绝对值函数的求导方法探讨

绝对值函数的求导方法探讨 第10卷第4期 Vo1.10No.4 北京印刷学院 JournalofBeiiingInstituteofGraphicCommunication 2002年12月 Dec.2002 文章编号:1004—8626(2002)04—0050—03 绝对值函数的求导方法探讨 张二艳 (北京印刷学院基础课部,北京102600) 摘要:针对一般教材讲授绝对值函数的导数计算问题之不足,推导出 相应的求导公式, 它简便实用,有利于改进教学效果. 关键词:高等数学;导数;教学研究 中图分类号:O172.1;G642.0文献标识码:B 在高等数学课的教学中,经常会遇到绝对值函 数的求导计算,特别是绝对值函数在某点存在导数 的问题.然而,对此一般教材上并无现成的公式可 供讲授.能否推导出相应的求导公式,以简化这类 函数的导数计算呢?是肯定的. 1传统的求导方法 计算绝对值函数的导数,传统的方法是先把该 函数写成分段函数,然后在各连续段上分别计算导 数;至于分界点处的导数,则从导数的定义出发计 算其左,右导数.下面试举一例予以说明. 例如,计算—I(z一1)(z+1)I的导数. 解:将—I(z一1)(z+1)I写成分段函数, 即 f(一1)(z+1)z<一1或z>1, 【一(z一1)(+1)一1?z?1. 在各段上分别求导,得 ,【2(3x一2)(z+1)z<一1或z>1, 【一2(3x一2)(z+1)一1<z<1. 在分界点处的导数,则需要计算左,右导数. 当z一一1时, 右导数:一(一1) 1:,/(一1+)一/(一1)一 0 ————— 呢,通过下面的定理便可以给出 答复. 2绝对值函数的求导公式 为了推导出绝对值函数的求导公式,首先给出 一 个引理. 引理当z?0时,(IzI),一. 证日月.(一(一 一—lzl一 曰一了. 定理(即绝对值函数的求导公式):如果函数 /()在区间(a,6)可导,则绝对值函数—I/(z)I 的导数: 第4期张二艳:绝对值函数的求导方法探讨51 (1)当(z)?0时, ,一(1)1),一; (2)当厂(z.)一0时, 如果尸(z.)一0,贝0(1厂(z)I)I,.一0; 如果尸(z.)?0,则(If(x~I)I,.不存在. 证明:(1)当,(z)?0时,令”一厂(z),则由复 合函数的求导法则及引理,得 一 dy . . du . , I-I尸/(z)一. ?.IrJ d.zd”dx” 一(z)=)?. (2)由条件f(x.)一0,尸(z.)一0及导数定 义,得_lim 一 一 lira 2CO -o,故 o l-ooz——1z—z1 由于二_二一?1(有界)及无穷小的性质, Z—Z 有(1r(.r)1),I,.==… liraJ!:— 一 1im上一limfl1.上1—0.n I一00 o\l0.0l0.0/ 当厂(z.)一0而尸(z.)?0时,由极限知识易 证lim上二一1和lim上二一一1. 那么,函数—l厂(z)I在点z.处的右导数为 lira厂(z)l—l厂(z.) 一liraJ 一 o+0\ lim 0 +0Z—XO ? )一?一l:=z—zn{ 函数—l厂(z)l在点z.处的左导数为 二!l一1im 00Z—XOo一0Z—XO 一 .(11.)一If’cl一0一o\lz—zolz—zo/ 所以,(If(x~I)I,.不存在. 3几个实例 例1用定理求—l—1)+1)l的导数. 解:令”一,(z)一(z一1)(z+1), f(z)一2(3x一2)(z+1). (1)当”一(z一1)(z+1)?0,即z??1 时, v,一(1(z一1)(z+1)1)一(1”1)?[(z一 1)(z+1)一三{.2(3xm2 +1)一2止.(z+1)..(3z一2). (2)当z一一1时,厂(一1)一0.由f(z)一 2(3z一2)(z+1),得尸(一1)一0.根据定理,函 数y—l(z+1)(z一1)l在z一一1处可导,并 且导数为零,即Yl一一0. 当z一1时,厂(1)一0.由尸(z)一2(3x一 2)(z+1),得尸(1)一32?0.根据定理,函数 y—l(z+1)(z一1)I在z一1处不可导. 例2求—lz一1l的导数. 解:这里令”一厂(z)一z一1,f(z)一1. (1)当”一z一1?0时,即z?1时, yr一(1z一11),一(1”1),.(z一1),一. (2)当z一1时,厂(1)一1.下面讨论尸(1)是 否为0,再由定理进行判断. 由f(z)一1,得厂(1)一1?0,则函数y—lz 一 1l在z一1处不可导. 例3求函数一1sin.z1的导数. 解:(1)当z?志7r时,有 一 (Isin3x1)一3snzcOsz 一 3lsinzl?sinx?COSX. (2)当z一志7c时,令厂(z)一sin.z,尸(z)一 3sinz?COSX,尸(尼不)一0,所以l z?z2—1 例6已知参数方程J1~一 = 52t++.l.当 f?o时.计算,. 解:当t?0时,由定理得 鲁一1m+4ItI+4,一1m+8LtI, 等一2+.d,一.,. 由参数方程求导公式,得 dd/dx1Ot+8ltl 一/一. 例7设二元函数f(x,)=不,(1)当 ?.时,计算;(2)当?.时,计算. 解:(1)当?0时, = (倜.(1 一.,,.一— Vlx— y1 .一.百一 参考文献: (2)当?O日寸,由对称性得=~/Ixyl . 4小结 通过以上例题可以看出,在满足一定条件下利 用本文提出的定理来计算绝对值函数的导数及判 断绝对值函数在分界点处的导数问题,是简便实用 的,有利于学生掌握.其优点是:第一不仅可省去将 绝对值函数写成分段函数的麻烦,而且其导函数的 形式与原给函数一致,也是绝对值函数;第二,只需 计算定理中()在分界点处的导数是否为零,即 可判断绝对值函数在分界点处是否可导.在教学当 中对有关内容适当做进一步的探究,推导出一些现 有教材中没有出现的方法,公式,命题,定理等,有 利于培养学生的科学精神与科学态度,学到基本的 研究方法,有利于激发他们的创新精神,推进素质 教育. [1]同济大学数学教研室.高等数学(上)EM].北京:高等教育出版 社,1996 [2]数学题解词典EM].上海:上海辞出版社,1992.167,168. (上接第46页) 以扩大社会交往,结识更多朋友,融洽学习气氛,减 轻心理压力.学生导师还可以促进同学间的相互学 习.实践证明,实行学生导师制,不仅有利于教学, 学生导师自己也会从中受益. 总而言之,我们进行的思想道德修养课改革是 紧紧围绕教学内容的设置,教学方法的创新和教学 队伍结构的调整来进行的.突出以学生为中心,树 立为学生服务的思想.通过师生相互激励,进一步 培养学生的创新意识,自我管理及多向思维能力.