为： 同理得y和z方向的流入与流出的质量差： ， 。 则总的质量差为： 又密度变化引起的质量改变量： 由质量守恒定律得，可压缩液体非恒定流的连续性方程： ，不可压时（ ）： ， 或： ， 叫速度散量，是个标量。 同时，上式说明液体微分平行六面体虽有平移和线变形，但其体积不变，即：如一个方向有拉伸，则在另一个方向必有压缩。 根据高斯定理，有： 为封闭表面的速度通量。恒定流时， ，即： 。 ★12-6 理想液体运动微分方程式及其积分 一、理想液体动水压强的特性 （1） 理想液体动水压强总是沿着作用面的内法线方向。 （2） 理想液体中任一点的动水压强在各方向上大小均相等。 特性（2）的证明可仿照静水压强的证明。 在x方向上， 同理y和z方向： ， 则当取极限时： ，与静水压强的特性完全一样。 二、理想液体运动微分方程式----欧拉方程式 同样仿照液体平衡微分方程的推导。得： ； ； 静止液体时，上式可化为静水力学欧拉平衡方程式。上式可将加速度表达式代入。 三、葛罗米柯方程式及其积分 因： 则欧拉方程可改写为： 同理： 此方程称为葛罗米柯方程式。当质量力只有重力时，可导出： -----理想液体恒定流的伯努里方程式。 第28讲（2课时） ★12-7 实际液体运动时所产生的内应力 任一点的内应力有三部分组成：一个正应力，两个切应力。 1．切应力的性质和大小 由牛顿内摩擦定律： 则： ； ； 说明：作用在两相互垂直平面上且与该两平面的交线相垂直的切应力大小都是相等的。 2．动水压强的性质和大小 实际液体中任一点的动水压强各方向是不相等的。实用上采用三个正交方向的平均值： ，可以证明： ； ； 理想液体时， ，则： ，即任一点各方向上的动水压强相等。 ★12-8 实际液体运动微分方程式 取一微分平行六面体，边长分别为dx，dy，dz，列x方向的动力平衡方程式： 得： 同理： ； 此式即为以应力表示的实际液体运动基本微分方程式。 1．Navier-Stokes方程 将动水压强及切应力的表达式代入，并注意不可压缩液体的连续性方程，可得： 若写成拉普拉斯算子形式： 如果是理想液体（ ），则上式变为欧拉运动方程式；如是静止液体，上式变为欧拉平衡方程式。 2．雷诺方程 太复杂，不讲。 _974820660.unknown _1018697608.unknown _1019297388.unknown _1019383799.unknown _1019385439.unknown _1020319914.unknown _1020320626.unknown _1020320924.unknown _1020321176.unknown _1020321216.unknown _1020321294.unknown _1020321088.unknown _1020320856.unknown _1020320172.unknown _1020320251.unknown _1020320035.unknown _1019385748.unknown _1020319854.unknown _1019385446.unknown _1019384833.unknown _1019385105.unknown _1019385272.unknown _1019384839.unknown _1019383969.unknown _1019384767.unknown _1019383898.unknown _1019297785.unknown _1019383712.unknown _1019383761.unknown _1019383772.unknown _1019297861.unknown _1019298006.unknown _1019298030.unknown _1019298039.unknown _1019297969.unknown _1019297844.unknown _1019297467.unknown _1019297473.unknown _1019297459.unknown _1019297438.unknown _1019297126.unknown _1019297258.unknown _1019297361.unknown _1019297195.unknown _1018698142.unknown _1018698169.unknown _1018697969.unknown _974821399.unknown _974822407.unknown _974822826.unknown _974822882.unknown _974823005.unknown _1018697595.unknown _974822964.unknown _974822868.unknown _974822775.unknown _974822287.unknown _974822362.unknown _974822092.unknown _974820888.unknown _974821099.unknown _974821133.unknown _974820994.unknown _974820753.unknown _974820850.unknown _974820680.unknown _974814894.unknown _974819565.unknown _974820021.unknown _974820111.unknown _974820187.unknown _974820112.unknown _974820043.unknown _974820097.unknown _974820038.unknown _974819779.unknown _974819959.unknown _974819843.unknown _974819719.unknown _974819741.unknown _974819764.unknown _974819650.unknown _974815698.unknown _974815997.unknown _974819398.unknown _974819564.unknown _974815996.unknown _974815217.unknown _974815660.unknown _974814924.unknown _974793245.unknown _974814508.unknown _974814858.unknown _974814883.unknown _974814530.unknown _974814811.unknown _974793506.unknown _974814452.unknown _974793252.unknown _974792892.unknown _974793087.unknown _974793211.unknown _974793236.unknown _974793154.unknown _974792994.unknown _974792357.unknown _974792637.unknown _974792315.unknown