AHP层次分析法理论概述及应用实例举例

AHP层次分析法理论概述及应用实例举例 第3章. AHP层次分析法理论概述 3.1 AHP层次分析方法概述 层次分析法(AHP)是美国运筹学家T. L. Satty 于20 世纪70 年代初提出的，它将复杂问题分解成各个组成元素，采用定性和定量相结合的方法，提高 [20-21]了决策的有效性，因而在社会的、经济的、技术的系统中得到了广泛应用， [22-23]AHP在教育评价、学生素质评价方面也有不少应用。下图给出了一个层次模型示意图，如图3.1。 指标1的子指标1的子指标1 指标1的子指标1 指标1的子指标1的子指标2 第一层指标1 指标1的子指标2 …… …… 第一层指标2 指标1的子指标1的子指标k 指标1的子指标j 决 策 …… 对指标1的子指标1的子指标1 指标n的子指标1 象 指标1的子指标1的子指标2 指标n的子指标2 第一层指标n …… …… 指标1的子指标1的子指标x 指标n的子指标m 图3.1. 层次模型示意图. 方法是:建立层次模型后，可将各层的要素按照表1 进行两两比较，看它 们对上一层次某个准则的相对重要程度，将全部比较结果对于某一上层因素的标 度值列于表内，就得到式(1)的判断矩阵。显然，该方法能够对人们的主观判断做出比较客观的描述。 表1. 要素比较重要程度的标度表 标度 含 义 标度 含 义 1 表示两因素比较，具有同样重要程度 7 表示两因素比较，一因素比另一因素非常重要 3 表示两因素比较，一因素比另一因素稍9 表示两因素比较，一因素比另一因素极端重要 微重要 5 表示两因素比较，一因素比另一因素明2，4，6，8 取上述相邻判断中值 显重要 (1) 3.2 AHP层次分析法的应用步骤 使用AHP层次分析法来解决实际问题分3个步骤，首先是要构造指标体系，然后进行数据的规范化处理，最后是确定权重并进行一致性分析。 3.2.1 构造指标体系 就学生健康成长指标体系来说，根据实际教学过程可以构造出如图3.2的健康成长指标体系。注意在第一层有7个指标，第二层对应每个第一层的指标项数有差异。这7个指标包括了公认的5个评价方面(运动参与、运动技能、身体健康、心理健康和社会适应)。 体格类 心血管功能类 速度爆发力类 体质体能 柔韧力量类 胸肺功能类 营养类 水上项目 球类 体操 选修 田径 民族项目 技术技能 其它 学田径 必修 生 健康教育专题 健 考勤 康 课堂表现 评课堂评价 价 健康教育 自评 运动参与 老师评 心理情感 同学互评 社会适应 图3.2. 学生评价指标体系. 为了实施计算，并能在实际网络系统中程序实现，我们将上面的指标体系图加以改造，并加以标注。使用g来代表健康成长指数，这个值反映了一定的时间阶段上学生的各项指标累计值。改造后如图3.3所示。 ,w) 体格类(g,w) 心血管功能类(g11111414 营养类(g,w) 体质体能(g,w) 1212 速度爆发力类(g,w) 11 1515 胸肺功能类(g,w) 1313 柔韧力量类(g,w) 1616 ,w) 水上运动(g,w) 球类(g24242121 民族项目(g,w) 体操(g,w) ,w) 技术技能(g2525222222 其它(g,w) 田径 (g,w) 26262323课堂考勤(g,w) 33 学生,w) 健康行为(g44 成长 指数 ,w) 运动参与(g55自评(g,w) g i1i1 老师课堂评价(g,w) i2i2心理情感(g,w) 66 同学互评(g,w) i3i3社会适应(g,w) 77 图3.3. 学生某阶段成长指数模型. 3.2.2 规范化处理 为了能将不同指标不同量纲的数据进行统一处理，消除其影响，我们需要进 [24]。分成3行规范化处理，采用的方法通常是利用模糊数学方法计算其隶属度种计算评价指标隶属度的情况。 根据前面的指标体系，假设有某个学生x的健康指数为g，其中k?(1, m)，k 学生所在的群体数为m。 (1). 极大型 这类指标的特点是评价数据越大越好，例如在二级指标层，爆发力越大越好，肺活量也越大越好，这种评价属于正向。在新课程标准中，这些测量值并没有给出具体可以量化的成绩，虽然可以采用定性的形式，按照“优、良、中、差”的评价标准给出，但不利于最后的数据计算，也无法反映到学生的总体发展状况里。我们需要将其进行量化，可以采用标准区间:优[100，85]，良[84，75]，中[74，60]，差[59，0]。在学生所在的群体中，假设该指标的最大值为max，而最小值 为min，则该学生该指标S的隶属度由公式(2)给出。 ij ,minSij,(),...................................(2)xij max,min (2). 极小型 这类指标的特点是评价数据越小越好，例如在二级指标层，跑步的速度越快越好，也就是时间越短越好。这种评价属于反向评价。我们也可以象极大化形式那样处理。