L-smooth拓扑空间的分离度和双F-分离性的研究

L-smooth拓扑空间的分离度和双F-分离性的研究 Y(79眼03 分类号旦 单位代码 10447 密 级 无 研究生学号 200205006 聊城大学 硕士学位论文 论文题目L―smooth拓扑空间的分离度 和双F一分离性的研究 研究生姓名 赵美香 专业名称 系统理论 指导教师姓名 耐。武教授 系 别 数学科学学院 入学日期 2 『膨‘ i9川 J 论文提交日期 州，5年lj 聊城大学硕士学位论文 摘要 扑的一些性质(但是，目前很少有人利用开度来研究分离度(本文的第一章主要研究 L-smooth拓扑空间的分离度( 在第一节中，介绍了Lsmooth拓扑空间的基本知识，定义了，一开邻域，讨论了，一 开邻域与，一闭远域的关系( 闭远域当且仅当A’为而，的r一开邻域( 同胚不变性、可乘性等( Z分离度，其中i 0,1，2，3，4( 从第二章开始，利用连续值逻辑的语义学方法来研究拓扑(在第一节中， 定义了由 J，J 诱导的XJ F一拓扑空间 x，州， ，并讨论了它的性质( 为:w ， 一 2蕊】， 邑 爿 2蕊】J aAA - 扑空间( e 卜w 聊城大学硕士学位论文 了它们的特征刻画，讨论了它们的关系，研究了它们的性质( 定理2(2(8设 ?，‘， 为双，一拓扑空间，则 h x，‘， ?正HVx^yyF x^?x ^ y，?x ^ 工?y 一 卜t x，J 寸正 y，J I， 正 x，J 斗r y，Jl， O 一1,0，1”( 定理2(2(14设 ?，， 为不分明化拓扑空间，则 定理2(2(26卜I ?，， ?五+A x，， ?五一 x，， ?瓦( 定理2(2(27卜 x，， ?五‘A 石，， ?五? ?，， ?r3+( 通过本文的研究，一方面，我们丰富了‘O O，l，2，3，4 分离性的知识:另一方面，我们 对正 i 0，1，2，3，4 分离度有了新的认识，开阔了我们的视野( 双F一拓8b空N x，w 功，一元F一谑,Nr,?F Q f:一1,0，1，2，3， 4 II 聊城大学硕士学位论文 ABSTRACT and L-smooth are arestudied Since spacesgenerated，they topology topological arediscussedmeansof of of gradation gradation by opennessbymanypeople(However,nOW is few this of inL―smooth separation separationengagedby people(Inpaper,gradmion is studiedin one( topologicalmainly chapter spaces Insection ofL-smooth is introducedand one，basic spaces knowledge topological aredefinedandrelationsbetween and r,openneighborhoods ，一open r,closed arediscussed( R―neighborhoods Theoreml(1(1 anL-smooth Let LX，f be topological A iffAj a x isa x is r―closedR-neighborhoodofL r―opennei审 borhoodofL Insection aredefined mad two，，一正 i 0,1，2，3，4 spacesby，一open relationsbetweenthemarediscussedandtheir arestudied(Itis that properties important of 3 shouldbeintroducedanditis that gradationsseparationof正 i 0,l„24 spaces proved exist studiedsuchasthe they reallyby andthe hereditarypropertyproductive property( W setof be: Defmationl(2(6Letbethe allL-smooth let，:甲呻L topologicalspaces，and the V Lx,r ?甲，Ji 上X，f v ，?Lollet LX，f be，,正space ，thenJi 上。，f is gradation i 0,1，2，3，4( of正separationof Lx,f where From two isstudiedthesemanticmethodofcontinuousvalued on，topology by chapter its introducedand logic(Abifuzzytopologicalspace x，w ， inducedby x，J is arediscussed( properties Defination2(1(5 a unarybifuzzy Let X，J befuzzifyingtopologicalspace(A defmedas: w ， ?F F X is J ar 彳 ?? 