[精品]基于涨跌停制度股票价格TOBIT-AR-GARCH模型及其估计

正态分布密度函数. 当 y 来自子样本集合Y2, 具有下限的密度函数是: t Py(|),t ,,,,Pay(|),tt (5) ay,t,,(),t ,,()在这里是标准正态分布函数. 当 y 来自子样本集合Y3, 具有上限的密度函数是 t Py(|),t ,,,,,Pby(|)tt (6) by,t,,,1(),t 因此，最后得到Tobit-GARCH模型似然函数: yayby,,1ttt,L,,,,()(){1()} (7) ,,,c,,,,YYY123tttt 同理，可以得到Tobit-AR-GARCH模型似然函数 ,,,()()1)()1)ByaByaBa,,,,,aby，，((1tt000t,L,,,,()(){1()} (8) ,,,c,,,,YYY123tttt 2k而。 ,,,,()1BBBB,,,,,12k 最终, 我们可以得到Tobit-AR-GARCH模型对数似然函数 ,,,()(()1)(()1)ByaaByabBya,，,,，,,ttt000l,,，,，,,(ln()ln())ln()ln{1()},, (9) ,,,ct,,,YYYttt123 根据(9)，从而得到. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,121212kpq 为了最大化对数似然函数(9)， 我们让其一阶导数为0,并且起二阶导数小于0。 2211,x2,x2根据和，可以得到 ,xe,,,xedx()(),,,,22, 222222(())exp(((()1))/(2))((()1))/(2()),,,,,ByaaByaaBya,,，,,，,,,l1ttttt000,,，,(),,222,2()2,,,2(((()1))/),，,,aBya,,,YY12tt0tt022222 (10-1) exp(((()1))/(2))((()1))/(2()),，,,，,,bByabBya,,,,tttt00,1))/)))ya,,Y22((((),,，,bB30tt,,, 222222(())exp(((()1))/(2))((()1))/(2()),,,,,ByaaByaaBya,,，,,，,,,l12ttttt000,,，,y((),,ti,222,2()2,,,2(((()1))/),，,,aByaYY,,,itt12tt022222 (10-2) exp(((()1))/(2))((()1))/(2()),，,,，,,bByabBya,,,,tttt00),,,Bya,,(()1))/)))22((,,，bY3,,tt0 222222(())exp(((()1))/(2))((()1))/(2()),,,,,ByaaByaaBya,,，,,，,,,l12ttttt000,,，,((),,,,ti222,2()2,,,2(((()1))/),，,,aBya,,,YYi12tttt022222 (10-3) exp(((()1))/(2))((()1))/(2()),，,,，,,bByabBya,,,,tttt00),,,Bya,,(()1))/)))Y22((,,，b3,,0tt 222(())exp(((()1))/(2))((()1))/),,,,,ByaaByaaBya,,，,,，,,,lttttt000,，,,,2,,,2(((()1))/),，,,aByaYY,,,0t12tt0222 (10-4) exp(((()1))/(2))((()1))/),，,,，,,bByabBya,,,,tttt00,22(((()1))/))),,，,,bByaY3,,,,tt0 222(())exp(((()1))/(2))((()1))/),,,,,ByaaByaaBya,,，,,，,,,lttttt000,，,y(,,,ti2,,,2(((()1))/),，,,aByaYY,,,it12tt0222 (10-5) exp(((()1))/(2))((()1))/),，,,，,,bByabBya,,,,tttt00),22(((()1))/))),,，,,bByaY3,,,,tt0 最大似然估计受参数的初始值影响很大(Jianqing Fan & Qi wei Yao 2005)，为了使得到的估计值稳定，笔者利用贝叶斯方法进行参数估计。 ,,,11,,，,(1)1,,,,,，,,,,，log()log(exp{((,,))(,,))})le,,,,,,,,,,c，pq,()2,2(2)det(),, (11) ()(()1)(()1),，,,，,,ByaaByabBya,,,000ttt(ln()ln())ln()ln{1()},，,，,,,,,,,tYYY,,,ttt123 2,l最大似然方法估计参数，根据(10-1)至(10-5)得到估计值，尤其当是负定矩2,,阵，则根据(10-1)至(10-5)式求出的参数是最大似然估计值。贝叶斯方法估计参数，同理根据(11)得到估计值。虽然贝叶斯方法和最大似然方法在样本量足够大的时候效果相似，但是通常大部分的数据量不满足大样本要求，此时用贝叶斯的效果更好。 数据描述统计 中国实施股改政策，股改前后机构投资者在市场中的比重不同，股改后原来的法人股东与流通股东的利益趋于一致，上市公司的投资价值提高，所有的股东行为趋于理性。因此，笔者随机选用股改后的股票数据——华能国电(600027)， 其数据来自大智慧。华能国电股改实施从2006年8月1日，笔者选取该日期以后的股票收盘价数据，共746个。 图1 2006年8月1至2009年8月28日华能国电(600028)股票日价格 如图1显示，该股票价格波动较大，从开始日价格2元到2007年7份11元左右，随后跌到6元附近，而后在2007年10月攀升至近12元，此后开始下跌。