圆的方程；空间两点的距离公式

圆的方程；空间两点的距离公式 一. 本周教学内容:圆的方程，空间两点的距离公式 教学目的: 1. 理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半径;能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问;探索并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一般方程。 2. 能够根据给定直线、圆的方程，会用代数方法讨论直线与圆的三种位置关系;能够根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系。 3. 掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标;掌握空间两点的距离公式，会应用距离公式解决有关问题。 二. 重点、难点 重点: 1. 圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准方程;圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径长，理解关于二元二次方程表示圆的条件。 2. 直线和圆的位置关系的判断和应用;两圆位置关系的判断。 3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标;空间两点距离公式。 难点: 1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认识。 2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系;通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系。 3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标;空间距离公式的推导。 知识分析: (一)圆的标准方程 1. 圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。 2. 圆的标准方程:已知圆心为(a，b)，半径为r，则圆的方程为 ; 若点M(x1，y1)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即 (二)圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成下面的形式: ? 当 )为圆心，以 时，方程?只有实数解 ); 当 时，方程?表示一个圆，方程?叫做圆的一般方程。 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点: (1)<0" > 和<1" > 的系数相同，且不等于0; (2)没有xy这样的二次项。 以上两点是二元二次方程 ; (2)过圆 ; (3)过圆 3. 直线与圆的位置关系中的三个基 www.cphsi.com.cn 本问题 (1)判定位置关系。方法是比较d与r的大小。 (2)求切线方程。若已知切点M(x0，y0)，则切线方程为 ; 若已知切线上一点N(x0，y0)，则可设切线方程为 (四)圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系问题 判定两圆的位置关系的方法有二:第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数;第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下: 圆 的位置关系，其中 当 时，两圆外离; 当 时，两圆外切; 当 时，两圆相交; 当 时，两圆内含 注意:两圆的位置关系可表示在一条数轴上，如图所示: 两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。 2. 两圆相交问题 (1)过两已知圆 即 ，表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线;当两圆相切时，此直线为两圆的公切线;当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线。 2)过直线与圆交点的圆系方程 ( 设直线 相交，则方程l与圆C的两个交点的圆系方程。 (五)空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示(轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90?能与y轴的正半轴重合。这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O,xyz。在这个过程中，三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。 2. 点P的坐标 过点P作一个平面平行于平面yOz(这样构造的平面同样垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为P，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标。你能试述点P的y坐标，点P的z坐标吗, 3. 坐标平面 每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面。 4. 特殊点的坐标形式 xOy平面是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x、y为任意实数; xOz平面是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x、z为任意实数; yOz平面是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y、z为任意实数; x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数; y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数; z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数。 5. 卦限 三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限。 在坐标平面xOy上方分别对应该坐标平面上四个象限的卦限称为第?、第?、第?、第?卦限;在下方的卦限称为第?、第?，第?、第?卦限。在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的。例如在第?卦限，三个坐标分量x、y、 x为负数，y、z均为正数。 z都为正数;在第?卦限， (六)空间两点的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是 特别的，点A(x，y，z)到原点的距离为 【典型例题】 例1. 求满足下列条件的各圆的方程: (1)圆心在原点，半径是3; (2)圆心在点C(3，4)，半径是 ; (3) 因为圆与坐标轴相切，故圆心满足 ， 又圆心在直线 ， 解方程组 ，得: 所以圆心坐标为(4，4)，或(1，,1) 于是可得半径 或 。 (5)设圆心为(a,,2a)由题意，圆与直线 解得:a,1 所以所求圆的圆心为(1，,2)，半径为 故圆的方程为 ，则 解得 法二:因为圆过A(5，2)，B(3，,2)两点，所以圆心一定在线段AB的垂 直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为 解得 所求圆的方程为 又圆C与y轴相切得 ? 又圆心在直线 上， ? 圆心C(a，b)到直线 ? 联立???解方程组可得 或 将A(2，,2)，B(5，3)，C(3，,1)三点的坐标代入圆的方程 得 点评:一般来说，由题意知道所求的圆经过几点且不易得知圆心换半径时，常 用一般式。 例5. 已知圆 由 消去y，得 即 (1)令 当 或 ，即 时，直线与圆相交 (3)令 或 或 ，即 ， 或 时，即 即 ，即 即 时直线与圆相离 点评:解决直线与圆的位置关系，几何法比代数法简单。 例6. 已知直线 ，曲线 ，它们有两个公共点，求b的取值范围。 解析:法一，曲线C中，l和C有两个公共点，等价于方程组 有两组不同解，又等价于 ，有两组不同解，消去x得l有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解 于是 解得 表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如图所示。当l与C有两交点，此时b,1，记为 与半圆相切时，切线记为 ;当 与 之间时， 。 ， 解析:法一 解方程组 得交点坐标分别为(0，2)(,4，0) 设所求圆心坐标为(a，,a) 则 解得 法二:同法一，得两已知圆的交点的坐标为(0，2)，(,4，0) 设所求的圆的方程为 解得 法三，设所求圆的方程为 因为这个圆的圆心在直线 上 所以 圆的方程为1、点(2，0，3)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A. y轴上 B. xOy平面上 C. xOz平面上 D. 第一卦限内 2、点M(2，,3，1)关于坐标原点的对称点是( ) A. (,2，3，,1) B. (,2，,3，,1) C. (2，,3，,1) D. (,2，3，1) 3、设点B是点A(2，,3，5)关于xOy面的对称点，则|AB|等于( ) A. 10 B. D. 38 4、设有圆M: ，点P(2，1)，那么( ) A. 点P在直线l上，但在圆M上 C. 点P在直线l上，也不在圆M上 5、设M是圆 上的点，则M到直线 的最小距离是( ) A. 9 B. 8 C. 5 D. 2 6、方程A. C. 7、过点P(3，0)能有多少条直线与圆A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 1条或2条 8、直线 被圆A. B. 2 C. D. 9、直线 所截得线段的中点坐标是( ) A. D. 10、若圆 关于直线 对称，那么直线 的方程是( ) A. B. C. D. 11、与两坐标轴都相切，且过点(2，1)的圆的方程是____________________ 12、过点(0，0)，(1，0)，(0，2)的圆的方程是 __________________________ 13、若实数x ，y满足 ，则 ，则 的最大值为__________________ 15、一圆过点P(,4，3)，圆心在直线 相切，且和直线 ，求该圆的方程。 【答案】 1,10:C A A A D D A C A D 11、 13、 14、 ， 依题意，得: 解得: 所以所求圆的方程为 16、设此圆的方程为 ， 解得: 所以所求圆的方程是 或 或 17、设?P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|，由题设知?P截x轴所得劣弧所对圆心角为90?，知?P截x轴所22得的弦长为 r，故2|b|, r，得:r=2b 2222又?P被y轴解得的弦长为2，由勾股定理得:r,a，1，得:2b,a,1。 又因为P(a,b)到直线x,2y,0的距离为 ，即有 22解得: ，于是r,2b,2 中国民办高等教育学生信息网 www.cphsi.com.cn cph 是全国民办高等毕业生证书的网上公共查询平台 简称"民教网"凡是在民办高校接受全日制高等教育后获得的学业完成证书 、职业资格证书和学历证书等，均可在该网查询。 为社会上鉴别民办高校毕业生各类证书的真伪提供权威性的公示和鉴定。增强中国民办高校毕业生证 书的严肃性和真实性，有助于促进民办高等教育的可持续发展。