微积分在数学建模中的应用

微积分在数学建模中的应用 摘要:数学建模活动能培养学生的数学思维能力、创新能力及分析和解决问的能力,而微积分被广泛应用于数学建模之中。 关键词:微积分;数学建模 1　数学建模 数学模型与数学建模数学模型是对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,并运用适当的数学工具,得出的一个数学结构。[它是使用数学符号、数学式子及数量关系对现实原型简化的本质描述。数学建模活动是讨论建立数学模型的全过程,是通过建立数学模型解决实际问题的全过程,是一种数学思维方式。它为学生创设了“提出问题、探索思考和实际应用”的空间。其特点为: (1)创造性。由于数学建模活动所讨论的是现实世界中的实际问题,而现实世界的复杂性往往使所提出的问题不能直接套用数学定理来解决,这就需要较多的创新工作。 (2)应用性。即给出的是一种现实的情景,一种实际的需求,让学生面对现实的实际问题,选择适当的数学方法解决问题。 (3)开放性。提出的问题中条件可能不足,也可能冗余,问题有较强的探索性,需要从迷离混沌的状态中,运用思维能力,找出一条主要线索。 2 微分方程建模的一般步骤 微分方程建模是用数学中微分方程解决实际问题的桥梁，具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵，并在物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学等各个领域中有着广泛应用．应用微分方程理论针对各种实际问题建立的数学模型，一般而言都是动态模型，其结果极其简明，但整个推导过程却有点繁杂，不过还是能给人们以合理的解释．因此，选准切入点，将微分方程和数学建模的内容有机的结合才能充分体现微分方程建模的思想意图． 当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来状态、研究它的控制手段时，通常要建立动态模型．而针对不同的实际对象的动态模型，进行微分方程建模的一般性步骤是： （1）用较精练的语言叙述待解决的问题 （2）要根据建模的目的和对问题的具体分析做出简化假设 （3）按照对象内在的或可类比的其他对象的规律建立目标函数的关系式并提出此微分方程有解的相关条件，即列出微分方程组 （4）求出这个微分方程的解 （5）用所得的结果来解释实际问题（或现象），或对问题的发展变化趋势进行预测 下面以具体的实例来探究微分方程在数学建模中的应用． 3 建模广泛应用 运用微积分知识,人们建立了许多数学模型,并解决了许多重大问题。例如,17世纪伟大的科学家牛顿在研究力学的过程中发明了微积分,又在开普勒三定律的基础上运用微积分,成功地推导出了著名的力学定律 ———万有引力定律,这一创造性的成就可以看作是历史上著名的数学模型之一;最初的人口预测和控制模型———马尔萨斯 (Malthus)人口模型和阻滞增长模型(Logis- tic模型)是应用微积分知识建立起来的;还有描述生产量、劳动力、投资之间变化规律的道格拉斯(Douglas)生产函数等等也要用到微积分知识。又如,有一段时间,美国原子能委员会处理浓缩放射性废物的方式是装入密封性很好的圆桶中,然后扔到深海里。这种做法是否造成放射性污染,引起了生态学家和社会学家的关注,通过有关微积分数学模型的建立,成功解决了放射性废物处理问题中的争论。 4 建模解决的实际生活问题 微积分还可以解决许多大学生能够理解的、现实生活中的实际问题,这就为我们大学开展数学建模活动奠定了良好的基础。 请看以下几例: 案例1:磁盘的最大存储量磁盘由操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1, 这个基本单元通常被称为比特(bit)。为了保障磁盘的分辨率, 磁道宽度必须大于ρt,每比特所占用的磁道长度不得小于ρb。为了数据检索的便利,磁盘格式化时要求所有磁道要有相同的比特数。现有一张半径为R的磁盘,它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域,试确定 r,使磁盘具有最大存储量。 根据实际问题,我们所要找的是存储量 B(r)与半径r之间的关系,而存储量=磁道数×每磁道的比特数,即B(r)=R-rρt×2πrρb =2πρtρbr(R-r)。以下问题是求B(r)的极值,运用微积分,可以轻松得出结果,当r=R2时B(r)取极大值,此时最大存储量为 Bmax=2πρtρbR24。 案例2 某厂房容积为 立方米。经测定，空气中含有 2 %的 CO2．开动通风设备，以 的速度输入含有0.05%的 的新鲜空气，同时又排出同等数量的室内空气．问 30分钟后室内所含 的百分比． 解  设在时刻 车间内 的百分比为 ，当时间经过 之后，室内 的改变量为 于是有 或 初始条件为  将方程分离变量并积分，初值解满足 求出 x，有 将 t= 30分= 1800秒代入，得 即开动通风设备 30分钟后，室内 的含量接近 0. 05 % ，基本上已是新鲜空气了． 通过以上例子，我们对微积分在数学建模中的应用做了简单的探究．在这其中，我们不难看出，建立一种数学模型，就是数学理论更好的指导实际生活的过程，体现了数学学科和社会学科的交汇．这给人们提供一种新的思维和解决问题的方式，把人们从理论知识型向能力型转变．正因为数学建模的这种重要意义，才使它在将来的应用中会越来越广泛．