呱似一 删infjF 乞 爿 -驯infJ Defination2(1(6 calleda induced called w j is bifuzzytopology by，，?，W 卿is a induced bifuzzy by 工，J ( topologicalspace 聊城大学硕士学位论文 all Theorem2(1(5 a be Let Y，J befuzzifyingtopologicalspace，X??，andletf: x斗Y order thesetof homomorphism，then bV?r y 厂一1 以， Hw f一1 ‘，” ，whereT Y is all onY( fuzzifyingtopologies Theorem afullorder 2(1(6Let X，J beafuzzifyingtopologicalspace，andletf: x斗Ybe H setofall the homomorphism，then w?T X w J ,fw J,f ，where丁 彳 is on爿( fuzzifyingtopolo零es In 2 aredefinedandtheircharactersareobtainedandtheirrelationsarestudiedandtheir arediscussed( Theorem2(2(6Let X，J be space，then abifuzzytopological ?，， ?正H觇。?彳 缸。 ?F+ ( Theorem2(2(8 Let X，J beabifuzzytopologicalspace，then x，t， ?正付Vx^Vy。 互z?X n y。?x ^ x?y ―手 Theorem2(2(9 a a Let X，J bebifuzzytopological subspace，then 正瞄刀斗互?，I， 佤衅，， 斗T; Y,JI， O 一1，o，1 ( Theorem2(2(14 a Let X，J befuzzifyingtopologicalspace，then 疋 ?，w I， ?争TAX，， 正 ?，w J ‘?‘ x，J f 一1,0， 1 ( Theorem2(2(26 x，， ?五+^ x，， ?正寸 x，刀?正( Theorem2(2(27 x，， ?T4+^ J，， ?五斗 x，， ?E+( the ofthis theode enrich of of Throughstudy paper,onhand，we knowledgeproperties theother haveanewunderstandon of 正 f 0,1，2，3，4 separation;onhand，we gradation 3 and OUrviews( widen 正 f 0,1。24 separation 聊城大学硕士学位论文 KEY of of WORDS:L-savo拍topologicalspace，Gradations topological unary 正 f o，1，2，3，4 spaces，Bifuzzyspace，The predicates正?， q“ 一1,0，1，2，3，4 V 聊城大学硕士学位论文 前言 I 4 x ?n ， 三o 三一 0 ，P 口?L:VT,L，若??vT，贝03r?T使口?r ( F一拓扑的概念，从一个不同的角度发展了不分明集框架下的拓扑学(沈继忠在文[4]中 将一般拓扑学中的分离性公理引入到不分明化拓扑空间中去，近几年，有很多人致力于这 方面的研究并取得较好的成果(但是，目前存在一个问题:双F一拓扑中的分离性公理没 有取得较大的进展(本文在第二章中系统地研究了双F一拓扑中的分离性公理( 本节可用以下公式: 6 【妒十 矿】: [ 妒―?y A y―?妒 ]， 7 []』妒 工 】: sup【妒 x 】 』ET 8 若4B?聃，则【4?B]: [、口_^?X x2?A― (h?B ]， 9 爿三B: [ 4?占 ^ 曰?爿 】( 聊城大学硕士学位论文 第一章L-smooth拓扑空间的分离度 ?1(1L-smooth拓扑空间 本节主要介绍了以后将要用到的基本概念，讨论了，一开邻域和卜(闭 远域的关系( 定义1(1(1„如果映射f:Lx斗上满足下列条件: 1 f 0 f 1 1。: 2 VA，B?Lx，f?^占 2 r A Af B : 3 V 4 瞎，?Lx，r v L-smooth余拓扑( 3 V a^。，GLx，C 台4 ?^*FAAi - ，―开集(所有，i开集组成的集合用f，表示( ，一闭集(所有r一闭集组成的集合用 FJ(表示。 爿 砷甚s，则称A为Xs的r一开邻域(Xs的全体，一开邻域之集，记作?， t ( 一 x 丕五，则称A为X。的，一闭远域(工。的全体，一闭远域之集，记作仉 , ( 闭远域当且仅当A 7为X。，的r一开邻域， 充分性(因A‘为石‖的，‘一开邻域，故彳’ 功《兄7，即彳 z 兰旯(又因为 ‘ 4 r A’ ?r，所以A为扎的，一闭远域( 聊城大学硕士学位论文 所以A’为x。的，一开邻域( 个凹拓扑( 证明( 1 因r o r 1 1?r，故0,1?r，( 2 VA，B?f，，贝0r AAB ?r A ^r B ?