根据中 746个数据进行统计，其中有5次下跌幅度国股市不超过10%的涨跌停限制，对 超过10%， 9次上涨超过10%。且其中有1次是连续两天下跌，从2007年5月31日的11.09元到下个交易日的9.98元，接着到下一个交易日的8.97元。如果股市没有涨跌限制，这次下跌一次到位就是8.80元，因为这样限制使得信息一次不能表达完全而后继续表达。 对这些数据进行描述性统计分析，见表1: 表1 数据描述性统计量 统计量 统计值 统计量 统计值 统计量 统计值 5(618 5(08 0(546 均值 中位数 偏度 2(308 2(25 -0.627 标准差 众数 峰度 5(327 41(08 9.76 方差 变异系数 极差 笔者对数据进行正态分布检验，结果拒绝原假设。同时根据表1利用峰度和偏度联合检验得到统计量为5.93,p值0.025，结论一致也不是正态分布，表明该数据不是正态分布。 GARCH模型建立及其估计 (1)ARCH效应检验 表2 Q和LM统计量的ARCH效应检验 滞后阶数 Q统计量 P值 LM统计量 P值 1 707.3482 <.0001 703.0430 <.0001 2 1369.7064 <.0001 703.3330 <.0001 3 1987.2217 <.0001 703.3703 <.0001 4 2558.2074 <.0001 703.5258 <.0001 5 3090.5553 <.0001 703.7360 <.0001 6 3595.4626 <.0001 704.2999 <.0001 7 4076.8086 <.0001 704.3111 <.0001 8 4536.0123 <.0001 704.3210 <.0001 9 4972.3297 <.0001 704.3875 <.0001 10 5389.7849 <.0001 704.5401 <.0001 11 5780.4558 <.0001 705.2277 <.0001 12 6144.2289 <.0001 705.2287 <.0001 根据表2显示，Q统计量和LM统计量的p值都小于0.0001，得知ARCH效应非常强，ARCH模型很适合处理这批数据。 (2)建立ARCH模型 pq**222,,，，,,,,yy,,，(()1),,,By, (12) ,,,,titijtj0tttt,,ij11 在忽视tobit现象时，笔者通过AIC，AICC准则建立AR(1)-GARCH(1，1)t分布模型，该模型的AIC，AICC分别为-1255.13, -1255.04, 值较小 其对数似然为632.56比较大。根据表3显示，其相应的参数也比较显著。 表3 忽视tobit现象的AR-GARCH模型参数估计 参数 自由度 估计值 标准差 T值 P值 参数标签 ,11 -1.0014 0.000935 -1071.0 <.0001 ,01 0.000757 0.000373 2.03 0.0424 ,11 0.3818 0.0821 4.65 <.0001 ,11 0.7308 0.0318 22.95 <.0001 df 1 0.2837 0.0422 6.73 <.0001 T分布的 自由度 虽然该类模型的R-square都为0.9983，参数比较显著。但是数据本身不服从正态分布，与模型假设不符。同时用其他模型得到的AIC，AICC值都很大同时对数似然比较小。如:用AR(1)-GARCH(1,1)时，其对数似然为139.55, 而AIC，AICC分别为-271.10和-217.04。且在忽视tobit现象的时候，计算其自相关系数为0.9519，而用AR-GARCH中该系数为-1.0014，其绝对值大于1(p值<0.0001), 与实际不符合。因此，AR(1)-GARCH(1,1) 模型不适合该数据。 Tobit-AR-GARCH模型及其估计 Tobit-AR-GARCH模型 pq222yBya,,，，(()1),,,,,，，,,,,y ， (13) ,,tttt0,,titijtj0,,ij11 在不忽视tobit现象时，根据王军伟(2009)处理相关数据模型阶数确定的方法。首先需要判断AR的阶数。根据偏自相关系数图2，可以得到AR的阶数至 ,0.07176少为1。计算偏自相关系数应该落在的区间为，这时可以确定阶数,1.96/T 大于2。然后按照AR模型得到系数估计，只有AR(2)参数能够通过检验，因此确 定该阶数初始值为2。根据k=min{[(1-c)k],[(1-d)k]}，在这里取c=d=0.1,可以计算出k=1。 图2 偏自相关系数和其图 然后，根据AR(1)模型计算出残差取其平方后，类似与上面的方法可以得到GARCH模型的p和q。由自相关系数图和偏自相关数图p和q同时取2，依据p=min{[(1-c)p],[(1-d)p]}，q= max{[(1-c)q],[(1-d)q]}，求出p=1，q=1。于是可以确定该模型为Tobit-AR(1)-GARCH(1)。 利用最大似然估计方法对Tobit-AR(1)-GARCH(1)模型进行参数估计，见表4 考虑tobit现象的AR-GARCH模型参数估计 表4 参数 自由度 估计值 标准差 T值 P值 a0 1 0(036396 0(016 2(267 0(0237 ,11 0(9943 0.0036 276.21 <.0001 ,01 8.51E-9 0 9999(9 0 ,11 0.8597 0.095557 4.65 <.0001 ,11 0.0002 0.00012 22.95 0(0776 根据表4显示，估计值不全部显著，比如a0的p值大于0.01,即使放宽以0.05为准则时，,的p值仍大于它不显著。利用最大似然估计方法计算对数似然值为1 119.17, AIC值为-228.34, AICC为-228.245。但是最大似然方法受其初始值的影响很大，有时候很快可以收敛，有时候却很慢，而且每次收敛值都不一样。 