信号与系统信号与线性系统期末考试试卷1、 已知某连续信号的傅里叶变换为,按照取样间隔对其进行取样得到离散时间序列,序列的Z变换。
解法一:f(t)的拉普拉斯变换为
,
解法二:f(t)=L1{F(jw)}=(et e2t )(t)
f(k)= (ek e2k )(k)=
F(z)=Z[f(k)]=
2、 求序列和的卷积和。
解:f1(k)={1,2,1}=(k)+2(k1)+ (k2)
f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k1)+ f2(k2)
3、已知某双边序列的Z变换为,求该序列的时域表达式。
解:,两个单阶极点为0.4、0.5
当收敛域...
1、 已知某连续信号的傅里叶变换为,按照取样间隔对其进行取样得到离散时间序列,序列的Z变换。
解法一:f(t)的拉普拉斯变换为
,
解法二:f(t)=L1{F(jw)}=(et e2t )(t)
f(k)= (ek e2k )(k)=
F(z)=Z[f(k)]=
2、 求序列和的卷积和。
解:f1(k)={1,2,1}=(k)+2(k1)+ (k2)
f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k1)+ f2(k2)
3、已知某双边序列的Z变换为,求该序列的时域
达式。
解:,两个单阶极点为0.4、0.5
当收敛域为|z|>0.5时,f(k)=(( 0.4)k1( 0.5)k1)(k1)
当收敛域为0.4<|z|<0.5时,f(k)= ( 0.4)k1(k1)+( 0.5)k1( k)
当收敛域为|z|<0.4时,f(k)= ( 0.4)k1(k)+( 0.5)k1( k)
点评:此题应对收敛域分别讨论,很多学生只写出第一步答案,即只考虑单边序列。
4、已知某连续系统的特征多项式为:
试判断该系统的稳定情况,并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个?
解 构作罗斯-霍维茨阵列
由罗斯-霍维茨数列可见,元素符号并不改变,说明右半平面无极点。再由
令则有
可解得
相应地有
j
j
这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j,系统为临界稳定。
所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根,无正实部的根。
点评:此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。
5、已知某连续时间系统的系统函数为:。试给出该系统的状态方程。
解:系统的微分方程为
取原来的辅助变量及其各阶导数为状态变量并分别表示为、、、,于是,由此微分方程立即可以写出如下方程
状态方程:
输出方程:
或者写成矩阵形式,上式即为
``
6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。
解:
二、(12分)已知系统框图如图(a),输入信号e(t)的时域波形如图(b),子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示,信号的频谱为。
试:1) 分别画出的频谱图和时域波形;
2) 求输出响应y(t)并画出时域波形。
3) 子系统h(t)是否是物理可实现的?为什么?请叙述理由;
解:1)根据傅立叶变换的性质得:
2)y(t)=[e(t)f(t)]h(t)=[(t+2)+2(t)+ (t2)] h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t2)
3)因h(t)是有始因果信号,所以子系统h(t)是物理可实现的。
点评:此题做对的非常少,大多数写不出f(t)的表达方式。
三(12分)、已知电路如下图所示,激励信号为,在t=0和t=1时测得系统的输出为,。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。
解:1)电路满足KVL:得
2)系统函数为:,特征根为1=0.5,2=1
Yzs(s)=H(s)E(s)= =
零状态响应:yzs(t)=(e0.5t et)(t)
yzs(0)=0,yzs(1)=(e0.5 e1);
yzi(0)= y(0) yzs(0)=1,yzi(1)= y(1) yzs(1)= e1 ;
yzi(t)=(C1e0.5t +C2et)(t),得C1=0,C2=1
零输入响应:yzi(t)= et(t);
全响应:y (t)= e0.5t (t)
点评:此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答,失去少部分分数。
四(12分)、已知某离散系统的差分方程为
其初始状态为,激励;
求:1) 零输入响应、零状态响应及全响应;
2) 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量;
3) 判断该系统的稳定性。
解:,特征根为1=0.5,2=1
1) yzi(k)=(C10.5k+C2)(k);
代入初始条件得C1=2,C2=2
零输入响应:yzi(k)= (220.5k)(k)
Yzs(z)=H(z)E(z)= =
零状态响应:yzs(k)= (0.5k +k1)(k)
yzs(0)=0,yzs(1)=(e0.5 e1);
全响应:y (k)= (1+k0.5k)(k)
2)自由响应:(1 0.5k)(k)
受迫响应:k(k),严格地说是混合响应。
3)系统的特征根为1=0.5(单位圆内),2=1(单位圆上),所2系统临界稳定。
五(12分)、已知某离散时间系统的单位函数响应。
1) 求其系统函数;
2) 粗略绘出该系统的幅频特性;
3) 画出该系统的框图。
解:1)系统函数为:
2)系统的幅频特性为:
3)系统的框图
六、(10分)请叙述并证明Z变换的卷积定理。
解:
卷积定理
设,,则
或用符号表示为:若,,则
两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及Z变换的定义证明如下
交换上式右方的取和次序,上式成为
对上式右方第二个取和式应用式(8—15)的移序特性,则得
点评:很多学生做不出此题,有的竟然连卷积定理内容都写不出。
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