[精彩]三棱锥、四棱锥

[精彩]三棱锥、四棱锥 1、四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA?底面ABCD,AC=2根号 2,PA=2,E是PC上一点,PE=2EC, 1)证明:PC?平面BED(2)若直线ED和面ABCD所成的角是30?，求四棱锥P-ABCD的体积 第一问: 因为PA?底面ABCD，所以PA?BD 因为底面ABCD是菱形，所以BD?AC 所以BD?面ACP，所以PC?BD 设AC，BD交于点O CE=PC/3=2?3/3 CE/CO=(2?3/3)/?2=?6/3=AC/PC 所以?PAC相似于?OEC 所以?OEC=?PAC=90?，即PC?EO 所以PC?平面BED 第二问: 作EK?AC交AC于K 则EK=AP*CE/CP=2/3 ED=EK/sin30?=EK*2=4/3 ?CED为RT?，所以CD=2?7/3 OD=?(CD^2-OC^2)=?10/3 底面积=2*OC*OD=4?5/3 四棱锥P-ABCD的体积:V=S*h/3=8?5/9 (18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA?底面ABCD，AC=2，PA=2，2 E是PC上的一点，PE=2EC. (?)证明:PC?平面BED; (?)设二面角A-PB-C为90?，求PD与平面PBC所成角的大小。 证明:方法一:(坐标系法) 1 取坐标系，A,0,0,0,, B,200,D,020, P,002, 则E,4/3,4/3,2/3, PC,,2,2，-2, BD,,-2,2,0, BE,,-2/3,4/3,2/3, 平面BED的法方向n,BD×BE,,4/3,4/3,-4/3, 显然PC?n ?PC?平面BED. 2 PD,,0,2.-2,平面PBC法方向n1,,1,0,1, PD与平面PBC所成角为α sinα,|,-2,/,2?2×?2,|,1/2 α,30º 第一问: 因为PA?底面ABCD，所以PA?BD 因为底面ABCD是菱形，所以BD?AC 所以BD?面ACP，所以PC?BD 设AC，BD交于点O CE=PC/3=2?3/3 CE/CO=(2?3/3)/?2=?6/3=AC/PC 所以?PAC相似于?OEC 所以?OEC=?PAC=90?，即PC?EO 所以PC?平面BED 第二问:(II)设D( 2，b，0)先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得 线面角解 面APB?面PBC