在学生所在群体中，假设最大值为max，最小值为min，然后可以使用下面的公式(3)给出某个指标S的隶属度。 ij max,Sij,(),...................................(3)xij max,min [25](3). 定值型 这类指标的特点是越接近某个值越好，例如在二级指标中，某些指标通常与标准值进行比较，差距越大说明越差。心跳通常在75次每分左右，可以取群体平均值，太快也不合适，太慢了也不合适。血压也属于这种类型的评价，太高了也不行，太低了也不行。假设学生所在群体第j个指标的平均值为B，学生的某项S的评价隶属度计算如下公式(4)。 ijij 1, S= B ij ij (4) A(x)= ij 1—(S – B)/max(S– B), max(S– B),为取群体中差距最大值 ijijij ijij ij 假设第一层指标的权重用w来表示，第二层指标的权重可用w表示，那么iij学生的健康成长指数可以用下面的公式(5)计算出来，而学生所在群体的健康成长指数可以用公式(6)计算出来(一级指标取平均值)。为了方便数据的读写，将最终结果放大1000倍以去掉小数位。 7 . ……. (5) g,A(x),w，10000,iii,1 7 ……….(6) g,A(x),w，10000ii,i,1 下面的问题是如何确定权重。 3.2.3 确定权重 为了计算各层中指标的权重，首先需要根据式(1)给出各层的判断矩阵，判断矩阵可以通过德尔菲法、专家会议法等方法，由专家认知得到。根据判断矩阵提供的信息，可以用幂法求解得到任意精度的最大特征根和特征向量，特征向量就代表了该层次各指标对上一层次某指标影响大小的权重。但在实际应用层次分析法时，并不需要很高的精度，因为判断矩阵本身就存在一定的误差，而应用层次分析法求得某层次中各指标的权重，从本质上说就是表述某种定性的概念，所以可以采用更为兼并的近似求解法，如和积法、方根法，它们的精度完全可以 满足实际应用的要求。 在这里我们采用方根法来求解指标权重。如公式(7)可以求得对应指标的权重，并由此得到权重向量如公式(8)。 ………(7) ……(8) 对有上面得到的权重做归一化处理，如公式(9)给出。 …….(9) 由此得到权重向量W，如下式(10)给出。这就是我们所需要的权重。 …….(10) 由于对指标重要性的判断是人为赋予的，带有主观性，因此需要进行一致性校验，以评价专家们给出的判断矩阵是否可靠。首先需要计算它的一致性指标CI，然后再计算最大特征根，最后计算判断矩阵的随机一致性比率值CR。下面式中的n表示判断矩阵的阶数。 …….(11) …….(12) CR=CI/RI …….(13) 式(13)中RI是判断矩阵的随机性指标，由下表2给出。 表2. 平均随机性指标值 矩阵阶数 1 1 3 4 5 6 7 8 9 10 RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.52 当CI?0.1时，一般认为判断矩阵的一致性差，需要反馈给专家进行重新再评价，然后汇总再进行检验;当CI?0.1时，可以认为判断矩阵具有较好的一致性，可以接受权重值。 3.3 AHP应用实例 3.3.1 实际评价指标体系 根据前面构造的指标体系，我们选用某个学期的实际测评指标结构，如下图3.4所示。要注意的是每个学期或者每个阶段(可能一个学期2次)的评价指标会有不同，而且数量上也会有不同，通常采用的是使用默认值或者标准值，或者延续前期所获取的数据，这不影响计算结果。 ,w) 体格类(g身高 1111 体质体能(g,w) 11 胸肺功能类(g,w) 1212 心跳 ,w) 球类(g蓝球 2121 ,w) 技术技能(g22 田径 (g,w) 50米 2222课堂考勤(g,w) 33 学生,w) 健康教育(g44 成长 指数 ,w) 运动参与(g自评(g,w) 55i1i1g 老师课堂评价(g,w) i2i2心理情感(g,w) 66 同学互评(g,w) i3i3社会适应(g,w) 77 图3.3. 学生某阶段成长指数模型. 一级指标则采用专家判断法，7个指标依次标记为:体质体能(A1)，技术技能(A2)，课堂考勤(A3)，健康教育(A4)，运动参与(A5)，心理情感(A6)，社会适应(A7)。 构造有判断矩阵如图3.5所示。 表4 判断矩阵 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A1 1 2 1 2 2 1 2 A2 1/2 1 1/2 1 1 1/2 1 A3 1 2 1 2 2 1 2 A4 1/2 1 1/2 1 1 1/2 1 A5 1/2 1 1/2 1 1 1/2 1 A6 1 2 1 2 2 1 2 A7 1/2 1 1/2 1 1 1/2 1 3.3.2 权重确定与检验 我们先来计算判断矩阵的一致性。 