综合法和分析法

综合法和分析法 ：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解 分析法和综合法的思考过程、特点. ：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. ：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. ： ： 11，1. 已知 “若，且，则，,4”，试请此结论推广猜想. aaR,,aa，,11212aa12 111，2（：若aaaR,.......,，且，则，，，,.... ） aaa，，，,....1n12n12naaa12n 111，2. 已知，，求证：. abcR,,,，，,9abc，，,1abc 先完成证明 ? 讨论：证明过程有什么特点？ 1. 222222? 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) > 6abc. 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） ? 板演证明过程（注意等号的处理） ? 讨论：证明形式的特点 ? 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. bcaacbabc，,，,，,? 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证. ，，,3abc ? 出示例2：在?ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为?ABC等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ ? 板演证明过程 ? 讨论：证明过程的特点. ? 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和） 2. ? tantan3tantan3ABAB，，,tan()AB，为锐角，且，求证：. （提示：算） AB，,60AB, 114? 已知 求证： ，,.abc,,,abbcac,,, 3. 综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论QQ,,,,，直到最后的结论是Q. 运12, 用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 441. 求证：对于任意角θ，. （教材P练习 1题） cossincos2,,,,,52 （两人板演 ? 订正 ? 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程） 1132. 的三个内角成等差数列，求证：，,. ABC,,,ABCabbcabc，，，， 2.2.1 综合法和分析法（二） 1 ：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解 分析法和综合法的思考过程、特点. ：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. ：根据问题的特点，选择适当的证明方法. ： ： 1. 提问：基本不等式的形式？ ab，2. 讨论：如何证明基本不等式. ,,,abab(0,0)2 （讨论 ? 板演 ? 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 1. ? 出示例1：求证3526，,，. 讨论：能用综合法证明吗？ ? 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ ? 板演证明过程 （注意格式） ? 再讨论：能用综合法证明吗？ ? 比较：两种证法 ? 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示： 要点：逆推证法；执果索因. 11? 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：223332()()xyxy，,，. 先讨论方法 ? 分别运用分析法、综合法证明. ? 出示例4：见教材P. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） 48 ? 出示例5：见教材P. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求） 49 2. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么 截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. ll2 提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方,()2,2, llll222形边长为，截面积为，问题只需证：> . (),()()42,44 3. 分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知PP,,,,，直到所有12,的已知P都成立； 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分 析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下， 两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意） 2221. 设a, b, c是的?ABC三边，S是三角形的面积，求证：cababS,,，,443. 略证：正弦、余弦定理代入得：,，,2cos423sinabCababC， ,即证：2cos23sin,,CC3sincos2CC，,，即：，即证：（成立）. sin()1C，,6 2.2.2 反证法 2 ：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法 的思考过程、特点. ：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. ：根据问题的特点，选择适当的证明方法. ： ： 1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次） 2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？ 3. 给出证法：先假设可以作一个?O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 A 但 ?A、B、C共线，?l?m(矛盾) DO ? 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆. P B1. C? 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么 a,b ? 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设 错误，从而证明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 ? 从假设出发，经推理论证得到矛盾 ? 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、 定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否 命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. ? 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ ? 如何从假设出发进行推理？ ? 得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，?P不是圆心，连结OP， 则由垂径定理：OP,AB，OP,CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），?不被P平分. ? 出示例2：求证 3是无理数. （ 同上分析 ? 板演证明，提示：有理数可表示为） mn/ 证：假设3是有理数，则不妨设3/,mn（m,n为互质正整数）， 222从而：(/)3mn,，，可见m是3的倍数. mn,3 222设m=3p（p是正整数），则 39nmp,,，可见n 也是3的倍数. 这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ?不可能，?3是无理数. 3/,mn ? 练习：如果a为无理数，求证是无理数. a，1 提示：假设aapq/为有理数，则可表示为（为整数），即apq,/. pq, 由aapqq，,，1()/，则也是有理数，这与已知矛盾. ? 是无理数. a，1 3. 反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题） 3