【未分类】求抛物线解析式及应用
专题一省中考回顾)
1(2011龙东五市)已知:抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点,交点分别是点A和点C,且抛物线的对称轴为直线x=,2。
(1)求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。
(2)试确定抛物线的解析式。
(3)观察图象,请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围。
y
C
x
o-2 B A
32.(2011鸡西、绥化,齐齐哈尔)已知:二次函数y=x?+bx+c,其图象对称轴为直4
9线x=1,且经过点(2,–). 4
(1)求此二次函数的解析式.
(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧),请在此二次函数x轴下方的图
象上确定一点E,使?EBC的面积最大,并求出最大面积.
b2注:二次函数y=x+bx+c(?0)的对称轴是直线x=,. aa2a
23(2011牡丹江).如图,抛物线y=x+bx+c经过A(,1,O),B(4,5)两点,请解答下 列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的顶点为点D,对称轴所在的直线交x轴于点E,连接AD,点F为AD 的中点,求出线段EF的长(
4
5
6
7
专题二(省2012中考展望)
21已知抛物线经过点和点P (t,0),且t ? 0( yaxbx,,A(33),,,
(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图12,
请通过观察图象,指出此时y的最小值,
并写出t的值;
(2)若,求a、b的值,并指出此时抛 t,,4
物线的开口方向;
(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值( ((
y
- 3 O P x
- 3 A
?、2
22(2009年重庆市江津区)如图,抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3,0)两y,,x,bx,c点,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得?QAC
的周长最小,若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
C
AB
3.如图,已知抛物线经过定点A(1,0),它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点,P((((
点关于x轴的对称点为P′,过P′ 作x轴的平行线
交抛物线于B、D两点(B点在y轴右侧),直线
BA交y轴于C点(按从特殊到一般的规律探究线
段CA与CB的比值:
(1)当P点坐标为(0,1)时,写出抛的解析式
(2)若P点坐标为(0,m)时(m为任意正实数),求线段CA与CB的比值;
y
. C
P .
A . 1 O x
D B . . . ,P P ′
3232.4 如图已知抛物线与轴的两个交点为,与y轴交于点( xAB、Cyxx,,,,333
(1)求三点的坐标; ABC,,
(2)求证:是直角三角形; ?ABC
(3)若坐标平面内的点,使得以点和三点为顶点的四边形是平行四边形,MMABC、、 求点的坐标((直接写出点的坐标,不必写求解过程) M
y
C
x A O B
25如图,在平面直角坐标系中,把抛物线yx,向左平移1个单位,再向下平移4个单xoy
2ABx位,得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点(点在点的左边),yxhk,,,()AB、
D与轴交于点,顶点为. Cyy
(1)写出的值; hk、
, , , x (2)判断的形状,并说明理由; ?ACD
,
,
第25题图
.6 如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(,2,0),连结OA,将线段OA绕原点O
顺时针旋转120?,得到线段OB.
(1)求点B的坐标; y 、O、B三点的抛物线的解析式; (2)求经过A
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使?BOC的周长最小,若存在,求出点C
的坐标;若不存在,请说明理由. B
O A x
专题三(省2012中考展望
121如图,抛物线y, x,x,a与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其顶点在直线y,,2
2x上(
(1)求a的值;
(2)求A,B的坐标;
(3)以AC,CB为一组邻边作?ACBD,则点D关于x轴的对称点D′ 是
y 否在该抛物线上,请说明理由(
AOBx
C
13 22.已知二次函数y = - x- x + . 22
(1)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;
(2)根据图象,写出当y , 0时,x的取值范围;
(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的函数关系式(
y
Ox
23.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,若抛物线经过点A。点Ay,,x,2x,c的坐标是(-2,4),过点A作AB?y轴,垂足为B,连结OA。
(1)求?OAB的面积
(2)?求c的值;?将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在?
OAB的内部(不包括?OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可)。
1 24如图,抛物线y,x,bx,2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(,1,0)( 2
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; y
1
(2)判断的形状,
你的结论; ?ABCA B x O 1
,1
C
(3)点是x轴上的一个动点,当MC,MD的值最小Mm(0),D
时,求m的值(
(第21题图)
25.已知:二次函数的图象与X轴交yaxbxca,,,,(0)
于A(1,0)、B(5,0),抛物线的顶点为P,且PB=, 25
求:(1)二次函数的解析式。
(2)求出这个二次函数的图象;
(3)根据图象回答:当x取什么值时,y的值不小于0。