根据3.2.3的计算方法，可以得到权重分别为: w,1.486w,0.743w,0.743 ， ，， ， w,1.4861243 ， ， w,0.743w,1.486w,0.743567 最后，进行归一化后，可以得到权重向量W。 W=(0.2, 0.1, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2, 0.1) 我们来计算最大特征根。 7 aw,ijij71j,1,,，,7,max w7i,1i 由于CI=(7-7)/(7-1)=0，那么CR=0?0.1，这说明判断矩阵的一致性好。 我们对二级指标的权重使用等权重原则，有2项指标时每项取1/2，有3项则取1/3，有4项取1/4，依此类推。 3.3.3 计算g值 现测得中专部一年级男学生第二学期期末的评价数据如下:心跳次数为75次每分钟，身高171cm，教师对其蓝球成绩的评分为90分，其50米成绩为6秒7，课堂考勤为17次正常;健康教育、运动参与、心理情感和社会适应等自我评价为(85，90，86，76)，同学评平均为( ，95， ，85)，教师评为(86，90，85，86)。同学评中有两项空缺。 现给出学生所在群体的平均值(取全年级男生平均)心跳为76次，最大跳动次数为88次;最小身高值151cm，最大高度为185cm;篮球成绩最高分95分，最低61分;50米成绩最好为6秒2，最慢8秒2;课堂考勤平均为16.8次，最好18次;健康教育、运动参与、心理情感和社会适应等自我评价的最好成绩为(98，98，95，92)，同学评平均最好成绩为( ，95， ，90)，教师评最好成绩为(98，95，92，91);最差成绩依次为:(50，50，45，50)，( ，53， ，43)，(50，45，45 ，40)同学评中有两项空缺。 (1). 心跳与上课评价隶属度 该指标属于恒定值，可以按照式(4)来求。 A(x)=1 – (76-75)/(88-76)=0.917 12 上课次数也属于恒定值 ，可以按照前面方法求解。 A(x)=1 – (17-16.8)/(18-16.8)=0.857 3 (2). 身高和篮球评价隶属度 这些指标属于正向评价指标，可以按照式(2)进行求解。 A(x)=(172 - 151)/(185 - 151)=0.618 11 A(x)=(90 - 61)/(95 - 61)=0.853 21 (3). 50米评价隶属度 这个指标属于反向评价指标，可以按照式(3)进行求解。 根据查国家标准表，可以得到学生成绩为优秀。 A(x)=(8*100 + 2 – 6*100,7)/((8*100 + 2),(6*100 + 2))=0.975 22 (4). 其它评价的隶属度 健康教育、运动参与、心理情感和社会适应等指标的自我、互评和教师评都 属于正向评价，可以参考前面的计算形式。得到结果如下表5: 表5. 学生健康教育等指标隶属度 健康教育 运动参与 心理情感 社会适应 自评 0.729 0.833 0.820 0.619 互评 1.000 0.894 教师评 0.750 0.900 0.851 0.902 (5). 合并 球类与田径的权重分别为:1/2，可以得到技术技能的总隶属度为: A(x)=0.853*1/2 +0.975*1/2=0.914 2 体格与胸肺功能权重分别为:1/2，可以得到体质体能的总隶属度为: A(x)=0.917*1/2+0.975*1/2=0.946 2 课堂考勤没有子项。 A(x)=0.857 2 健康教育、运动参与、心理情感与社会适应等权重取(1/2, 1/3, 1/2, 1/3)，则 可以得到总隶属度如下表6。 表6. 健康教育等合并后隶属度 健康教育 运动参与 心理情感 社会适应 A(x) A(x) A(x) A(x) 4567 0.740 0.911 0.836 0.805 由前面的权重向量，则可得到学生个体的g值为: 7 g,(w，A(x))，1000,862 ,iii,1 我们可以按照前面的计算方式，得到学生群体的g值 7 g,(w，A(x))，1000,842 ,iii,1 (5). 关于异常 异常情况可以分为2种，一种是超过平均指数太高，另一种是低于平均指数太少。对于第一种情况，我们需要挖掘学生的潜能，培养学生的特色;对于第二种情形，我们需要认真耐心地帮助学生，让他能全面提高自己。 通常，我们可以根据需要设定某个阶段k的阈值v，当学生健康指数g与kk平均g值差距超过v时，该学生应该引起教师的注意，以调整教学方法;也能kk 提醒学生以调整自己。 ，v的取值可以取到100以上，通常由教师负责人确认，也可v,g,gkkkk 以根据实际情况确定异常百分比来确定这个值，重点中学与一般中学，职业中学与中专与普通中学会有差异，农村中学与城市中学也会有些差异。 3.4 本章介绍了AHP层次分析法，这种方法仍然是目前在评价应用领域应用最广泛的方法。结合体育与健康教学，并在《新课程标准》下，给出了构建学生健康成长监控系统需要使用的指标体系。通过层次分析法我们可以理解清楚评价算法，为实施监控提供基础。