，，即AAB?f，( 3 Vi?I，A;?f，，则f 兰4 ?,53 A护r，即墨4?f，- 所以f，是一个三F拓扑( c 定理1(1(3旧设 r，r 为L―smooth拓扑空间，Y X(定义映射o:‖ 斗三 为:fr 4 v f 台 :B?Lx,曰,Y 爿 ，则ry为】，上的L―smooth拓扑( 定义1(I(7 Lr，f， 为L―smooth拓扑空间 Lx，f 的子空间( 厂一 一 上 爿 ， 工 ( L―smooth弱同胚不变性质( 定理1??1??4设 胪，fr 一是一族,一SmO。拍拓扑空间，(rE L。，X 罂五(只:F斗移 完全分配格( j|5lp城大学硕士学位论文 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――一 只_1 爿 力 一 只 茗”( 3 射影映射只Q?乃是L―smooth连续序同态( LF拓扑r( 2 f f 0 r O I，显然成立( 由 1 易证t 所以 SAt?c AAB (由f的定义得r A^B ?sAt， r 一^B V(( 0^f 一，。?;。1占 ^ VjEC 』1’ BfCet B eet A CasAm f 7 以 f 4 人f B (、7 、7 iii 设V‘?丁，At?r且r 爿r 2,??Vl?C A， ，由 1 易得l c毛‘， 即4，T，鲁‘( 是"拓扑， ’ ， 即 l ( 于是’ 7, 因一。-fe，‘ 故tVeT4? r井’』 、fEr? F 乙。 r 善4 ?t会T‘ r 爿t ??所以r为,,SIIIO。拍拓扑( 7 善爿， ?。。夏4J 念‘ 2台l。苫^j‘ 2。A smooth连续序同态( f 只。1 4 ?f， 爿， (所以只是L 定义1(1??10称由? 诱导出L 表示三一伽。舶乘积拓扑空间( 集[五]满足f [棚 ?，，则称 p，f 为，一满层的L-smooth拓扑空间( 矿，f 为满层的L一5_?o拍拓扑空间( 聊城大学硕士学位论文 当A x 0时，A x ?P x ，则称尸为A的，一开邻域 A x 0当且仅当A x ??，Vx?X ?1(2 本节定义了，一正空间和正空间的分离度 f O，1，2，3，4 ，讨论了 它们之间的基本关系 证明了I 的分离度具有闭遗传性、强同胚不变性等( 定义1(2(1 r一瓦空间( 素元J。与Y，，当丸甚Y，时，:fP?N， ，， 使尸 工 ?旯，RUN U，f 为， 一五空间( 定义i(2(3 定义1(2(4 Lx，f 为r一正空间( ，一,空间( 聊城大学硕士学位论文 空间当且仅当 Lx，f， 为正 瓦，正 空间( P?77， 上。， ，Q?玎， y， 得P z 兰s’，Q y 芝t’，即P Q’?N， y， (又因为P7AQ’ PvQ ’ 0，故 r，f 为，一疋空间( 为，一瓦空间( 下面的例子说明r―E空间不是，一五( 例1(2(1 Lx，f 是号一疋空间，而不是号一互空间( 0一正，f O，1 空间( ，一五 ，一I，i 0,I 空间，则 Lx，f 是J―E 证明由r s可得Tr P?札x^ ，Q?M y。 且P^Q 0(因此 r，f 是s一正空l'nq( 聊城大学硕士学位论文 34( 正分离度，其中i 0,1„2 中 4‘z’ z y’ 心， tul葛删 ;三删 :三，z y’口‘z’ i号z y’c‘z’ ij 。cz， :;:;，Ecz， ;;:;，，cz， :;:;( ，。 r，r i1( Ja Lx,r 号( 以 r，f ( 厶 r，f ( 5 令f c f D f E f F 于1， 厶 ‖，f 1( 证明由定理1(2(2得， ，?Lo 即 Jo r，r ?^ r，f ( 得定理1(2(5―1(2(8( 聊城大学硕士学位论文 r一正p一瓦，r―T1 空间，则子空问犯7，f， 为，,疋p―To，r一正 空 间 三:7，f: 是r―T2 r―To，，一正 空|’日J( ，一正p一瓦，r―1 空间( 为，一L空间，且z，是 r，r 的，一闭集，则 p，f， 为，一正空间( P?N， 4 和Q?N， y: 使P^Q 0(而f E v 『 尸 lP?Lx，Pl， 目?r， r F Vp Q IQ?r，Qf， 毋2 Lr，f， 为，一正空间( ,-smooth强同胚序同态(若 三。，h 是r一五空间，则 ,7，勺 是r一 正空问( 聊城大学硕士学位论文 类似于上面的两个定理，可得下面的两个定理( 为，一t空间，且z，是 r，f mr一闭集，则 ‖，f， 为r一‘空间( JA U,f， ?J: r，f ( L-smooth同胚序同态，贝0J 2 三:7，f 以 心7，f2 ?‘ 厶X_ ( 。 间 ，即V 以，，: ,2Y,r2 ?J2 三，。，f， ( ，: ‖，f ?v r?LolVt?丁，舻，t 是r一疋空间 ‘ r，r ?v ，?Lo ，一Z空间 ，扛0,1 ( 聊城大学硕士学位论文 证明由定理1(2，7得， ，?L。l LX，f 为，一正空间 2p?L。lVt?T， 三一，r， 为 B[JJz Lx，力 ?V r?厶lVt?L 庐，0 是，一疋空间 ( 证明出定理1(2。8得， r?厶f ，一疋空间 ，又因 ，?L。l 上。，f， 为，一正空问 ?妒?厶IVt?71， 三“，r， 为r一疋空间 Vp?Lof?-，f， 是r一五空间 2v妒?Loi ‖，f 是，一正空间 (所 以，，: 三1，r， ?J: p，r ( 定理1(2(17 ，， 三7，f， ?