26.如图,抛物线经过、两点,与轴交于另一点( Bxyaxbxa,,,4A(10),,C(04),
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点在第一象限的抛物线上专题一省中考回顾 Dmm(1),,
1解:(1)y=x+3中,
当y=0时, x=3
?点A的坐标为(,3,0) 当x=0时,y=3
?点C坐标为(0,3) y ?抛物线的对称轴为直线x=,2
?点A与点B关于直线x=,2对称
?点B的坐标是(-1,0)( C 2(2)设二次函数的解析式为y=ax+bx+c将点A、点B、点C
的坐标依次代入解析式中求出a、b、c的值,二次函数的解析式
2为y=x+4x+3(
A B (3)由图象观察可知,当,3,x,0时,二次函数值小于一x O 次函数值。(
33922.解:(1) 二次函数的解析式为 y=x,x, 424
3392(2) ?x,x,=0 424
?x=,1,x=3 12
?B(,1,0),C(3,0)
?BC=4
?E点在x轴下方,且?EBC面积最大
?E点是抛物线的顶点,其坐标为(1,—3)
1??EBC的面积=×4×3,6 223.解:??抛物线y=x+bx+c经过A(,1,O),B(4,5)两点?0=1-b+c和5=16+4b+c
2解得b=-2,c=-3, ?y=x-2x-3
,2 ??抛物线y=x-2x-3的顶点坐标为D(1,,4)?在RtAED中,AD=2,?EF=AD= 55,
专题二(省2012中考展望)
1解:(1),3(
t =,6(
2(2)分别将(,4,0)和(,3,,3)代入yaxbx,,,得
0164,,,ab, ,,,,393.ab,
a,1,,解得 ,b,4.,
向上(
(3),1(答案不唯一)(
22解:(1)将A(1,0),B(,3,0)代中得 yxbxc,,,,,,,10bc,, ,,,,,930bc,
b,,2,? ,c,3,
2 ?抛物线解析式为: (2)存在 理由如下:由题知A、B两点关于yxx,,,,23
抛物线的对称轴对称 x,,1
?直线BC与的交点即为Q点, 此时?AQC周长最小 x,,1
2 ?yxx,,,,23
?C的坐标为:(0,3)
x,,1, 直线BC解析式为: Q点坐标即为的解 yx,,3,yx,,3,
x,,1, ? ,y,2,
?Q(,1,2)
23.解:? 设抛物线的解析式为 , yaxa,,,1(0)
A1,0抛物线经过 , , ?,,,,01,1aa,,
2 . ?,,,yx1
2 ? 设抛物线的解析式为 分 yaxma,,,(0)
抛物线经过,A01, ?,,,0,,amam,,
2?,,,ymxm(
2,PB?, ?,Bm点的纵坐标为x轴当时,ymmxmm,,,,,,
22?,,mx20,,,, m,0?,,x2?,,x20,,
CAOA12,?,Bm2,,, 同?得 ?,PB2,,,.,,,CBPB22
CA2 ?,m为任意正实数时,CB2
4.(1)解:令,得,得点( x,0y,3C(03),
3232令,得,解得, xx,,,13,y,0,,,,xx301233
?( AB(10)(30),,,,
222(2)证明:因为, AC,,,1(3)4
2222, BCAB,,,,3(3)1216,
222?, ABACBC,,
?是直角三角形( ?ABC
(3),,((只 M(43),M(43),,M(23),,123
25.( 解:(1)的顶点坐标为,(,,,,,), yxhk,,,()
. hk,,1,=-4 ?
2 (2)由(1)得. yx,,,(1)4
2 当时,( 解之,得 ( (1)40x,,,xx,,,31,y,012
AB(30)10,,,(,). ?
22 又当时,, x,0yx,,,,,,,,(1)4(01)43
C点坐标为.又抛物线顶点坐标,作抛物线的对称轴交轴x,,1x03,-D,,14,,,,,?
F于点E,轴于点(易知 DFy,
222在中,; AD,,,2420Rt?AED
222在中,; AC,,,3318Rt?AOC
222在中,; CD,,,112Rt?CFD
222( ACCDAD,,?
是直角三角形( ? ?ACD
6. 解:(1)B(1,) 3
3(2)设抛物线的解析式为y=ax(x+a),代入点B(1, ),得, 3a,3
3232因此 yxx,,33
(3)如图,抛物线的对称轴是直线x=—1,当点C位于对称轴与线段AB的交点时,
?BOC的周长最小.
,3k,,,kb,,3,,,3设直线AB为y=kx+b.所以, 解得,,,,,20.kb,23,,b,,3,
323因此直线AB为, yx,,33
3当x=,1时,, y,3
因此点C的坐标为(,1,). 3
专题三(省2012中考展望)
11解:(1)抛物线的顶点坐标为(1,a, ) 2
13?顶点在直线y,,2x上,?a, ,,2(即a,, 22
132(2)由(1)知,抛物线表达式为y, x,x, , 22
132令y,0,得 x,x, ,0(解之得:x,,1,x,3( 1322
?A的坐标 (,1,0),B的坐标 (3,0);
(3)?四边形ABCD是平行四边形,
?点C,D关于对角线交点(1,0)对称
又?点D′ 是点D关于x轴的对称点,
点C,D′ 关于抛物线的对称轴对称( ?D′ 在抛物线上
2.解:(1)画图略
(2)当y , 0时,x的取值范围是x,-3或x,1;
1122 (3)平移后图象所对应的函数关系式为y=- (x-2)+2(或写成y=- x+2x). 22
3.
3解:(1)?点A的坐标是(-2,4),AB?y轴,
?AB=2,OB=4
?S2, ?OAB=
2(2)把A的坐标是(-2,4)代入,解得c=4 y,,x,2x,c
1 24.(1)把点A(,1,0)的坐标代入抛物线的解析式y,,bx,2, x2
3 整理后解得, b,,2
132所以抛物线的解析式为 ( yxx,,,222
325,, 顶点( D,,,,28,,
222222222(2)(,,( AB,5ACOAOC,,,5BCOCOB,,,20?,,ACBCAB
是直角三角形( …………………………………6分 ??ABC
,,,,(3)作出点关于轴的对称点,则,(连接交轴于点, MxxCCC(02),OC,2CD根据轴对称性及两点之间线段最短可知,的值最小( MCMD,
,(设抛物线的对称轴交轴于点(( Ex???COMDEM25.解(1)由题意,设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-5),即y=ax-6ax+5a
对称轴为x=3,设对称轴与x轴的交点为C(3,0)
?OC=3 ?OB=5 ?BC=2
?P是顶点,BP= ?PC=4 P(3,-4) 25
192 ? ? aa,,,,,,,363534a,9
19144952 ?二次函数的解析式为 yx,,,999
(2)略 (3)当1