【doc】关于平方补数的几个均值公式

【doc】关于平方补数的几个均值公式 关于平方补数的几个均值公式 第24卷 第1期 哈尔滨师范大学自然科学 NATURALSCIENCESJOURNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY 关于平方补数的几个均值公式术 王明军李海龙 (渭南师范学院) 【摘要】设/2为任一正整数,口(凡)为凡的平方补数.利用解析研究平方补 数的若干性质,进一步解决F.Smarandache教授提出的第27个问题,得到了几个有 趣的均值公式. 关键词:平方补数;数论函数;均值公式 1引言及结论 设凡为任一正整数,则凡可唯一的表示为凡= / 2 ,其中/.t是正整数,是无平方因子数,令 口(n)表示n的平方补数,即a(n)就是使n成为 一 平方数的最小正整数k,则a(凡)=.如a(2) :2,口(3)=3,口(8)=2等. 在参考文献[1]中,E.Smarandache教授要 求我们研究数列{a(凡)f的性质.关于这一问题, 已有许多学者进行了初步的研究.如在参考文献 [2]中,王阳,张红莉用解析的方法研究了 ?的渐近性质.笔者主要目的是研究 函数 ((k,口(凡))),d((k,口(/2)))以 及((k,a(凡)))的均值,并得到了几个有趣的渐 近公式. 定理1对任一实数>1,k为正整数, (k,a())表示k与a(凡)的最大公约数,d(凡)为 除数和函数,兀表示对所有整除k的素数P求 积,则有渐近公式 ?d((尼,口(凡))) 收稿日期:2007—05—11 +渭南师范学院科研基金项目(07YKZ028) (1+)+0( 定理2对任一实数>1,k为正整数, (k,a(凡))表示k与a(凡)的最大公约数,(凡)为 除数和函数,H表示对所有整除k的素数P求 积,则有渐近公式 ?((k,口(凡))) (1+寿)+ 定理3对任一实数>1,k为正整数, (,a(凡))表示k与a(凡)的最大公约数,(凡)为 Euler函数,兀表示对所有整除k的素数p求积, 则有渐近公式 ?(((尼,a(/2))) 一(2一寿)+0扣 2定理的证明 2.1定理1的证明 令=,显然 20哈尔滨师范大学自然科学2008年 d(,?n是n阴1笙凼致,f是当ReS=> 1时,由Euler乘积公式有 == I=I 巳+墨!堡+ PP +...)' P ++ +...) ++川× ++ P 川 (?+1+1+1+…)(t++ 12, ++… PP ct+专,专 (+寿 因为))),J薹业 I<,>1为s的实部,根据Perron公式有一 1 = 厂+iTs+)}so0+急n2J6_f's… D(塑) .H(2)min(1')+ D((?)min(,卉)) 其中N为离最近的整数,当为半奇数时,取 ?=一1 ,IIII=f—NI,在上式中取s.=0, b=2, =丁 ,()=,B()=?,贝4有一 1 d((,.')))= 1 fJ ~2+iT , (s){]【(1+ 1 1 )s+D( 1[.2~iT :(s)(1+)等 将积分限从s=2?7'移到s=1?iT ,考虑到 厂(s))I枞 I(1+ P1)}在s=l处有一个Dl十 简单极点,数为(+),即 c厂"+'坩++ ~-iTl-iT)(s)× l-I(1+1)5-ds—l 小 -I(1+-kT 容易估计 J(广坩坩+jf2扣)II(1+ 寿,等× '《J?汀)(1+)等)Ido-<<2pl'1 等, -厂1扣)(1+净 J.I(2)等Id,《 所以可得 d((,.(n)))=H(1+p--~)+D(1).n? 这样就完成了定理1的证明. 2.2其他定理的证明 令)=薹)= 薹由Euler乘积公式有 ,=薹= ++ PP' +...) P ++ +...) D 1期关于平方补数的几个均值公式 + P + P + P +..?) (1++++...) PPP = 骣(,+1+1+1+…)(+ +++...) PP {=l(.+pP+l.1 = nplk (1+P 1 ) )==(1+ +++ PPP孙. = (1+ /1 ++ p ) = {=]【++c? +++ P +.., = 骣(?+1+1+1+…)氍(,++ +.) PP 弭耵(.+pp-1)1 = )(1+p-2 1 )? 然后对(S)(S)利用Perron公式,利用定理1 的证明方法便可证明定理2,定理3. 参考文献 [1]F.Smarandache.OnlyProblems,NotSolution[M].Chicago: XiquanPublishingHouse,1993. [2]王阳,张红莉.平方补数的一个性质[J].延安大学(自 然科学版),2002.1:9—10. [3]TomM.Aposto1.IntroductiontoAnalyticNumberTheory [M].NewYork:Spring—Verlag,1976. [4]潘承洞,潘承彪.解析数论基础[M].北京:科学出版社, oNSoMEMEANVALUEFoRMULAS OFTHESQUARECOMPLEMENTS WangMingjunL/Hailong (WeinanTeachersCollege) ABSTRACT Letnbeapositiveinteger,口 (n)bethesuqarecomplementsofn.Byusingtheanalyticmethod.some propertiesofthesuqarecomplementsarestudied,andseveralinterestingmeanvalueformula sagegiven.The 27一thquestionwhichprofessorF.Smarandachegeneratedinreference[1]issolved. Keywords:Suqarecomplements;Numbertheoreticfunction;Meanvalueformulas (责任编辑:李双臻) n =