以 P，f ( 证明由定理1(2(10得，p?上。l ff，勺 为，一正空间 三p?Lol ‖，攻 为r一五空间 ，即V妒?厶J r，r， 是，一正空间 ?v r?Lol ‖，o 是，一正空间 ，所 以，以 r，f， ?‘ ‖，h ( V爿?Lx，_ 彳 ?f2 爿 (记作q 百2( 聊城大学硕士学位论文 J2 三。，f1 ?J2 r，f2 ， ‘ 三。，f。 ?Ji Lx，f: ，i 0，1 ( J: r，f。 ?J2 r，f: ( 第二章双F一拓扑空间的分离 ?2(1诱导的双F一拓扑空间 X，w ， 本节将文献[3]中不分明化拓扑空间和双F一拓扑空间的定义作了修 改，在此基础上 定义了由 x，I， 诱导的双F一拓扑空间 盖，w ， ，并讨论了它的性质( 定义2(1(1设X为非空集合，若J?F? x 满足: 1 F-x，??J: 2 任意A，B，F- A?刀^旧?J jA^B?J: 3 任意 以lA?A ，卜V旯 A?A_Az?， 斗羔以?，( 则称，为不分明化拓扑， 五，J 为不分明化拓扑空间( 定义2(1(2不分明化闭集族记作，，定义为:A?F: A。?J( 定理2(1(1 1 -x，庐?F: 2 任意爿，B，卜I 彳?Y v 占?F ― AvB?F; 3 任意 以J旯?人 ，卜_V丑 A?A斗Az?F 哼念一z?F?? 定义2(1(3设x为非空集合，若，?F F x 满足: 1 卜1*，0?，: 聊城大学硕士学位论文 2 任意A，B，F A?‘， A B?， 斗AAB?J: 3 任意 以f五?Aj，卜V五 五?A斗Aa?刀斗基^?，?? 则称J为双，一拓扑， X，， 为双，一拓扑空间( 定义2(1(4双F一闭集族记作F，定义为:A?F: A。?J( 定理2(1(2 1 1T，0?F: 2 任意A，B，F A?F v 曰?F 斗AvB?F: 3 任意 以fA cA ，kvz z?A斗一a?F 一念』z?F?? 为:w ， 爿 5蕊l， 芭 爿 2聪】， q 4 ?? 定理2(1(3设 z，刀为不分明化拓扑空间(则“D满足: 1 卜V兄?[o，1]_兄?“l， : 2 任意A，B，HA?w (， ^ 占?w ， 斗A^B?以(， : 3 任意 以I;t?A ，卜-V旯 旯?A斗Az?w ， 斗羔^??， ?? 证明( 1 显然成立( 2 [AAB?“刀]2焉】， 彘 爿^占 2州in?f】F 乞 彳 u乞 曰 nqu， Jl ?Elu，II ?州in鲫f】 ， 乞 4 ，F 乞 日 ?叫in。f川 min F 己 爿 ，F 邑 B w ， ]^[??“J 】?? 。i酏nf，】F 乞 爿 “蕊】F 彘 曰 5[爿6 2爱f黑】 F 色 以 i。n。(f似D 4 ?? 扑空间( 定理2(1(4设叫，D为不分明化拓扑空间，E??，则kE?J付z。?w J ( 证明??[zs?“， ] 鲁螵】 F 幺 zs 睢inhfl?Elu，l口Elu(11( F 芭 ze ^F 萏 zr 聊城大学硕士学位论文 F E’ AF ? F E’ J E ( sup 厂1 ，， M J， ? ，则f。1 Jy 满足 NeY，M r1r? 1 F-1』，0?厂1 ，r ， 3 任意 4 证明( 1 显然成立( 2 厂。1?， 口AB sup J， |v sup J， MA? Ney，A^B f“ ? M，??y，A^B f。1 MAN ? sup ‖y M AJy ? sup Jr 吖 AsupJy ? 吖，,?r，A f。1 _|lfLB f“ ? MEy，J ，。 村 ?? r，B f-1 ? f。1 以 4 ^ 厂。1 ，， B ( 3 骤 厂1 以 以 ?，。。 B ，以荔2 @1厂基2 ?饵。厂盖2 ?g味1厂为因?? A g羔 rJ。„ 骂8 “5“oE^胤 肛“4?^ gE兀 AIAz ，1 毋 ，B^ErJ sup Jy ?(g 兄 ? sup 以 】v(g 旯 。6“ 1‘“ ge旦 日z^ f“ 口。 ，口zEy 五8 ^ Ey，f“ ^v^5 ^ ix^ 所以理?‘1? ? ?旷1? 嫁鸣 ^EA^E^ J 4 ，E【in。f(J Z(椰 证明(显然，infl，f， 1(我们有 rElu(1l ， 爿 “吲V” TXo-r 椰 删inf，? 栅 _V，?r 1， 厂1 州J H w f。1 删 ，其中r 1， 为l，上所有不分明化拓扑之集( 聊城大学硕士学位论文 证明??【爿?厂1 似J 】2 I以q 回 ，』 1 mf- BeY,A-厂1f口 „” 兰删inf】蹦s何up， 研J aAB ?rE【in?f】僻刚su ，p1呻”J q 曰 2焉l ，’1 删 q 爿 w f。U 爿 ( 由引理2(1(1和引理2(1(2，我们得到 [Ae以，。1 删] w ，-1 删4 5 2蕊】 厂-1 埘 q 爿 H删zs 2蕊】 ，’1 w 删,五 ? 厂‘1 w‘棚’‘4’ 2蕊?，:黑M [A?厂1 W ， ]( 证明( 1 显然有?『， O 1， JI厂 1 1( 3 任意 A。I丑?A ， V旯 五?A斗以?JI厂 斗羔爿a?JIf?? 拓扑空间( H w?丁 x w J ,fw J,f ，其中T X 为X上所有不分明化拓扑之集( 证明(VJ?T X 2蕊】 ，7似crr 爿 呱，7似爿 ’ l 4 ―― 塑塑查兰塑主兰垡堡壅 ?2(2双F一分离性 。