很明显，与国家A相邻的国家和区域，不外乎

很明显，与国家A相邻的国家和区域，不外乎 [高中数学课程扩展模块之十一 :] 拓 扑 趣 谈 张 远 南 在《奇异的莫比乌斯带》和《有趣的图论》等模块中，读者已经领略过一种只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑尺寸大小的新几何学的课题。莱布尼茨和欧拉称之为 “位置几何学”。如今，这一新几何学已经发展成一门重要的数学分支——拓扑学。它就是本模块要讲述的主题。 一、橡皮膜上的几何学 1、拓扑学研究的范畴 拓扑学研究的课题极为有趣。比如:左手戴的手套能否在空间掉转位置后变成右手戴的手套,一个车胎能否从里面朝外头把它翻转过来,是否存在只有一个面的纸张,一只有耳的茶杯与救生圈或花瓶比较，与哪一个更相似些,诸如此类，都属于拓扑学研究的范畴。许多难以置信的事情，在拓扑学中似乎都有可能。下图是一幅超现实的图画，画的是一个人在地上走，并抬头仰望蓝天。不过这里已经用拓扑学变换的方法，把宇宙翻转了过来。图中的地球、太阳和星星，都被挤到了人体内一个狭窄的环形通道里，四周则是人体的内部器官。该图选自美国著名物理学家盖莫夫教授的著作《One, Two, Three, „„Infinity 》一书。 拓扑学是一门研究一对一连续变换的几何学，所以在拓扑学中，人们感兴趣的只是图形的位置，而不是它的大小。有人把拓扑学说成是橡皮膜上的几何学，这是十分恰当的。因为橡皮膜上的图形，随着橡皮膜的拉动，虽然它上面的点一对一地连续变换，但其长度、曲直、面积等等都将发生变化，此时谈论“有多长”、“有多大”之类的问题，是毫无意义的～ 不过，在橡皮膜上的几何里，也有一些图形的性质保持不变。比如，点变化后仍然是点，线变化后依旧为线，相交的图形绝不会因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交～拓扑学正是研究使图形在橡皮膜上保持不变性质的几何学。 2、内部与外部 一条头尾相连且自身不相交的封闭曲线，把橡皮膜分成两个部分。如果我们把其中有限的部分称为闭曲线的“内部”，那么另一部分便是闭曲线的“外部”。从闭曲线的内部走到闭曲线的外部，不可能不通过该闭曲线。因此，无论你怎样拉扯橡皮膜，只要不切割、不撕裂、不折叠、不穿孔，那么闭曲线的内部和外部总是保持不变的。 “内部”和“外部”，是拓朴学中很重要的一组概念。 在《奇异的莫比乌斯带》模块里，我们提到过一些有趣的问题，我想大家一定记得那个饶有趣味的“哈里发嫁女”问题，这个有趣的故事，将加深你对这两个概念的理解。 故事的大意是这样的:古波斯穆罕默德的继承人哈里发，有一个才貌双全的女儿。姑娘的智慧和美貌，远近闻名，求婚者络绎不绝。哈里发决定从中挑选一位才智超群的青年做女婿，于是便出了一道题目，声明谁能解出这道题，便将女儿嫁给谁～ 很明显，与国家A相邻的国家和区域，不外乎上图的三种情况:图a是有一个国家与A有两条边界;图b与A相邻的两个国家，本身有共同的边界;图c是最常见的，不存在环形的情况。不难理解，无论上面三种情形的哪一种，在A的邻国中，总存在两个不相邻接的国家，如同上图的与。 现在去掉A与 、 的边界，则新图有 k—1 个国家，根据归纳假设，这样的图能用五种颜色染色。 设此时(A++)染甲色;、、分别染乙、丙、丁色。添上两条边界，变回原图，再让A染上第五种颜色。于是，原图已被用五种颜色染色。 这就是说，命题对于f = k + 1 也成立。 综合上述，即证对于所有交点有三个国家相遇的地图，只要用五种颜色染色就足够了～ 这就是赫伍德“五色定理”的证明。 3、环面上的染色定理 在《奇异的莫比乌斯带》模块的附录中，我们曾经提到一道智力思考题: 传说古代有一位国王，他有5个儿子。老国王临终前留下遗嘱，在他死后把国土分成5块，每个孩子各得一块。不过，这5块土地中的每一块，都必须与其余4块相连，使得居住在每块土地上的人，可以不必经过第三块土地，而直接到达任何一块土地上去～至于每块土地的大小，则由儿子们自行协商解决。不久，老国王离开了人世。在执行遗嘱的时候，5个儿子大伤脑筋。因为他们发现:在地球表面上，这份遗嘱根本无法执行～ 然而;大家可能没有想到，老国王这一无法执行的遗嘱，竟与近代数学三大难题之一，我们前面刚刚讲过的“四色定理”，有着直接的关系。这是因为，倘若这份遗嘱能够执行的话，便意味着存在5个两两相邻的区域。这种区域的地图自然非用5种颜色染色不可，这无疑与四色定理相矛盾。 在那一模块，我们曾提示大家用莫比乌斯带帮助5位可怜的王子，解决老国王留下的问题。不过，不用莫比乌斯带，用其他更为常见的曲面，问题同样可以得到解决。 事实上，在一个救生圈那样的环面上，老国王的遗嘱同样可以执行。例如左图那样，环面的下半部为一个区域，而上半部划为4个区域，这5个区域是两两比邻的。 有趣的是:在环面上不仅可以解决老国王遗嘱的执行问题，即使老国王的儿子再多两个，问题同样也能解决～ 实际上，在环面上我们甚至能找到7个两两比邻的区域。为了让读者看得一清二楚，我们对环面作一些处理，将环面剪开并摊成一个平面图形。显然，这只需剪两次，我们的目的便能达到(如下图)。不过要记住的是:摊开后图形的上下边界与左右边界，原本是缝合在一起的～ 右上图是人们在环面摊开后的矩形图上找到的，图中的7个区域两两比邻。如何把它设想成粘合后的环面图形;又如何说明上面的每个区域都与其他区域相邻接，无疑需要相当丰富的想像力，这对读者来说当然是一次极好的锻炼～ 下图画的是相应于右上图环面区域划分示意。左边是正面图，右边是反面图，反面的区域界线已用虚线标在正面图里。人们只要细心对照便会发现，图中的7个区域确实两两相邻，这一点比在矩形的图上更容易看出来。