函数的单调性

函数的单调性 教学目标 知识目标:初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。 能力目标:启发学生能够发现问和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题;通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。 德育目标:在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。: 教学重点:函数单调性的有关概念的理解 教学难点:利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性 教 具: 多媒体课件、实物投影仪 教学过程: 一、创设情境，导入课题 [引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图(观察这张气温变化图: 问题1:气温随时间的增大如何变化, 问题2:怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征, [引例2]观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化,并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。 :(1)y轴左侧:逐渐下降; y轴右侧:逐渐上升; (2)左侧 y随x的增大而减小;右侧y随x的增大而增大。 上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。 二、给出定义，剖析概念 ?定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ?若当<时，都有f()f(),则f(x)在这个区间上是减函数(如图4)。 ?单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。 注意: (1)函数单调性的几何特征:在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 当x1 f(x2) y随x增大而减小。 几何解释:递增 函数图象从左到右逐渐上升;递减 函数图象从左到右逐渐下降。 (2)函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。 有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数;有些函数是非单调函数，如常数函数。 。 判断2:定义在R上的函数 f(x)满足 f(2)> f(1)，则函数 f(x)在R上是增函数。(×) 函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。 训练:画出下列函数图像，并写出单调区间: 三、范例讲解，运用概念 例1、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数。 注意: (1)函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。 (2)在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。 例2判断函数 f (x) =3x+2在R上是增函数还是减函数,并证明你的结论。 引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程: 证明:设任意的，且，则 由，得 于是 即。 所以，在R上是增函数。 分析证明中体现函数单调性的定义。 利用定义证明函数单调性的步骤: ?任意取值:即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1