殴x xzJX?X，五? 0，1 ( 定义2??2??1设x?z，扎的邻域系记作?h?F F x ，定义为:爿? 眠。:: sup， 占 ( 3B B?D人 B x 芷A ^ 日?爿 ，即?白 爿 口E』，口 ^ ?2 定义2??2??2 即d 4 2』;。峨inf。:。 1一，? ,以( 引理2??2??1“ 一 』;1_Nx。 爿’ ,h( 证明??[xz?d 一 】 1一sup J 占’ 1一supJ B’ 1一M，( 彳， ( “ o^CB，BZA B’ j ^7，日79J。 为了方便起见，我们采用以下记号:2,12? o，1 置,“:2刊“口?M; ^口@ ?‖ V 肚Ny。 ^ 爿 J ?A ， M-，托: 383C B?Jv_ ^ c??，。 ^ B^c ? 五^卢 ”( l，Rj?， Q O 一l„01 2;, 0,1，2 ，定义为:五，‖? o，1 ( 工，， ?互??: 垤^砂^ _?X A y^?X A X?y 斗吒m 五，， ?To: Vx^砂， 九?z ^ y，E? ^扛?y 一Knm， z，， ?正: 觇^砂。 h?X A y，?x A x?y -- Hw。， x，‘， 5疋: Vxz砂， h?X A yF?x ^0?y 斗Mh“， 盖，‘， 5R车,砂一 ??柳^?，?柳^0?力 _ 足。，h啼日。。 ， 石，， 6 RI: 魄^机 ???^O，??^@?力 哼 Hh机一M。乩 ， 聊城大学硕士学位论文 引理2(2(2 1 卜H?。呻世w。， 2 卜吖h(,― ?h，靠， 3 卜M札(儿― Kh，,?? 证明?? 1 【眉n，靠】 msu脚p^Iy s?Nt A ，s?up。NyAIJ ‘^ ， 爿 ?嚣巴岷似 』Iv塔“ ?m 舞啦。min K 4 ，虬， 口 2[H““】‘ [Hh，“】?? 3 由 1 和 2 易得( 定理2(2(1 1 _-To X，， 斗,( x，J ， 2 墨 x，， 专To X，J ， 3 _疋 x，， 斗五 x，J ， 4 卜瓦 x，l， 斗Vo X，， ( inf 证明( 1 [ ?，力?To]- sup N，; 爿 ，sup Ny 4 一 aCyV(u Afx、5A |?YE^，1?y ? inf sup以， 一 ，sup?，， 爿 [皤，(， ?T1] ( 』fvl?^ 』 j s^ 』^，yi?X，x*y 2 证明可从引理2(2(2 1 得到( 3 证明可从引理2(2(2 2 得到( 4 证明可从引理2(2(2 3 得到( 推论2(2(1 1 墨 ?，t， 一t， ?，， ， 2 卜t ?，刀寸,， x，J ( 定理2(2(2设 ?，(， 为双F一拓扑空问，则 ,。 x，‘， ??Vx。Vy。 z。?j ^ y。?70^ 工?y 斗 一 工:(?cl Y。， V―r y，，? cz x，，” ( 聊城大学硕士学位论文 证明([ z，D?玛】 sup in(f N，， 彳 ，supN，， 一 “ “ h(，iE?，J‘y 』 y珏2 』 J ?A in! 眠。 y，， 『 ，N，。 h一 ’ 札，YzcX，x?y inf。 1一cl y‖ 工‖ ，l―c， 工‖ _y^( 札，Y,teX，J‘y inf。 ] cf y‖ z‖ ，] ct xr _y‖ Ef，x#y n，y1 定理2(2(3设 z，， 为双，一拓扑空间，则 |-To X，J HVx^Vy。 x^?X ^ Y。?X A x?Y ― 一 石‖?el yu, V， y。t?cl x‖ ( 证明??[皤，， ?不]2。Y粤eXi。也(? ，j4y 5鬻?n 彳 ，思。? 蜥 4 ^Ly拉p 』tz，E^ in! K ? 『 ，?，。 ? 『 xi，Yu?』，』?y 2 inf( 1一c， y‖ x‖ ，1一c， xr y。， Jz??Yu?X，J?y 2 in! ] cz y。， z‖ ，] c， xr y‖ x x，YuEx，x y 1帆?嗽? 定义2(2(4设N。为x。的邻域系，B。,虬。被称为也的局部基，如 果 卜I爿??如寸3c c?B“ ^ C z 《Z ^ C?4 ( B c ，VA?F X ( 显然，若B。。为而的局部基，则N。， 4 sup ctntZ(cEd 定理2(2(4设日，，为而的局部基，则 卜I 证明(,，Yp?X且x?Y，sup芝; 9兰supM; 9，sup“ ‘ B o?sup?，(( c 叫 a y s,u a y su c“琏z c x E^ 4 因此，rain sup鼠。 4 ，sup占h c ?min supN，; 一 ，sup ‘ N，(。 C 。’ ’“ 』 y EF c f s^ J y ?p c J s^ sup 即 min N， 爿 ，Ny，( C ， “2 ” 』 y ‘?，c J ?^ 聊城大学硕士学位论文 in―f in(f sup sup, 彳 s “，儿6x，x‘y^ y玛p 吼，ygex,z‘y』 ， ,岛c臼 ,j supp c， 4 三supp 爿 ( 定理2(2(5卜F,F’( btyllp， BL毒墨?即 c Lkx s^ 证明??[ x，力?正】 。i。njf。，min 跚su脚p Yxx„Ex，x yN ? in―f in―f in―f?