因此，选择利用经验贝叶斯进行估计，该方法可以利用先前研究的知识，且结果相较稳定。 表5 贝叶斯估计的参数 参估计标准25%分50%分75%分后验等尾区间HPD区间 (95%) (95%) 数 值 差 位数 位数 位数 a0 4.2298 0.4878 3.9094 4.2338 4.5549 3.2622 5.1739 3.2630 5.1741 ,10.1506 0.1146 0.0739 0.1513 0.2283 -0.0779 0.3730 -0.0753 0.3747 ,01.3159 0.9421 0.7347 1.0746 1.5852 0.3702 3.7511 0.2249 2.9913 ,10.8389 0.0643 0.8041 0.8469 0.8835 0.6910 0.9394 0.7180 0.9565 ,10.5388 0.1189 0.4667 0.5470 0.6219 0.2849 0.7466 0.3095 0.7638 选取DIC值作为评判模型好坏的标准。DIC类似于AIC、AICC和BIC，但只有DIC可以用于样本非独立的模型。利用贝叶斯方法进行参数估计得到的DIC值为1377.38。由轨迹图显示图形非常稳定，说明markov链的均值是常数。 图3-1 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)截距a0的诊断图 ,1图3-2 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)中AR系数的诊断图 ,0图3-3 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)中GARCH的常数项诊断图 ,1图3-4 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)中GARCH的arch系数项诊断图 ,1图3-5 贝叶斯Tobit-AR(1)-GARCH(1)中GARCH的garch系数项诊断图 图3-1到图3-5中，autocorrelation图显示贝叶斯估计过程中参数抽样的自相关性和有效性。Posterior density图为单一模型后验边际分布。图3-1到3-5的autocorrelation图都呈现指数型下降，表明在贝叶斯估计下MCMC是收敛的。Posterior density图给出相关参数的光滑、单一模型后验分布。而且Geweke收敛诊断等相关检验p值大于0.05，见表6。 表6 Geweke诊断检验 参数 z统计量 p值 a0 1.9100 0.0561 ,0.0727 0.9420 1 ,1.3003 0.1935 0 ,0.1739 0.8620 1 ,-0.3804 0.7037 1 最后，利用后验预测分布对模型进行检验，具体方法见(Andrew Gelman, J.B.Carlin, H.S.stern, and D.B Rubin, 2004)，笔者检测了后验预测分布的四个指标，最大值(max)，最小值(min)，均值(mean)和标准差(sd) ，如图4。 图4 后验预测分布 图4为观测值和四个统计量的p值，红线表示观测值的四个统计量。如图所示，p值都大于0.01,可以认为预测值和观测数据相吻合，进一步验证利用贝叶斯估计Tobit-AR-GARCH模型的结果结合了先验信息且结果更加稳定、合理。 讨论 本文利用Tobit-AR-GARCH模型，给出贝叶斯估计参数的方法并与最大似然方法进行比较。举例说明在涨跌限制下确定相关阶数的步骤，利用真实的数据进行分析，验证利用贝叶斯方法的可行性和可靠性。 涨跌停限制不仅股票市场有，国内商品、期货交易所和金融期货交易所均有上市品种的涨跌停板制度。在国外部分交易所有的上市品种也有类似制度，比如CBOT的豆类以及COMEX的精铜。现今美国次贷危机爆发引发世界性的经济危机，未来将会有更多的金融市场实施类似的限制，也意味着Tobit时间序列的数据会越来越多。该模型的研究应运而生，是必要的且具有实际意义的，其可以应 用到其他具有类似tobit数据分析中。 然而对于该模型还有很多问题没有得到探讨，如根据Tobit-AR-GARCH模型 进行预测，向量化Tobit-AR-GARCH模型来研究多个这类时间序列的方法等。 参考文献 Ma, Christopher, K.R. Ramesh P. and S.R.Stephen(1989), Volatilityprice resolution and the effectiveness of p rice limits, Journal of Financial Services Research, 3, 165-199. Kim K.A, Rhee1 S.G.(1997) Price limit performance: evidence from the Tokyo stock exchange, Journal of Finance, 52: 8852901. Chen. H(1998) Price limits, Overreaction, and p rice Resolution in FuturesMarkets, The Journal of futuresMarkets, Vol18, No13, 243-263. Chen, Chao and Jeng, Jau Lian(1996), The impact of p rice limits on foreign currency future’s p rice volatility and market efficiency, Global Finance Journal , 7, 13-25. Phykaktis, Kate and Kavussanos, Manolis and Manalis Gikas(1999), Price limits and stock market volatility in the Athens stock exchange , European FinancialManagement, 5, 69-84. Roll, Richard(1989), Price volatility, internationalmarket links, and their imp lications for regulatory policies, Journal of financial Services Research, 3, 211-246. Kim, Kenneth A.