“上不去

“上不去 “上不去，下不来”函数的求解误区 杜兰英 浙江省华维外国语学校 312300 导数的引入，给我们求解函数问题带来了极大的方便。由于对三次函数的图象相对比较熟悉，所以在求解时，学生往往会以三次函数的图象作参考，进行类比。但有时，如果函数不具有三次函数图象类似的特征，这样的类比就会出现差错。例如，有些函数尽管在区间,a,)，,上单调递增，但“上不去”，就是说，当x趋向于正无穷大时，函数值并不趋向于正无穷大;有些函数尽管在区间(-,,]b上单调递增，但“下不来”，就是说，当x趋向于负无穷大时，函数值并不趋向于负无穷大。 让我们看以下几个例子。 x2例1:下列关于函数f(x)=(2x-x)e的判断错误的是 ( ) A. f(x)>0的解集为{x|00,即 2x-x>0，00, f(x)<0,可知f(x)在(,?，-2 )和(2 ，?)上是减函数，在(,2 ，2 )上是增函数。故B正确。 根据函数f(x)在(,?，-2 )和(2 ， ?)上是减函数，在(,2 ，2 )上是 增函数，所以判断函数无最值，故C正确。 (注:错误地联想了三次函数的图象) 选D。 正确

答案

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为:C 2x分析:当x<0时，2x-x<0,e >0,故f(x)<0，也就是说，函数“上不去”。又 f(2 )>0,而当x>2 时，f(x)趋向,?，如图所示。所以函数存在最大值f(2 )，没有最小值，所以C错误，D 正确，应选C 。 2x例2:(2005年全国高考卷?) 已知a? 0 ，函数f(x) =( -2ax ) xe (1)当x为何值时，f(x)取得最小值,证明你的结论; (2)设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围. 2x,f(x),(x，2x,2ax,2a)e解:(I)对函数求导数得 fx() 2x2,令得,+2(1,),2,=0从而+2(1,),2=0 axaaxaf(x),0,xex 22 解得x,a,1,a，1,x,a,1，a，112 当 变化时，、的变化如下表 xfx()fx'() x (,,,x)x(x,x)x 11122 (x,，,) 2 , f(x) + 0 0 + , f(x)递增 极大值 递减 极小值 递增 xx?在=处取得极大值，在=处取得极小值。 xxfx()12 ，，xxx,x(x,，,)当?0时，<,1,在上为减函数，在上为增函数，a,0,f(x)12122 xx(x,2a)e,0而当时=，所以函数“下不来”。 f(x)x,0 当x=0时，。 f(x),0 2所以当x=a-1+a+1 时，f(x)2 取得最小值 ,,,1,1(II)当?0时，在上为af(x) x,1单调函数的充要条件是 2 32即，解得a ,a,1，a，1,14 于是在[-1，1]上为单调函数的f(x) 3充要条件是 a,4 3a即的取值范围是 [,)，,4 x评析:此题(1)有些学生开始分析时认为:函数在(,?，)上单调递增，1 所以无最小值(错误地联想了三次函数的图象)。于是对问题“求f(x) 的最小值”感到困惑，无法继续求解。 再来感受一题: 1ax2例3:已知函数f(x)=(x-x-e (a>0) ) a (1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间; 3(2) 若不等式f(x)+?0对任意x?R恒成立，求a的取值范围。 a 12x/2x2/2解:(1)当a=3时,f(x)=( x-x- e,f(x)=2e(x-1),令f(x)>0, ) a /得x?(,?,-1),x?(1,+?),令f(x)<0 ,得x?(,1,1) 故增区间为:(,?,-1), (1,+?),减区间为:(,1,1) 331ax2 (2) 令F(x)=f(x)+= (x-x-e+ ) a a a 2/2axaxax F(x)=(ax-ax+2x-2) e=(x-1)(ax+2)e=a(x-1)(x+)e a 22// ?a>0 ?令F(x)>0 ,有x<- ,x>1 ,令F(x)<0 , 有-0 )e)e22 a a a a a a 13a F(1)= - e+ a a 2422又x<,, x> ,-x> , 2 a a a 42112 故x-x- +- >0 > 2a a a a 1ax2即x趋向,?时，f(x)=(x-x-e >0, ) a 331ax2F(x)=f(x)+= (x-x-e+ >0, ) a a a 3所以要使F(x)=f(x)+?0对任意x a ?R恒成立，只需F(1)?0。 13aa而F(1)?0 ，即 F(1)= - e+ ?0， e?3 , 0数学

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