儿 f勘， ’ 1一eZ 也?? y‖ ， [1 y，r?cZ 屯r 】 却‘Z 另一方面， in[[supp cl xz J] in―f[一 y，r?cf r‖ ] xnE^x1，yuEA，x?y xl―y。eX，1 y 2 N妇四 in! jv，。 辑物s, 慨 ’ 2恶up xx(y口E?，T?y Ht，拦^ 类似地，我们有[溉。?x 协。 ?F+ ]?sup?。 口 (所以， [Vx^?x 工^ ?F’ ]?min sup in―f N，。 一 ，supM; 曰 【 x，， ]?五](‘ ’ h，y。??，T‘y “ x s^ 口 ， ‘F 定理2(2(7设瓦为h的局部基，则 卜疋 ?，， 斗坛^Vy。 ,?? A 乩?奶A@?Y 寸 SA A?见。 A --, y，r?d 4 ( 证明( 聊城大学硕士学位论文 in! inf sup min B如 4 ，?k 爿’ 。 ,sup?min B，。 4 ，l―cl A yu, 。’ 如-,eX，x*y』5， 工’ q，y?EJ，x#yAeF X in(f sup sup min B。( 彳 ， B。 C ” 。j，Yu??，z。y』5―F 肖 c ， ,p，csH。 2 in! sup supmin B“ 彳 ，B。 c h，“5J，J。，^6j 月，“， ??，cEd。 ? in―f sup sup min B时 E ，B， 日 J“c?^“pHo】#“HaC?A’，E【』】Ez，E A ’ n，儿E互，x*y sup in! sup min sup毋， 句， By。 H ” E 』 ‘^，ESA 。i，YueJ，j。，A^CEA^g “H y f-lt，H!CgA’ in! sup min Nx,t 4 ，N。 c 【TAX，‘， ] 而，乩E』，甜，J“【1s^“p 定理2(2(8设 x，， 为双尸一拓扑空间，则 卜 x，D?疋HVx^Vy。 如?x ^ 儿?z ^0?y 寸 证明??显然，O'2^g‖ n,(， 矿 ,(。‖^y [Vx^Vy‖ ,?司^帆eX A X?y ---- 2 inf。 sup min M: u ’Ny。 y “ ’ j^，，?E』，x*yo“?叫 n吼“F P ? in―f sup min N。，缈 ，?? 矿 “ ’ n，儿E?，x*y弧r刮^“p [正 工，J 】 引理2(2(3设 x，t， 为双F一拓扑空间，Y至X，JI，?尸 ， y 定义为: V?JIy: ju u?J ^ 矿 UIy ， 即J,r y sup， u ( V U ,7 (贝ljjI，为Y上的双F一拓扑，其中y 曲 Ul， x u 曲，x?Y( 证明(显然， ，I， o 1，‖f， 1， 1( 。 ’ ’’ ^E 4E^„r ，n j‘^ 任意匕?F y ??A ，骧 J坝_ _i。nf匕s屯uphJA , ，:咒:蝶， 厂 A f 2 '其中“z ?卜sunp。J „v 3 ,,F x :_ Uzlr 五?A ?? 聊城大学硕士学位论文 类似地，VK，,?， y ，min Jj， K ， ，J， 吃”? ，f， KA, ( 疋 ?，， 寸rAY，Jl， 1 x，I， ― l y，JIY f 一1,0，1 证明(设z^，Yp?y且x?Y，X2+,Y_+?X为h，Y‖的扩张( W2 x，， ] (唑。(册„、min N，2 口 ，?Yu* c 1^‘，y_+eX，x*y口^c! ^^? inf supmin sup， M ， sup， ? Bt,c‘ o^p 'ilfs口，^f T ?^ ^‘，，。‘Ex，J4y ?!o趔 ， ‘” ? inf suprain sup ， M ， sup ， ? MIr5引r，MIr x tA??NIr- Gr，Nit y ,,a h，h5y，j’y日Ir^CIr‘0-^p ?in―f suprain sup JIr Mlr ， sup ‘，Ir Nlr M 。i(，??r(T’y口ir^CIrq^“肿y58l，村k【。 《^ N[r5cy-NIr y ‘p 蜓 suprain 虬。 君协?h C r” ’ jj，y，，EY，j，y日l^ClrE ^“F [疋 y，Jl， ]( 义为:卜_c ， : Vu ‖?Jr 一 ，‘1‖ ?Jx (我们称C为双F一连 续( 为:卜O ， 车 Vu ‖?J。 寸 f U ?J， (我们称0为双F一开( 证明(设“^，V‖?y且“?V，令“^ f x^ ，V? f Y‖ 且x?Y( [疋 x，JD] in!(!up， min N(。 功，N“ c ’ B^CsIA“p J】，y，，EXJ?v supmin sup inf。 Jz E ，sup以 F tsB，et。J‘z ，sc，fIy ip 1^，，』eX，x*yB“c5【^“P ? inf, sup 商n sup Jy fiE ，sup Jr 厂 ， J B"， cJ5 z“p , 6 5， 口 ，， EX“悼2 』 n?, ck， 州” p 。z(,eYu?v in! sup min Nu。 (厂 口 ，帆。 厂 c 嘎 Y，J， ]( “，(r((Er，„，f月 ^， c ? i“P ’ 聊城大学硕士学位论文 证明(设“^，VF?y且“?v，令“^ f x^ ，v。 f Y。 且J?Y( ’ [正 】，，JO] inf、。册min N。 B ，N，。 c “j，v，，Er，?口^cs ^“‖ inf。 