(2001) Price limits and stock market volatility Economics Letters, 71, 131-136. Geyer.C.J (1991a) Markov chain Monte Carlo Maximum likelihood, Computing Science and statistics, 23th, 156-163. Geyer.C.J (1992) Practical Markov chain Monte Carlo, Statistical Science, Vol.7, No.4, 473-483. Hopke,P.K., Liu, C., and Rubin, D.B.(2001) Multiple imputation for multivariate data with missing and below-threshold measurements: time-series concentration of pollutants in the Arctic. Biometrics, 57(1), 22-33. Andrew Gelman, J.B.Carlin, H.S.stern, and D.B Rubin(2004) Bayesian Data Analysis, 158-165 Jianqing Fan and Qi wei Yao (2005) Nonlinear Time Series nonparametric and parametric methods, Springer Scientce & Business Media, 1-191. John B.H. et Al (1992) Tobit Maximum-Likelihood Estimation for Stochastic Time series Affected by Receiver Saturation. IEEE TRANSACTION ON INFORMATION THEORY, Vol.38, No.2. John F. M. and Robert A.M. (1980) The Uses of Tobit Analysis, The Review of Economics and Statistics, Vol.62, No.2, pp.318-321. Park,J.W., Genton, M.G. and Ghoah, S.K.(2007) Censored time series analysis with autoregressive moving average models. Candian Journal of Statistics, 35, 151-168. Robinson,R.M.(1992) Estimation and forecasting for time series containing censored or missing observations. Time Series, North-Holland Publishing Company, 167-182. Weidong Zeng (2004) Autoregression-GARCH with Estimates of the Model of Daily price return Rate with Price limits, Chinese Jounal of Aplied Probability and Statistics, Vol20. No.4. Zeger,S.L. and Brookmeyer,R.(1986) Regression analysis with censored autocorrelatid data. Journal of the American Statistical Association, 81,722-729. Junwei Wang (2009) Censored or Truncated Time series and Their Estimations，Journal of time series (审稿中). 孙培源,施东晖(1999) 涨跌幅限制降低了股价波动吗——来自中国股票市场的证据, 证券市场导报,11: 12218. 陈平,龙华(2003) 中国股市涨跌停绩效的经验分析及政策建议, 世界经济, 2: 56279. 吴林祥,徐龙炳,王新屏(2003) 价格涨跌幅限制起到了助涨助跌作用吗, 经济研究,10 : 59293. 胡朝霞(2004) 涨跌停机制对上海股市效率和波动的影响, 厦门大学学报, 2, -108. Vol162,100 刘海龙,吴文锋,吴冲锋(2005) 涨跌停限制对股票市场波动性的影响,上海交通大学学报,10,Vol39,1569-1573. 柴宗泽(2009) 涨跌停制度对股票收益率序列相关性的影响，中央财经大学学报，2，28-32. 童恒庆(2005) 理论计量经济学， 科学技术出版社，579-606.