supmin sup Jy E ，supJr F 。i，v。E,柳B^c鞋^““ ,s自rEl# li Fsc。Ftns口 ? in―f ( sup min sup Jx矿-1 毋 ， sup Jx 厂。 用 f-l E gf“ 口 ，厂。 EXx ‘A X2(yuO:，x*yfl 口 ^厂‘ c 纠^^曲 厂‘ F gf_1 c (， 一1 ，静 船 。i旺 ( 8粤 Tnjn岷 厂。1 固 ，, 厂。 C [TAX，J。 J( xl口。“，痒yrlt劭^rltcl鱼A^m 。 基定义为:妒 上叫E， 引J， 己， 1只。 u 我们称t兀eT‘，，为 ，r:t e 丁 的双F一乘积 en的双F一乘积拓扑， 。Hx，，g‘，， 为?，:t 拓扑空间( o?丁 是射影映 l- vo ‘?丁 斗c 只 成立的最小的双，一拓扑，其中e:罂?，寸Xt 射( 证明??Vt?T，U?置，有 卫以 只-1‖ ?妒 鼻。1 U ?0 u ( 于是，【 Vf f?r 哼c , ]:蟑 inf 、„ f?rUeX( 、teT’7、’ 现在，我们证明双，一乘积拓扑兀，是最小的( 任意t?T， ，三，?xvl j伊‘“。”’29以?? 定理2(2(13 证明([vt?71 x，，J， ?正 】-in,[T2 X，，J， 】 聊城大学硕士学位论文 i―nf?h。，兰彬一器囊曲椭‘?‘曰’扎，一‘c’’ ?i―nf inf( ( s斗p rain ?h 只_1 曰 ，?y， 只叫 C 1 c ? ^“‖ „ x1 ^， YD。Exf，^‘yr异’‘ 口 ^E ?i,nf((( 8up min N。 只1 B ，N? 只1 c ” [TAx，J ](’ 。+，只一1 口 ^只一1 c ? 2^F 定理2(2(14设 X，， 为不分明化拓扑空间，则 卜疋 x，“删??TAx，， L x，w 删Hl时，刀U 一1,0，1 证明 inf [正 X，“删]- supmin Nx: 曰 ’Ny。 C 、 BACg 2A,a xi，yHEx，1?y inf supmin supw ， M ，sup似， ? 8“。q1““ 4’‘。1M 。 ‘2 ?‘。'” ’ ‘” 如，y。Ej(j‘y ? inf supmin sup“， M ，sup川， ? 、 B^CEgME口，盯 』 蛆 NSC，? ，j,z “，y^E^，j?， ? inf min sup sup sup J 邑 M ’ ， ， 乞 ? ’ 一 BACj2M -B，M f ?^ ?fc，? y ,i “，??^，J?y inf rain sup sup J 己 ? ’ , sup 。i鲢，， 彘 M ’ ' 一 、JE 白 ? ye 缸 口 ’。6[o，1】 y? 最 ? ’, 缸 c r x(vEj，T?r口^cs^ ?inf sup min 札 白 口 ’ ，N 乞 c ’ [tax，删( 撑y 白 口 ’n 矗 c”7 ? 另一方面， rain supJ 彳 ，supJ 口 [疋 X，， ] infsup w UmV #AcU，J?? Bcr(，?口 in―f suprain supw ， z』 ，supw ， zB x”nxy。n lAEiUdl5Z^ 8 xl，ypeX，x4y XBEZv，YuEl ? in! sup inf( sup rain Nx( 勋 ，以。 肌 zu“zy‘z“p 如，y“?X，z’yzu“新20 h，“5x，x i,y [疋 x，“， ]( 定理2(2(15 1 F x，J ?R2斗 X，J ?Ro， 2 卜 ?，J ?R:一 X，J ?R。， 3 若L x，J 1，则F x，J ?R。斗 ?，J ?R。( 聊城大学硕士学位论文 证明( 1 由引理2(2(2 2 得， Ro x，， in―f min 1，1一【―K札，儿]+[日h，靠] 札(Y。?X(x#y ? in。f min 1，1一[K,，。]+?“如] R2 x，， ?? x1(yueX，x y 2 由引理2(2(2 1 得， Rl x，D inf， min 1，1一【Hh，y。]+【M如，儿D 姐，Y口eX，』?y ? in,f rain 1，1一【足h，,]+[M“，“】 R2 x，J ?? 也，y?EJ，J?， 因此，Ro x，， in,f min 1，1_[K,y。】+[H,h] X2，儿?互，x?， ? in(f min 1，1_[日W。]“M,y。] R1 x，， ?? 1^，yuE，，z?y 定理2(2(16 1 卜 ?，J ?正斗 X，J ?Ro， 2 卜 x，J ?正?争 X，J ?Ro^ 石，J ?ro( 证明( 1 正 ?，D in![日。。]? m! 【K。“― 日。以】 R。 x，‘， xi，YuaX??x?y 札，'peX，xey 2 由 1 和定理2(2(1 2 ，有 卜 ?，J ?正一 ?，J ?R。^ X，， ?ro( 另一方面， 0，inf― in! min 1，1一【K,，。】+【日m,】 + 【K?，，]一1 EX x#y $f,t，Yu Ji，Yp?^，1?， ? 0， inf, min 1，l叫足h批]+[Hm^] +【足h以]一1 J„YEX，J?， 叫【日。，。】_I x，‘， ?? J^，y?aX，J?， 因此，卜I X，J ?正停 X，， ?R。^ ?，， ?ro( 定理2(2(17 1 卜啤，J ?ro寸 x，J ?Ro斗 X，D?互 ， 2 卜 x，J ?R。_ x，J ?ro一 x，o?正 ( 证明( ，3 聊城大学硕士学位论文 min 1，1_【 x，J ?矗】+1一[ x，J ?Ro】+[ x，J ?五】 rain 1，1一 [ x，J ?瓦]+【 工，， ?R。]一1 +[ x，， ?正】 1( 2 证明类似于 1 的证明( 类似于定理2(2(16和定理2(2(17的证明，我们可得下面的证明( 定理2(2(18 1 卜 ?，， ?疋一 x，J ?R:， 2 卜 ?，J ?疋?争 X，J ?R2^ X，J ?1"o( 定理2(2(19 1 ?，J ?兀一 x，J ?R2斗 ?，J ?疋 ， 2 卜 x，l， ?R2一 一，J ?7"0--- ( X，J ?疋 ( 定理2(2(20 1 卜 ?，J ?正一 J，J ?R(， 2 t- x，J ?疋4-- ( x，， ?R1^ ?，J ?正( 定理2(2(21 1 x，J ?互一 x，J ?R。斗 置J ?正 ， 2 卜 x，J ?R1一 x，， ?正斗 Z， ?正 ( 定理2(2(22 1 卜 x，or ?R。^ 五，J ?R1付 J，J ?R2， 2 卜 x，， ?R1一 x，J ?Ro_ x，J ?R2 ， 3 卜 x，J ?R。一 ?，J ?Ri斗 X，J ?R2 ( 另一方面， [ x，J ?R。^ x，J ?R1] 0， inf― in! rain 1，1一【Kxz,Y，]+【Hh(“】 + ‘?，yu?^，x y x1，y?EA，x Y inf 0， in,f 1一【足,，。]+[日w。] + 1一[H“?】“吖w。] 一1 xl，yuEx，x y 1?，y,?eX，1?y ? 0， i11, 1一[K“，托]+[?也，“]+1一[Hh，y。】+【Mh(如卜 1” 2 4 聊城大学硕士学位论文 0，inf inf, 1一[足q，,】+[Mh，如】 1一【K“，,】+[Mx;,yp] 1i，YVe^，x?， 1|，y#54，14y in―f min 1，1一[足札，儿】+[Mxa'Ya] 【 x，， ?R2] 』^，y?E』??x*y 由 1 可得 2 【 J，J ?R(一 x，J ?R。一 J，J ?R2 ] min 1，l_【 Z，， ?R]+1一[ z，I， ?R。】+[ 工，， ?R2] 3 证明类似于 2 ( 显然，卜_F”?F(由定理2(2(5得，卜|F4,F+( 为了方便起见，我们采用以下记号:A，‖? O，1 suppA z?X1a x O ，hgtA v A x IX?? ， 义为:A，‖? 0,1 ( x，， ?L: VAVB A8?F A 曰?F4 A suppAnsuppB 庐 斗吼B， x，， ?五+: VAVB A?F+ ^ B?F’ A suppAn suppB 妒 专呒口( 聊城大学硕士学位论文 定理2。2。23 1 卜瓦+ x，L， ― 五 z，， 2 卜L’ ?，, 一L x，刀( 证明( 1 [五。 x，， 】 min 1，l―F+ D +sup min Jv如 爿 ， ND 占 一inf t^“d DeX J I^“^掣J xzeX x,suppD ? inf rain 1，l―F” D +supmin N。， 彳 ，―, 曰 [正 x，， 】 nEx，DeX，x,strppD 』^口 , z^蛔fD [五 x，t， ]( lr ， -TAX，J 斗T3 Y，JI， TAx，J 一T4 Y，J Y。的扩张( [TAX，J 】?inf min 1，1一F“ B +supmin ?，: c ，N口 D ，i‘E』，BeX，yCsuppB CAD ‘ ^^坼口 ? inf sup min 1，1一F4 B^zr + min Ny。 C ，NB(f， D 儿‘E膏(BA(DeX，y$snpp B^Xy c^D , nhgt B^Zr 一inf rain 1，I―F8 4 +sup 心“pJ -IX^增M， ，1Ey(AeY―yesteppA Jx" 一 Jr" 厂 4 ( min 1，1一F4 4 +sup min Nh C ，NJ D [五?，JJ ]-一inf 日E?，AeX，xtsmppA 【0^口圬‘^“^g州 inf min 1，1一F4 ， 爿 + f， j?iEy(，f』 Ey，f x esapaf A sup min N， ， 。 厂 c ，N， 川 , D 聊城大学硕士学位论文 访f miIl 1，1一F8 B +supmin N，， E ，N口 F ，^Er，BeY，y?EsuppB ,^， ? ^^^咖 [五 Y，J， ]( 弓I理2(2(4 V口，，?[0,1]，有 1A 1一d+y +a?1+， 定理2(2(26卜 x，J ?互+^ x，， ?正― x，， E乏( 一EX [ z，， ?瓦+]+[ 肖，D?正] inf sup min 1,1一F+ D + 如?石J咖p加 』^口 E 且AhgaO ;， E? ?i9fin,min 1，1一F sup 4 ，p + :，?王 ‘iEJ，x+y，_eX A^B A AAg in―f in,rain 1，1一F+ y， +凹 如??，z’yy。?? 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